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Ao tentar encontrar a fórmula para uma sequência matemática, um dos passos comuns de se tomar é encontrar o enésimo termo, e não em função de mas dos termos já previamente declarados. Em um exemplo, apesar de ser bom ter uma função fechada para o enésimo termo da sequência de Fibonacci , às vezes tudo o que basta fazer é a relação de recorrência, ou afirmam que cada termo se refere à soma dos dois termos anteriores. O presente artigo demonstra diversos métodos para deduzir uma fórmula fechada a partir da recorrência.
Passos
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Tome como exemplo uma sequência aritmética como
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Uma vez que cada termo é três unidades maior que o anterior, ela pode ser tratada como uma recorrência, conforme demonstrado.
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Reconheça que qualquer recorrência no formato é uma sequência aritmética.
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Escreva a fórmula de uma sequência aritmética em seu formato fechado, incluindo as incógnitas quando necessário.
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Resolva a equação com base nas incógnitas presentes, dependendo do formato da sequência. Nesse caso, uma vez que era o termo, a fórmula será . Se quiser, em vez disso, que ele seja o primeiro termo, você obterá .Publicidade
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Tome por exemplo uma sequência geométrica como
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Uma vez que cada termo é o dobro do anterior, ela pode ser tratada como uma recorrência, conforme demonstrado.
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Reconheça que qualquer recorrência no formato é uma sequência geométrica.
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Escreva a fórmula de uma sequência geométrica em seu formato fechado, incluindo as incógnitas quando necessário.
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Resolva a equação com base nas incógnitas presentes, dependendo do formato da sequência. Nesse caso, uma vez que era o termo, a fórmula será . Se quiser, em vez disso, que ele seja o primeiro termo, você obterá .Publicidade
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Tome como exemplo a sequência apresentada pela recorrência .
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Qualquer recorrência no formato demonstrado, onde representa qualquer polinômio em , terá um formato polinomial fechado de grau uma vez superior àquele presente em .
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Escreva o formato geral de um polinômio no grau desejado. No exemplo, é quadrático, sendo necessário um valor cúbico para representar a sequência .
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Uma vez que o valor cúbico geral tem quatro coeficientes incógnitos, é necessário usar quatro termos da sequência para resolver o sistema resultante. Qualquer escolha será válida, então aqui serão usados , , e . Executar a recorrência em sentido contrário para calcular o termo pode facilitar alguns cálculos, mas não se trata de um passo necessário.
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Solucione o sistema resultante de equações em incógnitas ou calcule um polinômio de Lagrange aos pontos conhecidos.
- Se o termo foi um dos usados no cálculo dos coeficientes, você conseguirá a constante do polinômio de forma livre e pode imediatamente reduzir o sistema a equações em incógnitas , conforme demonstrado.
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Represente a fórmula fechada de em forma de um polinômio com coeficientes conhecidos.Publicidade
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Esse é o primeiro método capaz de resolver a sequência Fibonacci apresentada na introdução do artigo, mas é possível solucionar qualquer outra em que o enésimo termo consiste na combinação linear dos termos anteriores. Tome agora um exemplo diferente cujos termos iniciais são
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Escreva o polinômio característico da recorrência. Ele pode ser encontrado substituindo-se cada nela presente por e dividindo-o por , restando apenas um polinômio mônico de grau e uma constante diferente de zero.
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Solucione o polinômio característico . Nesse caso, a característica possui grau , tornando possível usar a fórmula quadrática para determinar suas raízes.
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Qualquer expressão no formato exibido satisfaz a recorrência. O representa todas as constantes, e a base dos expoentes representa as raízes para a característica encontrada acima. Isso pode ser verificado por indução.
- Se a característica tem uma raiz múltipla, a etapa deve ser ligeiramente alterada. Se é uma raiz de multiplicidade , use em vez de apenas . Em um exemplo, a sequência satisfaz a relação de recorrência . O polinômio característico possui uma raiz tripla igual a e sua fórmula fechada será .
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Determine o que satisfaz as condições inicialmente especificadas. Assim como no exemplo polinomial, para isso é preciso criar um sistema linear de equações a partir dos termos iniciais. Uma vez que o exemplo possui duas incógnitas, dois termos serão necessários — qualquer escolha será valida, então tome como exemplo o e o para não precisar elevar um número irracional a uma potência.
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Solucione o sistema resultante de equações.
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Insira as constantes resultantes na fórmula geral como solução.Publicidade
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Tome como exemplo a sequência dada pela recorrência demonstrada. Ela não pode ser resolvida com os métodos acima, mas é possível determinar uma fórmula com base nas funções geradoras.
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Escreva a função geradora da sequência. Ela é simplesmente uma série de potência formal na qual o coeficiente de é o enésimo termo da sequência.
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Manipule a função geradora como demonstrado. O objetivo desse passo é encontrar uma equação que ensine a calcular o valor da função geradora . Em primeiro lugar, extraia o termo inicial e aplique a relação de recorrência nos termos remanescentes. A seguir, divida a soma e extraia os termos constantes. Para isso, use a definição de e a fórmula para a soma de uma série geométrica.
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Determine a função geradora .
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Determine o coeficiente do presente em . Os métodos para isso variam de acordo com o formato de , mas o das frações parciais combinado com o conhecimento da função geradora relativo a uma sequência geométrica também servirão, como demonstrado.
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Escreva a fórmula de identificando o coeficiente de em .Publicidade
Dicas
- A indução também é uma técnica bastante popular. Costuma ser fácil provar desse modo que uma fórmula dada satisfaz a uma recorrência dada, mas o problema é que será preciso adivinhá-la com antecedência.
- Alguns desses métodos requerem uma grande potência computacional e apresentam muitas oportunidades de erro. É sempre bom conferir a fórmula e analisar os termos conhecidos.
- " Na matemática, os números de Fibonacci são aqueles presentes na seguinte sequência:
"
- A espiral de Fibonacci: uma aproximação da espiral de ouro criada pelo desenho de arcos conectando cantos opostos dos quadrados presentes no mosaico de Fibonacci — nesse caso são usados quadrados de tamanhos , , , , , , , e .
- Por definição, os primeiros dois números na sequência de Fibonacci são e ou e , dependendo do ponto inicial escolhido, e cada número subsequente consiste na soma dos dois anteriores.
- Em termos matemáticos, a sequência
contendo os números de Fibonacci é definida pela relação de recorrência
Os seguintes valores individuais são os seguintes:
ou
- À medida em que aumenta, o limite da proporção é conhecido como Proporção Áurea, Proporção de Ouro ou pela letra grega (fi), de modo que essa mudança fica caracterizada como . [1] X Fonte de pesquisa
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