ดาวน์โหลดบทความ
ดาวน์โหลดบทความ
ทฤษฎีบทของพีธากอรัสอธิบายถึงความยาวของด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างหมดจดและนำมาใช้งานได้ดีจนกระทั่งทฤษฎีบทนี้ยังคงถูกใช้อย่างแพร่หลายในทุกวันนี้ ทฤษฎีบทระบุว่าสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ผลรวมของจำนวนยกกำลังสองของด้านประชิดมุมฉากจะเท่ากับยกกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก พูดอีกอย่างก็คือ สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประชิดมุมฉากความยาว a กับ b และด้านตรงข้ามมุมฉากความยาว c แล้ว a 2 + b 2 = c 2 . ทฤษฎีบทของพีธากอรัสเป็นหนึ่งในเสาหลักพื้นฐานของวิชาเรขาคณิตเบื้องต้น มีการนำมาประยุกต์ใช้นับไม่ถ้วน ยกตัวอย่างเช่น เมื่อใช้ทฤษฎีบทนี้ ก็จะสามารถหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนระนาบแกนมุมฉากได้โดยง่าย
ขั้นตอน
-
ให้แน่ใจก่อนว่าสามเหลี่ยมของคุณเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก. ทฤษฎีบทของพีธากอรัสนั้นใช้ได้เฉพาะกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ฉะนั้น ก่อนที่จะทำการคำนวณ จึงเป็นเรื่องสำคัญที่จะต้องแน่ใจก่อนว่าสามเหลี่ยมรูปนั้นตรงกับสามเหลี่ยมมุมฉาก โชคดีที่มีแค่ปัจจัยเดียวในการตัดสินว่ามันเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ นั่นคือ สามเหลี่ยมของคุณจะต้องมีหนึ่งมุมที่มีองศา 90 องศาพอดี
- เวลาเขียนเป็นรูปภาพอย่างย่นย่อ มุมฉากจะถูกเขียนประกอบด้วยสี่เหลี่ยมเล็กๆ แทนที่จะเป็น “เส้นโค้ง” เพื่อที่จะบ่งบอกคุณสมบัติของมัน ให้มองหาเครื่องหมายดังกล่าวบนรูปสามเหลี่ยมของคุณ
-
ใส่ค่าตัวแปร a, b, และ c ลงไปยังแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม. ในทฤษฎีบทของพีธากอรัส ตัวแปร a และ b แทนด้านประชิดมุมฉาก ในขณะที่ตัวแปร c หมายถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือด้านที่ยาวที่สุดซึ่งจะอยู่ตรงข้ามกับมุมฉากเสมอ ดังนั้น ตอนเริ่มต้นให้แทนค่าทั้งสองด้านที่สั้นกว่าบนรูปสามเหลี่ยมด้วยตัวแปร a และ b (มันไม่สำคัญว่าจะแทนด้านไหนเป็น 'a' หรือ 'b') และแทนค่าด้านตรงข้ามมุมฉากด้วยตัวแปร c
-
ดูว่าด้านใดของรูปสามเหลี่ยมที่คุณจะต้องแก้โจทย์. ทฤษฎีบทของพีธากอรัสให้นักคณิตศาสตร์หาค่าความยาวของด้านใดก็ได้ “ด้านหนึ่ง” ของด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตราบเท่าที่พวกเขาทราบความยาวของ “สองด้านที่เหลือ” ดูว่าด้านใดที่ยังไม่รู้ค่าความยาว - a , b , และ/หรือ c ถ้าหากมีด้านความยาวที่ยังไม่รู้ค่าเพียงด้านเดียว คุณก็พร้อมจะทำการคำนวณออกมาได้เลย
- ยกตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราทราบว่าด้านตรงข้ามมุมฉากมีความยาวเท่ากับ 5 และด้านอีกด้านหนึ่งของอีกสองด้านที่เหลือมีความยาวเท่ากับ 3 แต่เราไม่แน่ใจว่าความยาวของด้านที่สามจะเป็นเท่าไหร่ ในกรณีนี้ เรารู้ว่าเราต้องแก้โจทย์หาค่าของด้านที่สาม และเพราะเราทราบค่าความยาวของสองด้านที่เหลือแล้ว ดังนั้นเราจึงพร้อมคำนวณได้เลย! เราจะกลับมายังปัญหาตัวอย่างนี้ในขั้นตอนต่อไป
