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Toda função contém dois tipos de variáveis: independentes e dependentes — cujos valores literalmente "dependem" das variáveis independentes. Por exemplo, na função y = f(x) = 2x + y , x é independente e y é dependente (em outras palavras, y é uma função de x ). Os valores válidos para uma dada variável independente x são chamadas coletivamente de "domínio". Os valores válidos para uma dada variável dependente y são chamadas coletivamente de "imagem". [1] X Fonte de pesquisa
Passos
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Determine o tipo de função com o qual você está trabalhando. O domínio da função consiste em todos os valores x (eixo horizontal) que resultarão em um valor y válido. A equação pode ser quadrática, ser uma função ou, ainda, conter raízes. Para calcular o domínio da função, você deve primeiro avaliar os termos internos da equação.
- Uma função quadrática apresenta o formato ax 2 + bx + c: [2] X Fonte de pesquisa f(x) = 2x 2 + 3x + 4
- Exemplos de funções contendo frações incluem: f(x) = ( 1 / x ), f(x) = (x + 1) / (x - 1) , etc.
- Frações com raízes incluem: f(x) = √x, f(x) = √(x 2 + 1), f(x) = √-x etc.
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Escreva o domínio no formato correto. Escrever o domínio de uma função envolve o uso de colchetes [,] e parênteses (,) . Você usa o colchete quando o número está incluído no domínio e o parêntese quando o domínio não inclui o número. A letra U indica uma união que interliga partes de um domínio que podem estar separadas por um espaço. [3] X Fonte de pesquisa
- Por exemplo, um domínio de [-2, 10) U (10, 2] inclui -2 e 2, mas não inclui o número 10.
- Use sempre parênteses se você for usar o símbolo do infinito, ∞.
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Desenhe um gráfico da equação quadrática. Equações quadráticas resultam em uma parábola voltada para cima ou para baixo. Dado o fato de que ela continuará infinitamente pelo eixo x, o domínio da maioria das funções quadráticas consiste em números reais. De outra forma, a equação quadrática consiste em todos os valores x existentes na linha numérica, o que torna R (símbolo para todos os números reais) seu domínio. [4] X Fonte de pesquisa
- Para ter uma ideia da função, escolha qualquer valor x e insira-o na equação. Resolvê-la com esse valor trará um valor y. Esses valores, por sua vez, representam coordenadas (x, y) no gráfico da função.
- Coloque essa coordenada no gráfico e repita o processo com outro valor x.
- Inserir alguns valores dessa forma dará a você uma ideia geral da forma da função quadrática.
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Defina o dominador como zero, caso se trate de uma fração. Ao trabalhar com uma fração, você jamais pode dividir por zero. Ao igualar o denominador a zero e descubra o valor de x, você poderá calcular os valores que serão excluídos na função. [5] X Fonte de pesquisa
- Por exemplo: identifique o domínio da função f(x) = (x + 1) / (x - 1) .
- O denominador dessa função é igual a (x - 1).
- Iguale-o a zero e descubra o valor de x: x - 1 = 0, x = 1.
- Escreva o domínio: o domínio dessa função não pode incluir 1, mas inclui todos os números reais exceto por 1; logo, o domínio é (-∞, 1) U (1, ∞).
- (-∞, 1) U (1, ∞) pode ser lido como o conjunto de todos os números reais menos 1. O símbolo do infinito, ∞, representa todos os números reais. Nesse caso, todos os números reais maiores e menores do que 1 estão incluídos nesse domínio.
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Determine que os termos dentro do radical sejam maiores ou iguais a zero, se houver uma função de raiz. Você não pode obter a raiz quadrada de um número negativo; por isso, qualquer valor x que resulte em um número negativo deve ser excluído do domínio dessa função. [6] X Fonte de pesquisa
- Por exemplo: identifique o domínio da função f(x) = √(x + 3).
- Os termos dentro do radical são (x + 3).
- Torne-os maiores ou iguais a zero: (x + 3) ≥ 0.
- Encontre o valor de x: x ≥ -3.
- O domínio dessa função inclui todos os números reais maiores ou iguais a -3; logo, o domínio é [-3, ∞).
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Confirme que se trata de uma função quadrática. Uma função quadrática apresenta o formato ax 2 + bx + c: f(x) = 2x 2 + 3x + 4. A forma de uma função quadrática no gráfico é igual a uma parábola para cima ou para baixo. Há métodos diferentes para calcular a imagem de uma função, dependendo do tipo com o qual você tem trabalhado. [7] X Fonte de pesquisa
- A forma mais fácil de identificar a imagem de outras funções, como no caso das de raiz ou de fração, é desenhar seu gráfico usando uma calculadora gráfica.
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Encontre o valor x do vértice da função. O vértice de uma função quadrática é, em poucas palavras, a ponta da parábola. Lembre-se de que a equação quadrática apresenta o formato ax 2 + bx + c. Para descobrir a coordenada x, use a equação x = -b/2a. Essa fórmula é uma derivada da função quadrática que representa a equação com inclinação zero (ou seja, no vértice do gráfico, a inclinação da função é igual a zero). [8] X Fonte de pesquisa
- Por exemplo, descubra qual é a imagem de 3x 2 + 6x - 2.
