ดาวน์โหลดบทความ
ดาวน์โหลดบทความ
ลำดับเลขคณิตคือลำดับตัวเลขใดๆ ที่ผลต่างระหว่างพจน์ซึ่งอยู่ติดกันสองพจน์เท่ากันทุกคู่ ตัวอย่างเช่น ลำดับจำนวนคู่ … เป็นลำดับเลขคณิต เพราะผลต่างระหว่างจำนวนหนึ่งกับจำนวนที่อยู่ถัดไปเท่ากับ 2 เสมอ [1] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง ถ้าเราทำแบบฝึกหัดเรื่องลำดับเลขคณิต โจทย์อาจให้เราหาพจน์ต่อไปของลำดับที่ให้มา ต่อมาโจทย์อาจให้หาพจน์ที่หายไป สุดท้ายโจทย์อาจให้หาพจน์ตามที่กำหนด เช่น พจน์ที่ 100 คือจำนวนใด เป็นต้น โดยที่เราไม่ต้องเขียนพจน์ทั้งหมด 100 พจน์เลย บทความนี้มีขั้นตอนง่ายๆ ในการแก้โจทย์ลำดับเลขคณิตมานำเสนอ
ขั้นตอน
-
หาผลต่างร่วมของลำดับที่โจทย์ให้มา. เมื่อโจทย์ให้ลำดับตัวเลขมา โจทย์จะบอกเราว่านี้เป็นลำดับเลขคณิตหรือเราอาจต้องตรวจสอบด้วยตนเองว่าลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิตไหม แต่ไม่ว่ากรณีใดเราก็ต้องหาผลต่างร่วมเป็นอันดับแรก เลือกสองพจน์แรกที่ติดกัน นำพจน์แรกมาลบออกจากพจน์ที่สอง ผลลัพธ์ที่ได้คือผลต่างร่วมของลำดับนั้น [2] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง
- ตัวอย่างเช่น สมมติลำดับตัวเลขของเราคือ .... เมื่อ เราก็จะได้ผลต่างร่วมออกมานั่นก็คือ 3
- สมมติเรามีลำดับที่พจน์มีค่าลดลงอย่างเช่น …. เราก็ยังคงนำพจน์แรกลบออกจากพจน์ที่สองเพื่อหาผลต่างร่วม ในกรณนี้ ผลลัพธ์ที่เป็นลบหมายถึงตัวเลขในลำดับนั้นมีค่าลดลง เมื่ออ่านจากซ้ายไปขวา เราควรตรวจดูเสมอว่าเครื่องหมายของผลต่างสอดคล้องกับทิศทางที่ตัวเลขของลำดับไปหรือไม่
-
ตรวจดูสิว่าผลต่างร่วมเท่ากันไหม. การหาผลต่างร่วมแค่สองพจน์แรกไม่สามารถยืนยันได้ว่าลำดับของเราเป็นลำดับเลขคณิต เราต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าผลต่างร่วมเท่ากันทั้งหมด [3] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง ตรวจสอบผลต่างร่วมด้วยการนำพจน์อื่นซึ่งอยู่ติดกันสองพจน์มาลบกัน ถ้าผลลัพธ์ของพจน์ที่อยู่ติดกันหนึ่งหรือสองคู่เท่ากัน แสดงว่าลำดับในโจทย์ของเราน่าจะเป็นลำดับเลขคณิต
- จากตัวอย่างเดิม …เลือกพจน์ที่สองและสามของลำดับ เมื่อ เราก็จะเห็นว่าผลต่างยังคงเป็น 3 ถ้าอยากยืนยันให้แน่ใจ ตรวจสอบผลต่างของพจน์ที่อยู่ติดกันอีกหนึ่งคู่ เมื่อ ผลต่างที่ได้คือ 3 เท่ากัน คราวนี้เราก็มั่นใจได้แล้วว่าลำดับในตัวอย่างนี้คือลำดับเลขคณิตจริงๆ
- อาจมีลำดับตัวเลขที่ดูเหมือนจะเป็นลำดับเลขคณิต เมื่อดูจากไม่กี่พจน์แรก แต่หลังจากนั้นกลับไม่ใช่ลำดับเลขคณิต ตัวอย่างเช่น ลองตรวจสอบ …. ผลต่างระหว่างพจน์แรกและพจน์ที่สองคือ 1 ผลต่างระหว่างพจน์ที่สองและพจน์ที่สามก็ยังคงเป็น 1 อย่างไรก็ตามผลต่างระหว่างพจน์ที่สามและพจน์ที่สี่คือ 3 เพราะผลต่างไม่เท่ากันทั้งหมด ฉะนั้นลำดับในตัวอย่างนี้จึงไม่ใช่ลำดับเลขคณิต
-