- ถ้ายังไม่รู้ความยาวของด้าน “สอง” ด้าน คุณจำต้องหาค่าความยาวของด้านเพิ่มขึ้นอีกด้านถึงจะใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัสได้ วิชาตรีโกณมิติพื้นฐานสามารถนำมาช่วยคุณได้ตรงจุดนี้หากคุณรู้มุมที่ไม่ใช่มุมฉากหนึ่งมุมภายในรูปสามเหลี่ยม
-
แทนค่าที่คุณทราบสองค่าลงไปในสมการ. ใส่ค่าความยาวแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมลงไปในสมการ 2 + b 2 = c 2 จำไว้ว่าตัวแปร a และ b เป็นด้านประชิดมุมฉาก ส่วนตัวแปร c เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
- ในตัวอย่างของเรา เรารู้ความยาวของด้านหนึ่งด้านและด้านตรงข้ามมุมฉาก (3 กับ 5) ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการได้ว่า 3² + b² = 5²
-
คำนวณค่ายกกำลังสอง. การแก้สมการนี้นั้น เริ่มโดยการใส่ยกกำลังสองให้กับด้านที่คุณทราบแต่ละด้าน อีกทางเลือกถ้าคุณเห็นว่ามันง่ายกว่าก็คือคุณอาจทิ้งความยาวแต่ละด้านในรูปของเลขชี้กำลัง แล้วค่อยยกกำลังสองให้มันภายหลัง
- ในตัวอย่างของเรา เราจะยกกำลังสองให้กับค่า 3 กับ 5 จนได้ 9 และ 25 ตามลำดับ เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้ว่า 9 + b² = 25
-
ย้ายข้างตัวแปรปริศนาให้ไปอยู่เพียงข้างเดียวของเครื่องหมายเท่ากับ. ถ้าจำเป็นก็ใช้พีชคณิตพื้นฐานเมื่อย้ายข้างสมการให้ตัวแปรที่ยังไม่รู้ค่าไปอยู่ข้างหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับและอีกข้างเป็นด้านสองด้านที่คุณทราบค่า ถ้าคุณกำลังหาค่าของด้านตรงข้ามมุมฉาก c นั้นถูกแยกออกมาอยู่ข้างหนึ่งแล้ว ดังนั้นคุณจึงไม่ต้องทำการย้ายข้างอีก
- ในตัวอย่างของเรา สมการในขณะนี้คือ 9 + b² = 25. เพื่อจะโดดเดี่ยวค่า b² ให้นำ 9 ไปลบจากสมการทั้งสองข้าง ก็จะเหลือไว้เพียง b² = 16
-
ใส่สแควร์รูทสองเข้าไปในสมการทั้งสองข้าง. คุณจะได้ค่าตัวแปรปริศนายกกำลังสองทางข้างหนึ่งของสมการกับอีกข้างเป็นตัวเลข แค่ใส่สแควร์รูทลงไปทั้งสองข้างเพื่อหาความยาวของด้านที่เรายังไม่รู้ค่า
- ในตัวอย่างของเรา b² = 16 ใส่สแควร์รูทลงไปทั้งสองด้านจะทำให้เราได้ค่า b = 4 เพราะฉะนั้น เราสามารถบอกได้ว่าความยาวของด้านที่ไม่ทราบค่าของรูปสามเหลี่ยมในโจทย์คือ 4
-
ใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัสเพื่อหาด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากในโลกชีวิตจริง. เหตุผลที่ทำให้ทฤษฎีบทของพีธากอรัสยังถูกใช้อย่างแพร่หลายในทุกวันนี้ก็เพราะมันสามารถนำมาประยุกต์ใช้ได้ในสถานการณ์นับไม่ถ้วน เรียนรู้ที่จะหารูปสามเหลี่ยมมุมฉากในชีวิตจริง คือในสถานการณ์ใดๆ ที่มีวัตถุรูปทรงตรงสองชิ้นหรือเป็นเส้นตรงสองเส้นมาชนกันเป็นมุมฉากและมีเส้นหรือวัตถุชิ้นที่สามวางทแยงมุมจากมุมฉากนั้น คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัสเพื่อหาความยาวของด้านใดด้านหนึ่งได้ หากทราบความยาวของสองด้านที่เหลือ
- มาลองดูตัวอย่างในชีวิตจริงที่อาจยากขึ้นมานิดหน่อย บันไดถูกวางพาดกับตัวอาคาร ฐานบันไดนั้นอยู่ห่างจากฐานกำแพงอยู่ 5 เมตร ตัวบันไดวางพาดอยู่ตรงความสูง 20 เมตรของกำแพงตัวอาคาร บันไดนี้จะยาวเท่าไหร่?
