Skip to Content

Вход/Регистрация

Как найти производную квадратного корня из x

Загрузить PDF

Соавтор(ы): Команда wikiHow

Источники

Загрузить PDF

На курсах дифференциального исчисления вы наверняка учили правила дифференцирования основных функций, в том числе правило дифференцирования степенной функции. Однако если функция содержит квадратный или другой корень, например ${\sqrt {x}}$ , может показаться, что данное правило не подходит. Тем не менее достаточно переписать ее в степенном виде, чтобы получить очевидный ответ. Если функция содержит несколько корней, такую подстановку можно делать сколько угодно раз и использовать правило дифференцирования сложной функции.

Метод 1

Метод 1 из 3:

С помощью правила дифференцирования степенной функции

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/64\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-1.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-1.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/64\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-1.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-1.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Вспомните правило дифференцирования степенной функции. Обычно это правило учат в самом начале курса дифференциального исчисления. Оно гласит, что производная переменной $x$ , возведенной в степень $a$ , равна: ^{[1]
X
Источник информации}
- $f(x)=x^{{a}}$
- $f^{{\prime }}(x)=ax^{{a-1}}$
- В качестве примера рассмотрим следующие функции и найдем их производные:
  - если $f(x)=x^{2}$ , то $f^{{\prime }}(x)=2x$ ;
  - если $f(x)=3x^{2}$ , то $f^{{\prime }}(x)=2*3x=6x$ ;
  - если $f(x)=x^{3}$ , то $f^{{\prime }}(x)=3x^{2}$ ;
  - если $f(x)={\frac {1}{2}}x^{4}$ , то $f^{{\prime }}(x)=4*{\frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/69\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-2.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/69\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-2.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Запишите квадратный корень в виде степенной функции. Чтобы найти производную квадратного корня, вспомните, что его можно переписать в виде степенной функции. При этом стоящая под корнем величина записывается в виде основания, которое возводится в степень 1/2. Рассмотрим следующие примеры: ^{[2]
X
Источник информации}
- ${\sqrt {x}}=x^{{{\frac {1}{2}}}}$ ;
- ${\sqrt {4}}=4^{{{\frac {1}{2}}}}$ ;
- ${\sqrt {3x}}=(3x)^{{{\frac {1}{2}}}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2b\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-3.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2b\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-3.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Примените правило дифференцирования степенной функции. Если под корнем стоит переменная x, $f(x)={\sqrt {x}}$ , производная берется следующим образом: ^{[3]
X
Источник информации}
- $f(x)={\sqrt {x}}\ \ \ \ \$ (записываем первоначальную функцию);
- $f(x)=x^{{({\frac {1}{2}})}}\ \ \ \ \$ (переписываем корень в виде степенной функции);
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}x^{{({\frac {1}{2}}-1)}}\ \ \$ (находим производную с помощью правила дифференцирования степенных функций);
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}x^{{(-{\frac {1}{2}})}}\ \ \$ (упрощаем степенную функцию).
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/99\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-4.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/99\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-4.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Упростите результат. На этом этапе необходимо вспомнить, что при отрицательной степени следует найти число, обратное данному числу в той же положительной степени. Степень $-{\frac {1}{2}}$ означает, что квадратный корень следует поставить в знаменателе дроби. ^{[4]
X
Источник информации}
- Продолжим приведенный выше пример для квадратного корня x и упростим производную:
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}x^{{-{\frac {1}{2}}}}$ ;
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}*{\frac {1}{{\sqrt {x}}}}$ ;
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ .
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 3:

С помощью правила дифференцирования сложной функции

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/48\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-5.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/48\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-5.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Вспомните правило дифференцирования сложных функций. Это правило применяется в тех случаях, когда необходимо продифференцировать функцию, аргументом которой выступает другая функция. Согласно данному правилу, комбинация двух функций, $f(x)$ и $g(x)$ , дифференцируется следующим образом: ^{[5]
X
Источник информации}
- если $y=f(g(x))$ , тогда $y^{{\prime }}=f^{{\prime }}(g)*g^{{\prime }}(x)$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/58\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-6.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-6.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/58\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-6.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-6.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Определите функции. При использовании правила дифференцирования сложных функций первым делом следует выявить комбинацию функций. В случае квадратного корня в роли внешней функции $f(g)$ выступает взятие корня, а внутренней функцией $g(x)$ является то, что стоит под знаком корня. ^{[6]
X
Источник информации}
- Предположим, необходимо найти производную функции ${\sqrt {3x+2}}$ . Определим составляющие ее функции следующим образом:
  - $f(g)={\sqrt {g}}=g^{{{\frac {1}{2}}}}$ ;
  - $g(x)=(3x+2)$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/15\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-7.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-7.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/15\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-7.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-7.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Найдите производные обеих функций. Чтобы применить правило дифференцирования сложных функций к квадратному корню, сначала следует найти производную квадратного корня: ^{[7]
X
Источник информации}
- $f(g)={\sqrt {g}}=g^{{{\frac {1}{2}}}}$ ;
  - $f^{{\prime }}(g)={\frac {1}{2}}g^{{-{\frac {1}{2}}}}$ ;
  - $f^{{\prime }}(g)={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}$ .
- После этого находим производную второй функции:
  - $g(x)=(3x+2)$ ;
  - $g^{{\prime }}(x)=3$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/ec\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ec\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Комбинируем найденные производные согласно правилу дифференцирования сложных функций. Вспоминаем это правило ( $y^{{\prime }}=f^{{\prime }}(g)*g^{{\prime }}(x)$ ) и в результате получаем: ^{[8]
X
Источник информации}
- $y^{{\prime }}={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}*3$ ;
- $y^{{\prime }}={\frac {1}{2{\sqrt {(3x+2}}}}*3$ ;
- $y^{{\prime }}={\frac {3}{2{\sqrt {(3x+2}}}}$ .
Реклама