นำผลต่างร่วมไปบวกกับพจน์ล่าสุดที่โจทย์ให้มา. การหาพจน์ต่อไปของลำดับเลขคณิตหลังจากรู้ผลต่างร่วมแล้วนั้นง่าย แค่นำผลต่างร่วมมาบวกกับพจน์ล่าสุดของลำดับ เราก็จะได้พจน์ถัดไป
- จากตัวอย่างเดิมซึ่งก็คือ …เรานำผลต่างร่วมซึ่งก็คือ 3 ไปบวกกับพจน์ล่าสุดที่โจทย์ให้มาเพื่อหาพจน์ต่อไปของลำดับนี้ เมื่อ ผลลัพธ์ที่ได้คือ 16 ซึ่งเป็นพจน์ถัดไป เราสามารถบวก 3 ไปเรื่อยๆ เพื่อทำให้ลำดับยาวขึ้นตามต้องการ ตัวอย่างเช่น เมื่อนำสามมาบวกไปเรื่อยๆ ก็จะได้เป็น …. เราสามารถนำผลต่างร่วมมาบวกไปเรื่อยๆ จนได้ลำดับยาวตามที่ต้องการ
โฆษณา
-
ตรวจสอบเพื่อยืนยันว่าลำดับที่โจทย์ให้มาคือลำดับเลขคณิต. บางกรณีโจทย์ให้ลำดับมาโดยมีพจน์หนึ่งหายไป เริ่มจากตรวจสอบว่าลำดับที่โจทย์ให้มาเป็นลำดับเลขคณิตหรือไม่ เลือกพจน์ที่ติดกันสองพจน์และหาผลต่างระหว่างสองพจน์นั้น จากนั้นตรวจสอบผลต่างของอีกสองพจน์ที่อยู่ติดกันในลำดับที่โจทย์ให้มานั้น ถ้าผลต่างเท่ากัน ก็เชื่อได้ว่าลำดับที่โจทย์ให้มาเป็นลำดับเลขคณิตและทำขั้นตอนต่อไปได้เลย
- ตัวอย่างเช่น สมมติลำดับเลขของเราคือ ,___, …. เมื่อ ก็จะได้ผลต่างคือ 4 ตรวจสอบผลต่างของอีกสองพจน์ที่อยู่ติดกัน เมื่อ ผลต่างคือ 4 เช่นกัน เมื่อผลต่างยืนยันว่าเป็นลำดับเลขคณิตแล้ว ทำขั้นตอนต่อไปได้เลย
-
นำผลต่างร่วมมาบวกกับพจน์ซึ่งอยู่ข้างหน้าพจน์ที่หายไป. การนำผลต่างร่วมมาบวกกับพจน์ซึ่งอยู่ข้างหน้าพจน์ที่หายไปก็คล้ายกับการนำผลต่างร่วมมาบวกพจน์ล่าสุดของลำดับที่โจทย์ให้มา หาพจน์ซึ่งอยู่ข้างหน้าพจน์ที่หายไป นี้คือตัวเลข “ล่าสุด” ที่เรารู้ นำผลต่างมาบวกพจน์นี้เพื่อหาพจน์ที่หายไป [4] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง
- จากตัวอย่างเดิม ,____, …พจน์ซึ่งอยู่ข้างหน้าพจน์ที่หายไปคือ 4 และผลต่างร่วมของลำดับนี้คือ 4 เช่นกัน ฉะนั้นเมื่อ ก็จะได้ 8 ซึ่งเป็นพจน์ที่หายไปนั้น
-
นำผลต่างร่วมลบออกจากพจน์ซึ่งอยู่ถัดจากพจน์ที่หายไป. นำผลต่างร่วมลบออกจากพจน์ซึ่งอยู่ถัดจากพจน์ที่หายไปเพื่อตรวจสอบให้แน่ใจว่าคำตอบของเราถูกต้อง ลำดับเลขคณิตควรสอดคล้องกันทั้งสองทิศทาง ถ้าเราอ่านลำดับจากซ้ายไปขวาและบวก 4 แล้ว จากนั้นลองทำในทิศทางตรงกันข้ามบ้างคืออ่านลำดับจากขวาไปซ้ายและลบ 4
- ในตัวอย่างเดิม ,___, … พจน์ซึ่งตามหลังพจน์ที่หายไปมาติดๆ คือ 12 นำผลต่างซึ่งก็คือ 4 ลบออกจากพจน์นี้ ฉะนั้น 8 คือพจน์ที่หายไป
-
นำผลลัพธ์มาเปรียบเทียบกัน. ผลลัพธ์ของการนำผลต่างร่วมไปบวกกับพจน์ซึ่งอยู่ข้างหน้าพจน์ที่หายไปต้องตรงกับผลลัพธ์ของการนำผลต่างร่วมลบออกจากพจน์ซึ่งอยู่ข้างหลังพจน์ที่หายไป ถ้าผลลัพธ์ทั้งสองตรงกัน แสดงว่าเราได้เจอพจน์ที่หายไปแล้ว ถ้าผลลัพธ์ทั้งสองไม่ตรงกัน เราต้องตรวจสอบลำดับเลขอีกครั้ง ลำดับที่โจทย์ให้มาอาจไม่ใช่ลำดับเลขคณิตที่แท้จริงก็ได้
- ในตัวอย่างเดิมผลลัพธ์ของ และ คือ 8 ทั้งคู่ ฉะนั้นพจน์ที่หายไปของลำดับเลขคณิตนี้คือ 8 ลำดับที่สมบูรณ์คือ ….