- "5 เมตรจากพื้นกำแพง” และ "สูง 20 เมตรของกำแพงตัวอาคาร” บอกให้เรารู้ความยาวสองด้านของรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากกำแพงกับพื้นนั้น (ควรจะ) มาบรรจบกันเป็นมุมฉากและบันไดถูกพาดทแยงกับกำแพง เราสามารถคิดถึงการจัดวางเช่นว่าเป็นรูปทรงสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้าน a = 5 และ b = 20 ความยาวของบันไดก็คือด้านตรงข้ามมุมฉากนั่นเอง ดังนั้น c ก็คือตัวแปรปริศนา มาใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัสกัน:
- a² + b² = c²
- (5)² + (20)² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- sqrt(425) = c
- c = 20.6 ความยาวโดยประมาณของบันไดจึงเท่ากับ 20.6 เมตร
- "5 เมตรจากพื้นกำแพง” และ "สูง 20 เมตรของกำแพงตัวอาคาร” บอกให้เรารู้ความยาวสองด้านของรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากกำแพงกับพื้นนั้น (ควรจะ) มาบรรจบกันเป็นมุมฉากและบันไดถูกพาดทแยงกับกำแพง เราสามารถคิดถึงการจัดวางเช่นว่าเป็นรูปทรงสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้าน a = 5 และ b = 20 ความยาวของบันไดก็คือด้านตรงข้ามมุมฉากนั่นเอง ดังนั้น c ก็คือตัวแปรปริศนา มาใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัสกัน:
โฆษณา - มาลองดูตัวอย่างในชีวิตจริงที่อาจยากขึ้นมานิดหน่อย บันไดถูกวางพาดกับตัวอาคาร ฐานบันไดนั้นอยู่ห่างจากฐานกำแพงอยู่ 5 เมตร ตัวบันไดวางพาดอยู่ตรงความสูง 20 เมตรของกำแพงตัวอาคาร บันไดนี้จะยาวเท่าไหร่?
-
นิยามจุดสองจุดในระนาบ X-Y. ทฤษฎีบทของพีธากอรัสสามารถใช้คำนวณระยะห่างที่เป็นเส้นตรงระหว่างจุดสองจุดในระนาบ X-Y ทั้งหมดที่คุณจำต้องทราบก็คือพิกัด x กับ y ของจุดสองจุดใดๆ โดยส่วนใหญ่แล้วพิกัดเหล่านี้จะถูกเขียนเป็นคู่ตามลำดับในรูปแบบของ (x, y)
- ในการหาระยะทางระหว่างจุดสองจุด เราจะปฏิบัติกับจุดแต่ละจุดเหมือนมุมที่ไม่ใช่มุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยการทำเช่นนี้ มันจะทำให้การหาความยาวของด้าน a และ b ได้ง่าย จากนั้นก็คำนวณค่า c หรือด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งจะเป็นระยะทางระหว่างจุดสองจุด
-
พล็อตจุดสองจุดลงบนกราฟ. ในระนาบ X-Y ทั่วไป สำหรับจุดแต่ละจุด (x,y) x จะเป็นพิกัดบนแกนนอนและ y จะบ่งบอกพิกัดในแนวตั้ง คุณสามารถหาระยะทางระหว่างจุดสองจุดโดยไม่ต้องพล็อตมันลงบนกราฟ แต่ถ้าทำเช่นนั้นจะช่วยให้นึกภาพตามออกซึ่งทำให้คุณมั่นใจในคำตอบที่ได้เพิ่มขึ้น
-
หาความยาวของด้านประชิดมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมของคุณ. ใช้จุดสองจุดที่ว่านั้นเป็นเสมือนมุมของรูปสามเหลี่ยมที่มียอดติดกันกับด้านตรงข้ามมุมฉาก หาความยาวของด้าน a และ b ของรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถนึกภาพตามโดยการพล็อตลงกราฟ หรือโดยใช้สูตร |x 1 - x 2 | สำหรับด้านแนวนอน และ |y 1 - y 2 | สำหรับด้านแนวตั้ง ที่ซึ่ง (x 1 ,y 1 ) คือจุดแรกและ (x 2 ,y 2 ) คือจุดที่สอง