- Calcule a coordenada x do vértice: x = -b/2a = -6/(2×3) = -1.
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Calcule o valor y do vértice da função. Insira a coordenada x na função para calcular o valor y correspondente do vértice. Esse valor y representa o fim da imagem da função.
- Calcule a coordenada y: y = 3x 2 + 6x - 2 = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = -5.
- O vértice dessa função é o ponto (-1, -5).
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Determine a direção da parábola inserindo pelo menos mais um valor x. Escolha qualquer outro valor x e coloque-o na função para descobrir qual é o valor y correspondente. Se o valor y estiver acima do vértice, a parábola continua até +∞. Caso contrário, se estiver abaixo do vértice, ela continua até -∞.
- Use o valor x -2: y = 3x 2 + 6x - 2 = y = 3(-2) 2 + 6(-2) - 2 = 12 - 12 - 2 = -2.
- Isso resulta na coordenada (-2, -2).
- Essa coordenada indica que a parábola vai além do vértice (-1, -5); logo, a imagem engloba todos os valores y acima de -5.
- A imagem dessa função é [-5, ∞).
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Escreva os valores da imagem com a notação adequada. Assim como o domínio, a imagem deve ser escrita da mesma forma. Use um colchete quando o número estiver incluído no domínio em questão ou, caso contrário, um parêntese. A letra U indica a união que interliga partes de um domínio que pode estar separado por um intervalo. [9] X Fonte de pesquisa
- Por exemplo, a imagem de [-2, 10) U (10, 2] inclui -2 e 2, mas não inclui o número 10.
- Use sempre parênteses quando estiver trabalhando com o símbolo do infinito, ∞.
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Represente a função de forma gráfica. Frequentemente, é mais fácil determinar a imagem de uma função através de uma representação visual. Muitas funções de raiz têm como imagem o intervalo (-∞, 0] ou [0, +∞) porque o vértice da parábola lateral está no eixo x horizontal. Nesse caso, a função engloba todos os valores y positivos quando a parábola vai para cima ou, ainda, todos os valores y negativos quando ela vai para baixo. Funções de fração terão assimptotas que definirão sua imagem. [10] X Fonte de pesquisa
- Algumas funções de raiz começam acima ou abaixo do eixo x. Nesse caso, a imagem é determinada pelo ponto em que a função começa. Se a parábola tem início em y = -4 e vai para cima, sua imagem será [-4, +∞).
- A forma mais fácil de representar uma função visualmente é com um aplicativo gráfico ou uma calculadora gráfica.
- Se você não tem uma calculadora gráfica, é possível fazer um esboço visual inserindo valores x na função e obtendo os valores y correspondentes. Coloque as coordenadas no gráfico para obter uma ideia de sua forma.
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Encontre o valor mínimo da função. Depois de ter feito a representação visual da função, você poderá ver claramente qual é o ponto mais baixo do gráfico. Se não há um ponto mínimo óbvio, saiba que há funções que continuam até -∞.
- Uma função de fração inclui todos os pontos além da assimptota. Com frequência, elas apresentam imagens como (-∞, 6] U [6, ∞).
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Determine o valor máximo da função. Uma vez mais, depois de feita a representação visual, você poderá identificar o ponto máximo da função. Algumas funções continuam até +∞ e, dessa forma, não têm um ponto máximo específico.
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Escreva a imagem com a notação adequada. Como o domínio, a imagem deve ser escrita da mesma forma. Assim como o domínio, a imagem deve ser escrita da mesma forma. Use um colchete quando o número estiver incluído no domínio em questão ou, caso contrário, um parêntese. A letra U indica a união que interliga partes de um domínio que pode estar separado por um intervalo. [11] X Fonte de pesquisa
- Por exemplo, a imagem de [-2, 10) U (10, 2] inclui -2 e 2, mas não inclui o número 10.
- Use sempre parênteses quando estiver trabalhando com o símbolo do infinito, ∞.
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Referências
- ↑ http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/COURSE_TEXT2_RESOURCE/U17_L2_T3_text_final.html
- ↑ http://hotmath.com/hotmath_help/topics/quadratic-function.html
- ↑ http://www.biology.arizona.edu/biomath/tutorials/notation/setbuildernotation.html
- ↑ http://hotmath.com/hotmath_help/topics/quadratic-function.html
- ↑ http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/COURSE_TEXT2_RESOURCE/U17_L2_T3_text_final.html
- ↑ http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/COURSE_TEXT2_RESOURCE/U17_L2_T3_text_final.html
- ↑ http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/COURSE_TEXT2_RESOURCE/U17_L2_T3_text_final.html
- ↑ http://hotmath.com/hotmath_help/topics/quadratic-function.html
- ↑ http://www.biology.arizona.edu/biomath/tutorials/notation/setbuildernotation.html
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