โฆษณา
-
หาพจน์แรกของลำดับ. ไม่ใช่ทุกลำดับจะเริ่มต้นด้วยเลข 0 หรือ 1 มองลำดับตัวเลขที่โจทย์ให้มาและหาพจน์แรก พจน์นี้จะเป็นจุดเริ่มต้นของเรา เราจะแทนพจน์แรกด้วยตัวแปร a(1)
- การใช้ตัวแปร a(1) แทนพจน์แรกของลำดับเป็นเรื่องปกติเวลาแก้โจทย์ลำดับเลขคณิต เราอาจเลือกตัวแปรใดก็ได้แทนพจน์แรก ถ้าต้องการ เพราะผลลัพธ์ที่ได้จะออกมาเหมือนกัน
- ตัวอย่างเช่น สมมติลำดับที่โจทย์ให้มาคือ … พจน์แรกคือ เราจะแทนพจน์นี้ตามหลักพีชคณิตด้วย a(1)
-
แทนผลต่างร่วมด้วย d. หาผลต่างร่วมเหมือนอย่างเคย ในตัวอย่างที่ยกมานี้ เท่ากับ 5 ตรวจสอบดูสิว่าพจน์อื่นที่อยู่ติดกันสองพจน์มีผลต่างร่วมเท่ากันไหม เราจะแทนผลต่างร่วมนี้ด้วยตัวแปรทางพีชคณิต d [5] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง
-
ใช้สูตรหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต. สูตรหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือสมการพีชคณิตที่เราสามารถนำมาใช้หาพจน์ใดๆ ของลำดับเลขคณิต โดยไม่ต้องเขียนพจน์ให้ครบทุกพจน์ สูตรหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ
- พจน์ a(n) มีความหมายว่า “พจน์ใดๆ ของ a” โดย n แทนลำดับของพจน์ที่เราต้องการหาและ a(n) คือค่าตามจริงของจำนวนนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าโจทย์ให้เราหาพจน์ที่ 100 ในลำดับเลขคณิต n ก็จะเป็น 100 สังเกตดูจะเห็นว่า n คือ 100 ในตัวอย่างนี้ แต่ a(n) จะเป็นค่าของพจน์ที่ 100 ไม่ใช่ 100
-
แทนค่าต่างๆ ลงไปในสูตรเพื่อให้ได้พจน์ที่ต้องการ. ใช้สูตรหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต แทนค่าต่างๆ ลงไปในสูตรเพื่อหาพจน์ที่เราต้องการ
- จากตัวอย่างเดิม …, เรารู้ว่า a(1) คือ 3 ซึ่งเป็นพจน์แรกและผลต่างร่วมคือ 5 สมมติว่าโจทย์ให้หาพจน์ที่ 100 ในลำดับนั้น แสดงว่า n=100 และ (n-1)=99 เมื่อแทนค่าลงไปในสูตรครบทุกตัว ก็จะได้เป็น เมื่อคำนวณออกมา ก็จะได้ 498 ซึ่งเป็นพจน์ที่ 100 ของลำดับ
โฆษณา
-
จัดเรียงสูตรหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตใหม่เพื่อหาค่าของตัวแปรอื่น. แค่ใช้สูตรหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต [6] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง และพีชคณิตพื้นฐานเล็กน้อย เราก็สามารถหาค่าตัวแปรต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับลำดับเลขคณิตได้แล้ว สูตร แบบเดิมเป็นสูตรหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตที่มีไว้เพื่อหา a n และหาพจน์ใดๆ ของลำดับ อย่างไรก็ตามเราสามารถจัดเรียงสูตรใหม่ตามหลักพีชคณิตและหาค่าของตัวแปรที่ต้องการได้
- ตัวอย่างเช่น สมมติเรารู้พจน์สุดท้ายของลำดับ แต่เราไม่รู้ว่าพจน์แรกของลำดับคือจำนวนใด เราสามารถจัดเรียงสูตรใหม่และสูตรที่ได้คือ