- เช่นว่าจุดสองจุดของเราคือ (6,1) และ (3,5) ความยาวของด้านในแนวนอนของรูปสามเหลี่ยมของเราก็คือ:
- |x 1 - x 2 |
- |3 - 6|
- | -3 | = 3
- ความยาวของด้านในแนวตั้งคือ:
- |y 1 - y 2 |
- |1 - 5|
- | -4 | = 4
- เพราะฉะนั้น เราสามารถบอกได้ว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากของเรานั้น ด้าน a = 3 และด้าน b = 4
- เช่นว่าจุดสองจุดของเราคือ (6,1) และ (3,5) ความยาวของด้านในแนวนอนของรูปสามเหลี่ยมของเราก็คือ:
-
ใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัสเพื่อแก้โจทย์หาด้านตรงข้ามมุมฉาก. ระยะทางระหว่างจุดสองจุดคือด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมซึ่งเราเพิ่งหาค่าของด้านสองด้านไป ใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัสเหมือนเช่นที่ปกติใช้หาค่าด้านตรงข้ามมุมฉาก โดยกำหนดให้ a เป็นความยาวของด้านแรกและ b เป็นความยาวของด้านที่สอง
- ในตัวอย่างของเราใช้จุด (3,5) และ (6,1), ความยาวแต่ละด้านของเราคือ 3 กับ 4 ดังนั้นเราจะหาด้านตรงข้ามมุมฉากได้ดังนี้:
-
- (3)²+(4)²= c²
- c= sqrt(9+16)
- c= sqrt(25)
- c= 5 ระยะห่างระหว่าง (3,5) และ (6,1) เท่ากับ 5 .
-
โฆษณา - ในตัวอย่างของเราใช้จุด (3,5) และ (6,1), ความยาวแต่ละด้านของเราคือ 3 กับ 4 ดังนั้นเราจะหาด้านตรงข้ามมุมฉากได้ดังนี้:
เคล็ดลับ
- ด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นจะต้อง:
- อยู่ตรงข้ามมุมฉาก (ไม่ประชิดกับมุมฉาก)
- เป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
- แทนค่าด้วย c ในทฤษฎีบทของพีธากอรัส
- sqrt(x) หมายถึง "สแควร์รูทของ x".
- จำไว้ว่าให้ตรวจสอบผลที่ได้ซ้ำเสมอ หากคำตอบที่ได้ดูเหมือนจะไม่ถูกต้อง ให้ย้อนกลับไปทำใหม่อีกครั้ง
- อีกวิธีตรวจสอบ - ด้านที่ยาวที่สุดจะอยู่ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่ที่สุด และด้านที่สั้นที่สุดจะอยู่ตรงข้ามกับมุมที่เล็กที่สุด
- ถ้ารูปสามเหลี่ยมนั้นไม่ได้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณจำต้องมีข้อมูลมากกว่าแค่ความยาวของด้าน 2 ด้าน
- แผนภาพจะเป็นกุญแจในการแทนค่าของ a, b, และ c ให้ถูกต้อง ถ้าหากคุณกำลังต้องแก้โจทย์ที่เป็นลักษณะเรื่องเล่า ให้แน่ใจว่าได้นำข้อมูลมาทำเป็นแผนภาพก่อน
- ถ้าคุณรู้ค่าเพียงแค่ด้านเดียว จะไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัสได้ ให้ใช้วิชาตรีโกณมิติ (sin, cos, tan) หรืออัตราส่วน 30-60-90 / 45-45-90 ของมุมภายในสามเหลี่ยมแทน
โฆษณา
เกี่ยวกับวิกิฮาวนี้
มีการเข้าถึงหน้านี้ 11,799 ครั้ง
โฆษณา
