Pdf downloaden
Pdf downloaden
De stelling van Pythagoras beschrijft de lengte van de zijden van een rechthoekige driehoek op een manier die zo elegant en praktisch is dat deze nog steeds heel veel wordt gebruikt. Deze stelt dat voor elke rechthoekige driehoek, de som van de kwadraten van rechte zijden gelijk is aan het kwadraat van de hypotenusa. Met andere woorden, voor een rechthoekige driehoek (een driehoek met zijden die loodrecht op elkaar staan), met zijden van een lengte a en b en een hypotenusa met lengte c geldt: a 2 + b 2 = c 2 . De stelling van Pythagoras is één van de pijlers van de meetkunde en kent talloze praktische toepassingen – met behulp van deze stelling is het bijvoorbeeld heel gemakkelijk om de afstand tussen twee punten in een plat vlak te vinden.
Stappen
-
Controleer of je te maken hebt met een rechthoekige driehoek. De stelling van Pythagoras is alleen te gebruiken bij rechthoekige driehoeken, dus, voor je verder gaat is het belangrijk om vast te stellen dat je driehoek voldoet aan de definitie van een rechthoekige driehoek. Gelukkig is er slechts één factor die hierbij doorslaggevend is – één van de hoeken van de driehoek moet een hoek van 90 graden zijn.
- Een aanwijzing is dat rechte hoeken vaak worden gemarkeerd met een klein recht haakje, om aan te geven dat dit een hoek van 90 graden is. Kijk of er een dergelijk haakje in één van de hoeken van je driehoek staat.
-
Wijs de variabelen a, b, en c toe aan de zijden van je driehoek. In de stelling van Pythagoras verwijzen de variabelen a en b naar de rechte zijden van je driehoek, en de variabele c naar de hypotenusa – de lange kant tegenover de rechte hoek. Dus om te beginnen wijs je de variabelen a en b (de volgorde maakt niet uit) toe aan de rechte zijden en c wijs je toe aan de schuine zijde.
-
Bepaal welke zijde van de driehoek je wilt weten. De stelling van Pythagoras geeft je de mogelijkheid om de lengte te vinden van elke zijde van een driehoek, mits twee van de zijden bekend zijn. Bepaal welke van de zijden een onbekende lengte heeft -- a , b , en/of c . Als er maar één onbekend is, dan kun je verder gaan.
- Stel we weten dat de hypotenusa een lengte heeft van 5 en één van de andere zijden heeft een lengte van 3. De lengte van de overgebleven zijde is onbekend. Omdat twee van de zijden bekend zijn, kunnen we verder gaan met het uitrekenen van de lengte van de onbekende zijde! We gebruiken dit voorbeeld straks nog een keer.
- Als de lengte van twee van de zijden onbekend zijn, dan moet je de lengte van in ieder geval nog één zijde bepalen om de stelling van Pythagoras te kunnen gebruiken. De basis goniometrische functies kunnen je hierbij helpen, mits je één van de andere, niet rechte hoeken van de driehoek kent.
-
Reken uit met behulp van de vergelijking en de bekenden. Vul de waarden voor de lengte van de zijden van je driehoek in de vergelijking a 2 + b 2 = c 2 in. Onthoud dat a en b de rechte zijden zijn en c de hypotenusa.
- In ons voorbeeld weten we de lengte van één zijde en die van de hypotenusa (3 & 5), dus schrijven we onze vergelijking als volgt op: 3² + b² = 5²
-
Bereken de kwadraten. Om je vergelijking op te lossen begin je met het kwadrateren van elk van de bekende zijden. Mocht je dit gemakkelijker vinden, dan kun je de macht laten staan en deze later pas kwadrateren.
- In ons voorbeeld kwadrateren we 3 en 5 om resp. 9 en 25 te krijgen. We kunnen nu de vergelijking herschrijven als 9 + b² = 25.
-
Isoleer de onbekende variabele aan één kant van het is-gelijk teken. Maak eventueel gebruik van standaard algebraïsche bewerkingen om de onbekende naar één kant van het is-gelijk teken te krijgen en de kwadraten aan de andere kant. Als je de hypotenusa probeert te vinden, dan staat c in de stelling al aan één kant, dus kun je die stap overslaan.
- In ons voorbeeld is de vergelijking nu 9 + b² = 25. Om b² te isoleren trekken we 9 af van beide kanten van de vergelijking. Hierdoor houden we b² = 16 over.
-
Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking. Als het goed is heb je nu een kwadraat (variabele) aan één kant van de vergelijking en een getal aan de andere kant. Trek nu de wortel van beide kanten om de lengte van de onbekende te vinden.
- In ons voorbeeld, b² = 16, is de vergelijking na worteltrekken b = 4. Dus kunnen we zeggen dat de lengte van de onbekende zijde van onze driehoek gelijk is aan 4 .
-
Gebruik de stelling van Pythagoras in de praktijk. De reden dat de stelling van Pythagoras zoveel wordt gebruikt is, omdat deze toepasbaar is voor het oplossen van heel veel praktische problemen. Leer om rechthoekige driehoeken in de wereld om je heen te herkennen – overal waar je bij één of meer objecten een rechthoekige driehoek kunt herkennen, is de stelling van Pythagoras toepasbaar om de lengte van één van de zijden te vinden, mits er twee zijden of hoeken bekend zijn.
- Laten we eens een voorbeeld nemen uit de echte wereld. Een ladder leunt tegen een muur. De onderkant van de ladder staat op 5 meter afstand van de muur. De ladder komt tot 20 meter, gemeten vanaf de onderkant van de muur. Hoe lang is de ladder?