- ถ้าเรารู้พจน์แรกและพจน์สุดท้ายของลำดับเลขคณิต แต่เราไม่รู้ว่าลำดับเลขคณิตนี้มีกี่พจน์ เราสามารถจัดเรียงสูตรหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตใหม่เพื่อหาค่า n สูตรที่ได้คือ
- ถ้าต้องการทบทวนกฎพื้นฐานของพีชคณิตเพื่อจัดเรียงสูตรใหม่ ดูหรืออ่านวิธีการ ทอนนิพจน์ทางพีชคณิต
-
หาพจน์แรกของลำดับ. สมมติเรารู้ว่าพจน์ที่ 50 ของลำดับเลขคณิตคือ 300 และรู้ว่าพจน์ต่างๆ เพิ่มขึ้นทีละ 7(“ผลต่างร่วม”) แต่เราไม่รู้ว่าพจน์แรกของลำดับคือจำนวนใด จัดเรียงสูตรหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตใหม่เพื่อหาค่า a1 ก็จะได้คำตอบ
- ใช้สมการ และใส่ค่าของตัวแปรที่เรารู้ลงไป เนื่องจากเรารู้ว่าพจน์ที่ 50 คือ 300 ฉะนั้น n=50, n-1=49 และ a(n)=300 เรายังรู้ว่าค่าของผลต่างร่วม หรือ d คือ 7 ฉะนั้นเมื่อแทนลงไปในสูตรก็จะกลายเป็น จากนั้นเริ่มการคำนวณ พจน์แรกของลำดับเลขคณิตนี้คือ 43 และเพิ่มขึ้นทีละ 7 ฉะนั้นลำดับเลขคณิตของเราก็จะเป็นแบบนี้ 43,50,57,64,71,78…293,300
-
หาว่าลำดับมีกี่พจน์. สมมติว่าเรารู้พจน์แรกและพจน์สุดท้ายของลำดับเลขคณิต แต่ไม่รู้ว่าลำดับเลขคณิตนี้มีกี่พจน์ เมื่อจัดเรียงสูตรใหม่เพื่อหาจำนวนพจน์ ก็จะได้เป็น
- สมมติเรารู้ว่าพจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ 100 และค่าของพจน์เพิ่มขึ้นทีละ 13 อีกทั้งยังรู้ด้วยว่าพจน์สุดท้ายคือ 2,856 ในการหาจำนวนพจน์เรารู้ว่า a1=100, d=13, และ a(n)=2,856 เมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงไปในสูตร ก็จะได้เป็น เมื่อลบหนึ่งร้อยแล้ว ก็จะได้เป็น ต่อไปหารสองพันเจ็ดร้อยห้าสิบหกด้วยสิบสาม ก็จะเหลือ 212+1 เมื่อบวกกันแล้ว ก็จะได้ 213 ในลำดับเลขคณิตนี้มีทั้งหมด 213 พจน์
- เมื่อเขียนลำดับเลขคณิต ก็จะออกมาเป็นแบบนี้ 100, 113, 126, 139… 2843, 2856
โฆษณา
คำเตือน
- ยังมีลำดับแบบอื่นอีก อย่าเพิ่งด่วนสรุปว่าลำดับเลขที่พบเป็นลำดับเลขคณิต ตรวจสอบด้วยการหาผลต่างระหว่างพจน์อย่างน้อยสองคู่ ถ้าอยากให้แน่ใจ อาจตรวจสอบสักสามหรือสี่คู่ก็ได้
โฆษณา
เคล็ดลับ
- จำไว้ว่า d อาจเป็นบวกหรือลบก็ได้ ขึ้นอยู่กับว่าตัวเลขในลำดับมีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลง
โฆษณา
ข้อมูลอ้างอิง
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-sums-arithmetic.html
- ↑ http://www.algebralab.org/lessons/lesson.aspx?file=algebra_arithseq.xml
- ↑ https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/topics/common-difference
- ↑ http://virtualnerd.com/middle-math/number-algebraic-sense/sequences-patterns/missing-term-sequence-example
- ↑ https://revisionmaths.com/advanced-level-maths-revision/pure-maths/algebra/series
- ↑ https://mathbitsnotebook.com/Algebra1/Functions/FNSequenceFunctions.html
เกี่ยวกับวิกิฮาวนี้
มีการเข้าถึงหน้านี้ 30,268 ครั้ง
โฆษณา