Метод 3

Метод 3 из 3:

С помощью упрощенного правила дифференцирования корня

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d4\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-9.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-9.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d4\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-9.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-9.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Запомните простое правило дифференцирования любых квадратных корней. Если необходимо найти производную квадратного корня, под которым стоит переменная или функция, используйте следующее правило. Результат всегда будет представлять собой производную подкоренного выражения, поделенную на удвоенный первоначальный квадратный корень. Это можно записать следующим образом: ^{[9]
X
Источник информации}
- если $f(x)={\sqrt {u}}$ , тогда $f^{{\prime }}(x)={\frac {u^{{\prime }}}{2{\sqrt {u}}}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/67\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/67\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Найдите производную подкоренного выражения. Как следует из названия, подкоренное выражение стоит под знаком квадратного корня. Чтобы применить данное правило, найдем производную этого выражения. Рассмотрим следующие примеры: ^{[10]
X
Источник информации}
- в функции ${\sqrt {5x+2}}$ подкоренным выражением является $(5x+2)$ , а его производная $5$ ;
- в функции ${\sqrt {3x^{4}}}$ подкоренным выражением является $3x^{4}$ , а его производная $12x^{3}$ ;
- в функции ${\sqrt {sin(x)}}$ подкоренным выражением является $\sin(x)$ , а его производная $\cos(x)$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a4\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-11.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-11.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a4\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-11.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-11.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Запишите производную подкоренного выражения в числителе дроби. Производная корня представляет собой дробь, в числителе которой стоит производная подкоренного выражения. Для приведенных выше функций получаем следующие выражения: ^{[11]
X
Источник информации}
- если $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , тогда $f^{{\prime }}(x)={\frac {5}{{\text{знаменатель}}}}$ ;
- если $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , тогда $f^{{\prime }}(x)={\frac {12x^{3}}{{\text{знаменатель}}}}$ ;
- если $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , тогда $f^{{\prime }}(x)={\frac {\cos(x)}{{\text{знаменатель}}}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7d\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/7d\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Запишите знаменатель в виде удвоенного первоначального квадратного корня. Согласно данному правилу, в знаменателе следует написать удвоенный квадратный корень. Для приведенных выше функций получаем следующие знаменатели: ^{[12]
X
Источник информации}
- если $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , тогда $f^{{\prime }}(x)={\frac {{\text{числитель}}}{2{\sqrt {5x+2}}}}$ ;
- если $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , тогда $f^{{\prime }}(x)={\frac {{\text{числитель}}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$ ;
- если $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , тогда $f^{{\prime }}(x)={\frac {{\text{числитель}}}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/5e\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/5e\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Скомбинируем числитель и знаменатель и получим искомую производную. Запишите полную дробь, и у вас получится производная первоначальной функции: ^{[13]
X
Источник информации}
- если $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , тогда $f^{{\prime }}(x)={\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}$ ;
- если $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , тогда $f^{{\prime }}(x)={\frac {12x^{3}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$ ;
- если $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , тогда $f^{{\prime }}(x)={\frac {\cos(x)}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$ .
Реклама

Дополнительные статьи

Реклама

Источники

Еще источники

Об этой статье

Соавтор(ы): :

Команда wikiHow

Штатный автор wikiHow

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества. Количество просмотров этой статьи: 69 798.

Категории: Математика

На других языках

Английский

Испанский

Португальский

Итальянский

Французский

Индонезийский

Нидерландский

Турецкий

Печать

Эту страницу просматривали 69 798 раз.

Была ли эта статья полезной?

Реклама

-

-

4547

.mwimg a.image{display:none}#header_logo{display:none}#cse-search-box{display:none}#cse-search-box-noscript{display:block !important}#cse-search-box-noscript .cse_q{color:#FFF;background-color:#B3CE9C}.wh_search .cse_q{width:88%}#mw-mf-main-menu-button{display:none;visibility:hidden}.header .search{display:none}#search_footer .cse_sa{background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/white_mag.png);background-size:22px}.related_box{display:block;background:#EEE;border:5px solid #FFF;vertical-align:bottom;width:127px;background-size:180px;float:left;height:120px;position:relative}.related_box p{line-height:15px !important;font-size:13px;background-color:rgba(67,95,44,.4);color:#FFF;font-weight:bold;padding:8px;margin:0 !important;position:absolute;bottom:0}#noscript_header_logo{display:table-cell;vertical-align:middle;background-position:50% 77%;background-repeat:no-repeat;background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/wikihow_logo_230.png);background-size:105px;width:auto;height:51px;padding:0 14px}.articleinfo{display:none}#iorg_free_data{z-index:50;width:100%;position:fixed}#ara_recommendations{display:none}

Design a Mobile Website

View Site in Mobile | Classic

Share by: