تنزيل المقال
تنزيل المقال
تُستَعمَل الأسس عند ضرب عدد بنفسه، فبدلًا من كتابة ، يمكنك ببساطة كتابة ، وهو ما سيشرحه هذا المقال بالتفصيل في قسمه الأول المسمى "حل أسس بسيطة". تُسهّل الأسس كتابة العبارات أو المسائل الطويلة والمعقدة، ويمكنك كذلك أن تجمع أو تطرح الأسس بسهولة لتبسيط المسائل إذا دعت الحاجة، بعد أن تتعلم قواعد جمع وطرح الأسس (مثلًا: ). ملاحظة : هذا المقال يشرح الأسس العددية؛ إذا كنت هنا لتعلم حل المعادلات الأسية التي تحتوي أسسها على قيم غير معروفة، مثل: ، فهذا ليس المكان الصحيح؛ يمكنك البحث في جوجل عن "طريقة حل معادلات تحتوي على دوال أسية".
الخطوات
-
تعلم التعبيرات والمفردات الصحيحة لمسائل الأسس. عندما تقابل عددًا أسيًا مثل ، أمامك جزأين بسيطين. العدد السفلي (الذي هو 2 هنا) يسمى الأساس ، والعدد المرفوع له (وهو 3) يُعرَف باسم الأس أو القوة . فعندما نتحدث عن المثال ، نقول أن هذه "اثنان أس ثلاثة" أو "القوة الثالثة للعدد اثنين" أو "اثنان مرفوعة للقوة الثالثة".
- إذا رُفِع عدد للقوة الثانية، مثل: ، يمكنك أيضًا أن تقول إن هذا العدد مربع ، أي "خمسة تربيع".
- إذا رُفع عدد للقوة الثالثة، مثل: ، يمكنك القول كذلك أنه مكعب ، أي "عشرة تكعيب".
- إذا لم يكن للعدد أس ظاهر، مثل رقم 4 بسيط، يعتبر في الواقع مرفوعًا للقوة الأولى ويمكن أن يُكتَب على الصورة .
- إذا كان الأس صفرًا، ورُفع "عددٌ غير صفري" لدرجة "القوة الصفرية"، فإن قيمته تساوي 1، مثل: أو حتى إذا كان العدد من أي نوع آخر مثل عدد غير صحيح [١] X مصدر بحثي هناك إيضاح أكثر لهذه النقطة في قسم "افكار مفيدة" في آخر المقال.
-
كرر ضرب الأساس بعدد المرات الممثلة بالأس. لحل مسألة أسس بنفسك، ابدأ بكتابتها على صورة مسألة ضرب. بما أننا ذكرنا أنك ينبغي أن تضرب الأساس في نفسه عدد مرات قيمة الأس، إذًا في حال مسألة مثل ، سوف تضرب ثلاثة كسلسلة من أربع عوامل منفصلة، أو . أمثلة إضافية على هذا:
- عشرة تكعيب [٢] X مصدر بحثي
-
لحل عبارة: ابدأ بضرب أول عددين لتحصل على الناتج. مثال: عند حل ، سوف تضرب ، وهو ما يبدو مرهقًا إذا لم تتعامل مع المسألة خطوةً بخطوة . ابدأ بضرب أول أربعتين، ثم استبدل هاتين الأربعتين بناتج ضربهما كما سنوضح هنا:
-
-
اضرب حاصل أول زوج أعداد (16 في هذه الحالة) في العدد التالي. تابع ضرب الأعداد حتى "تُنمّي" الأس. متابعةً على مثالنا: سنضرب 16 في الـ 4 التالية، وهكذا:
-
-
-
- نستمر كما هو موضح بضرب الأساس في حاصل ضرب أول عددين من السلسلة إلى أن تنتهي الأعداد ويكون هذا هو الناتج النهائي. باختصار: استمر بضرب أول عددين ثم اضرب الناتج في العدد التالي من التسلسل؛ ينتج عن هذه الطريقة ناتجًا صحيحًا إذا طبقتها على أي أس. الناتج الذي نصل له بعد الانتهاء من مثالنا هو .
-
-
جرب حل أمثلة أخرى بيدك، وتأكد من إجابتك بعدها باستخدام آلة حاسبة.
-
استخدم زر "exp" أو " " أو "^" في الآلة الحاسبة لحساب الأسس. يكاد يستحيل أن تحل مسائل أسس أكبر - مثل - بنفسك، لكن الآلة الحاسبة سوف توجد لك الناتج ببساطة. يظهر الزر عادةً موضح بإحدى علامات الأس المذكورة هنا. في الآلة الحاسبة في ويندوز 7، يمكن تغيير الآلة العادية في حاسوبك إلى واحدة علمية من خلال النقر على مربع "View/عرض" واختيار "Scientific/علمية"، أو الوصول في ويندوز 10 لنفس الخيار بعد النقر على الخطوط الثلاثة التي ترمز القائمة في أعلى الآلة. لإعادة الآلة عادية كما كانت، اختر "Standard" من نفس القائمة.
- ابحث في جوجل عن المسألة لترَ ما إن كان الناتج الذي أوجدته صحيحًا. يمكنك استعمال رمز "^" من لوحة مفاتيح حاسوبك أو هاتفك الذكي أو الجهاز اللوحي الذي تستعمله كي تكتب العبارة الحسابية في بحث جوجل، وسوف يوجد لك هذا البحث نتيجة فورية ويظهر لك اقتراحات مسائل مشابهة لتستكشفها.
-
تُجمَع الأسس وتُطرَح فقط في حال تماثل الأساس والأس. إذا كانت الأسس والأساسات متطابقة، مثل: ، يمكنك تبسيط جمع الحدود إلى مجرد مسألة ضرب. تذكر أن يمكن اعتبارها وبالتالي من خلال جمع "1 من هذا مع 1 من ذاك = 2 من ذاك" أيًا تكن ماهية "ذاك"، وهو ما يصح عامةً في الرياضيات. اجمع فحسب عدد الحدود المتماثلة (مع الأساس والأس المتطابقين) واضرب الناتج في هذه العبارة الأسية. يمكنك ببساطة أن تحل الآن وتضرب الناتج في اثنين. تذكر أن السبب من ذلك هو أن الضرب ما هو إلا طريقة أخرى لكتابة الجمع، بما أن . انظر لهذه الأمثلة: [٣] X مصدر بحثي
-
اضرب الأعداد متماثلة الأساس من خلال جمع أسسهم. إذا كان أمامك عددين لهما نفس الأساس، مثل: ، كل المطلوب لجمعهما هو أن تجمع الأسين وتبقي الأساس كما هو. هكذا: . إذا كان هذا المبدأ غريبًا عليك، حلل الأعداد إلى أجزائها كي تفهم نظام هذه الفكرة بالكامل:
- بما أن كل ما في المسألة هو عبارة عن نفس العدد مضروبًا في نفسه لعدد من المرات، يمكننا أن نجمع ضربهم كالتالي:
- [٤] X مصدر بحثي
-
ضرب عدد أسي مرفوع لقوة أخرى مثل . إذا كان هناك رقم مرفوع لقوة، وكلاهما مرفوعين معًا لقوة أخرى، اضرب الأسين ببساطة. إذًا: . كما قلنا في الخطوة السابقة؛ فكر فيما تعنيه هذه الرموز إذا شعرت أمام هذا المبدأ بصعوبة فهمه. العدد يعني ببساطة أن نضرب في نفسها 5 مرات، وبالتالي:
- بما أن أساسات الأساس متماثلة، يمكن أن تجمعهم معًا:
-
عامل الأسس السالبة كالكسور أو كمقلوب العدد. إذا كنت لا تعرف ما هو المقلوب، ستتمكن من فهمه بسهولة كالتالي: إذا كان معك هذا الأس السالب ، حول إشارة الكسر موجبة واجعله مقامًا لكسر بسطه الواحد، فيصبح العدد الأسي هو . إليك بعض الأمثلة الأخرى:
- [٥] X مصدر بحثي
-
اقسم عددين أسيين لهما نفس الأساس من خلال طرح الأسس. القسمة عكس الضرب، ومع أن هذا لا يعني دائمًا أن طريقة حل كل منهم معاكسة للأخرى، لكنها كذلك هنا. إذا كانت المسألة التي معك هي ، اطرح ببساطة الأس العلوي ناقص السفلي واترك الأساس كما هو. بالتالي: ، أو 16 .
- كما سترى بعد قليل، أي عدد يشكل جزءًا من كسر مثل يمكن في الحقيقة أن يُكتَب بطريقة أخرى على الصورة . الأسس السالبة تصنع كسورًا.
-
جرب التدرب على بعض المسائل كي تتعود على حل الأعداد الأسية. تغطي المسائل التالية كل ما شرحناه حتى الآن، لكي تتمكن من رؤية الإجابة، قم بالتحديد على السطر الذي توجد المسألة به بالكامل.
- = 125
- = 12
- = -x^12
- = تذكر: العدد غير المرفوع لقوة، له أس قيمته 1
- =
- = [٦] X مصدر بحثي
-
تعامل مع الأسس الكسرية مثل كمسائل جذور تربيعية. العدد الأسي هو مماثل تمامًا في الواقع للعدد . تستعمل هذه الطريقة دائمًا كما هي أيًا كان مقام الكسر، فالعدد هو الجذر الرابع لـ x، ويُكتب على الصورة .