- "5 meter is de afstand tot de muur” en "de ladder komt 20 meter hoog”. Dit geeft een aanwijzing over de lengte van de zijden van de driehoek. Omdat de muur en de grond naar we mogen aannemen een rechte hoek vormen en de ladder in een hoek diagonaal tegen de muur aan staat, kunnen we deze opstelling beschouwen als een rechthoekige driehoek, waarvan de zijden een lengte hebben van a = 5 en b = 20. De lengte van de ladder is de hypotenusa, de onbekende variabele c. Laten we hierbij de stelling van Pythagoras toepassen:
- a² + b² = c²
- (5)² + (20)² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- sqrt(425) = c
- c = 20,6 . De lengte van de ladder is (bij benadering) 20,6 meters .
- "5 meter is de afstand tot de muur” en "de ladder komt 20 meter hoog”. Dit geeft een aanwijzing over de lengte van de zijden van de driehoek. Omdat de muur en de grond naar we mogen aannemen een rechte hoek vormen en de ladder in een hoek diagonaal tegen de muur aan staat, kunnen we deze opstelling beschouwen als een rechthoekige driehoek, waarvan de zijden een lengte hebben van a = 5 en b = 20. De lengte van de ladder is de hypotenusa, de onbekende variabele c. Laten we hierbij de stelling van Pythagoras toepassen:
Advertentie - Laten we eens een voorbeeld nemen uit de echte wereld. Een ladder leunt tegen een muur. De onderkant van de ladder staat op 5 meter afstand van de muur. De ladder komt tot 20 meter, gemeten vanaf de onderkant van de muur. Hoe lang is de ladder?
-
Definieer twee punten in het platte vlak. De stelling van Pythagoras kan heel gemakkelijk worden gebruikt om de afstand in een rechte lijn te bepalen tussen twee punten in het platte vlak. Alles dat je nodig hebt zijn de x en y coördinaten van twee willekeurige punten. Meestal worden deze coördinaten genoteerd als (x, y).
- Om de afstand te vinden tussen deze twee punten, beschouwen we elk van de punten als één van de hoekpunten van een rechthoekige driehoek, die niet behoren tot de rechte hoek. Hierdoor wordt het heel gemakkelijk om de lengte te vinden van a en b, waarna c (de hypotenusa en de afstand tussen de twee punten) kan worden uitgerekend.
-
Teken de twee punten in een grafiek. In een X-Y vlak is voor elk punt (x, y), x een punt op de horizontale x-as en y een punt op de verticale y-as. Je kunt de afstand tussen de twee vinden zonder ze in een grafiek te tekenen, maar door dit wel te doen heb je een visuele referentie waarmee je kunt controleren of je antwoord wel zinnig is.
-
Bepaal de lengte van de rechte zijden van je driehoek. Door je twee punten te beschouwen als de hoeken van de driehoek grenzend aan de hypotenusa, kun je de lengte vinden van de zijden a en b. Je kunt dit doen door de grafiek te gebruiken, of door het gebruiken van de formules |x 1 - x 2 | voor de horizontale zijde en |y 1 - y 2 | voor de verticale zijde, waarbij (x 1 ,y 1 ) het eerste punt is en (x 2 ,y 2 ) het tweede punt.
- Stel we hebben de punten (6,1) en (3,5). De lengte van de horizontale zijde van onze driehoek is:
- |x 1 - x 2 |
- |3 - 6|
- | -3 | = 3
- De lengte van de verticale zijde is:
- |y 1 - y 2 |
- |1 - 5|
- | -4 | = 4
- Dus kunnen we stellen dat de lengte van de zijden van onze rechthoekige driehoek, gelijk is aan a = 3 en b = 4.
- Stel we hebben de punten (6,1) en (3,5). De lengte van de horizontale zijde van onze driehoek is:
-
Gebruik de stelling van Pythagoras om de hypotenusa te vinden. De afstand tussen de twee punten is de lengte van de hypotenusa van de driehoek. Gebruik de stelling van Pythagoras om de schuine zijde van de driehoek te vinden, met zijden a, b en c.
- In ons voorbeeld weten we de punten (3,5) en (6,1), en de lengte van de zijden zijn a= 3 en b=4, dus bepalen we de hypotenusa dan als volgt:
-
- (3)²+(4)²= c²
- c= sqrt(9+16)
- c= sqrt(25)
- c= 5. De afstand tussen (3,5) en (6,1) is 5 .
-
Advertentie - In ons voorbeeld weten we de punten (3,5) en (6,1), en de lengte van de zijden zijn a= 3 en b=4, dus bepalen we de hypotenusa dan als volgt:
Tips
- Als de driehoek geen rechthoekige driehoek is, dan kun je de stelling van Pythagoras niet zomaar gebruiken.
- De hypotenusa is altijd:
- de lijn tegenover de rechte hoek
- de langste zijde van de rechthoekige driehoek
- de variabele c in de stelling van Pythagoras
- sqrt(x) betekent "de vierkantswortel van x".
- Vergeet niet om je antwoorden altijd te controleren. Als het er op lijkt dat een antwoord niet klopt, controleer dan je berekeningen, of begin overnieuw.
- Als je maar één kant van de driehoek weet, maar ook één van de andere hoeken (dan de rechte hoek), bereken dan eerst nog een zijde met wat je weet over goniometrie (sin, cos, tan) of de verhoudingen 30-60-90 / 45-45-90.
- Een andere controle – de langste zijde staat tegenover de grootste hoek en de kortste zijde tegenover de kleinste hoek.
Advertentie
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