- الجذور هي معكوسات الأسس. إذا أخذت مثلًا الناتج ورفعته للقوة الرابعة، ستعود للعدد ، مثلما يمكن التعامل مع على أنه . على سبيل المثال أيضًا: إذا كانت فإن وبالتالي . [٧] X مصدر بحثي
-
حول العدد العلوي إلى أس عادي في حال كان الأس كسرًا مختلطًا. قد تبدو المسألة مستحيلة الحل، لكنها سهلة للغاية إذا تذكرت كيف تُضرَب الأسس. حول الأساس إلى جذر كما تفعل مع الأسس الكسرية العادية، ثم ارفعه ارفع العدد بأكمله إلى القوة التي على أعلى الكسر. إذا وجدت صعوبة في تذكر هذا، فكر جيدًا في النظرية بأكملها. بمعنى أن ما هي إلا صورة أخرى لـ مثلًا:
- =
-
اجمع واطرح واضرب الأسس الكسرية بنفس القواعد المعتادة. من الأسهل كثيرًا أن تحاول تجمع أو تطرح الأسس قبل أن تحلها أو تحولها إلى جذور. إذا كان للعددين نفس الأساس وكانت الأسس متطابقة، يمكنك جمعهم وطرحهم كالمعتاد. كذلك يمكن ضرب وقسمة الأسس كالمعتاد عند تماثل الأساسات، طالما كنت تعرف كيفية جمع وطرح الكسور وتطبق ذلك بشكل صحيح. مثال:
- [٨] X مصدر بحثي
![{\sqrt[ {4}]{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6193130540098748b8aecf0b95bf490c2ae3d867)
![{\sqrt[ {4}]{16}}=2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc7611c792190a491115fad8596026987d51cb7)
![{\sqrt[ {4}]{x}}=2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e178eca22cc5d6a49d2fbda5c6c18a1ec1669fb2)
![x^{{{\frac {1}{3}}}}={\sqrt[ {3}]{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759eade6ce89e27b301ccdcd83d7e8858827b8e2)
![({\sqrt[ {3}]{x}})^{5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea002d6365c3ba2d1d255162136605453a7135f)
أفكار مفيدة
- يوجد في معظم الآلات الحاسبة زرًا تضغط عليه لكتابة الرقم كأس بعد أن تكتب الأساس كي تحل أي مسألة أسية، يكون هذا الزر على الأغلب عليه علامة مثل ^ أو س^ص (x^y).
- ”التبسيط" في الرياضيات يعني العمل على المسائل المعطاة لتحويل العبارات الرياضية التي بها إلى أبسط صورة ممكنة .
- 1 هو العنصر المحايد للأسس؛ بمعنى أن أي عدد حقيقي مرفوع للقوة الأولى (للعدد 1) هو العدد نفسه، فمثلًا: ويعد الواحد كذلك عنصرًا محايدًا للضرب (يستعمل 1 كعامل مضروب به في كل الحالات، مثل في ) وهو أيضًا العنصر المحايد في القسمة (أي عدد لا مقام له هو مقسوم على الواحد، مثل ).
- الأساس الصفري المرفوع لقوة صفرية (0 0 ) هو قيمة غير معرفة (أو يقال أحيانًا أنها لا وجود لها). إذا أدخلت مسألة كهذه إلى حاسوب أو آلة حاسبة، سيعطيك النتيجة "خطأ". تذكر كذلك أن أي عدد حقيقي غير صفري مرفوع للقوة 0 يساوي 1 دائمًا، مثل
- في الجبر المتقدم للأعداد التخيلية، ، حيث ، و(e) عدد ثابت غير نسبي غير منتهٍ يساوي تقريبًا 2.71828...، و(a) هي أي ثابت عشوائي (cos و sin هما بالطبع جتا وجا). يمكن إيجاد البرهان على ذلك في أي كتاب رياضيات متقدم.
تحذيرات
- يتسبب زيادة الأس برفع قيمة الناتج بسرعة كبيرة، فيمكن أن تكون الإجابة صحيحة حتى لو بدت الإجابة خاطئة (يمكنك التحقق من ذلك من خلال التمثيل البياني لأي معادلة أسية، مثل: 2 x ، إذا كان لـ x نطاق من القيم).
المصادر
- ↑ http://usablealgebra.landmark.edu/algebra/exponents/rules.php
- ↑ http://www.rapidtables.com/math/number/exponent/adding-exponents.htm#same-base
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/exponent.htm
- ↑ http://www.rapidtables.com/math/number/exponent/adding-exponents.htm#same-base
- ↑ http://www.rapidtables.com/math/number/exponent/adding-exponents.htm#same-base
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/exponent.htm
- ↑ http://usablealgebra.landmark.edu/algebra/exponents/rules.php
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/exponent.htm
المزيد حول هذا المقال
تم عرض هذه الصفحة ٢٢٦٬٧١٣ مرة.
