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Als Umfang bezeichnet man die Länge der Außenlinie einer Form. Im Allgemeinen findet man den Umfang einer Form heraus, indem man die Länge aller ihrer Seiten addiert. Bei bestimmen Formen, wie Rechtecken und Kreisen, gibt es spezielle Formeln, die den Vorgang vereinfachen. In anderen Fällen könnte die Seitenlänge einer oder mehrerer Seiten unbekannt sein, aber andere Daten angegeben sein. In solchen Fällen musst du ein paar zusätzliche Schritte ausführen, um die fehlende Seitenlänge zu finden, bevor du den Umfang errechnen kannst.
Vorgehensweise
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Als Umfang definiert man die Strecke, die eine bestimmte Fläche umgibt. Stelle dir einen Zaun vor, der rund um dein ganzes Grundstück verläuft. Um die Gesamtlänge des Zauns zu finden, müsstest du den Umfang des Grundstücks berechnen. Eine Möglichkeit wäre, den ganzen Zaun mit der Hand abzumessen, eine einfachere Methode ist aber, eine Formel für den Umfang zu verwenden. [1] X Forschungsquelle
- Vielleicht kennst du nicht die Länge aller vier Seiten, das wäre ein weiterer Grund, eine Gleichung anzuwenden, um den Umfang zu finden, anstatt eine einfache Addition.
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Bei einem Kreis bezeichnet man den Umfang auch als Kreisumfang. Da ein Kreis gar keine geraden Linien hat, ist die Methode, um seinen Umfang herauszufinden, ein bisschen anders. Man verwendet dafür Pi und den Radius oder Durchmesser der ganzen Form. [2] X Forschungsquelle
- Du kannst den Umfang eines Kreises nicht berechnen, indem du ihn einfach abmisst; du musst die Gleichung für den Umfang verwenden.
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Gib den Umfang in einer Längenmaßeinheit an. Es gibt Meter, Zoll, Meilen, Kilometer usw. Weil du die Länge von etwas misst, musst du immer ein reales Längenmaß anwenden, wenn du dein Ergebnis angibst. [3] X Forschungsquelle
- Du musst sicherstellen, dass alle Einheiten gleich sind, bevor du die Gleichung ausrechnest. Das könnte bedeuten, dass du Fuß in Zentimeter, Meilen in Kilometer oder andere Einheiten umrechnen musst.
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Verwende einen Onlinerechner, um dein Ergebnis zu überprüfen. Auch wenn du bei einer Hausaufgabe oder Prüfung deinen Arbeitsgang zeigen musst, kannst du dennoch einen Onlinerechner verwenden, um zu überprüfen, dass er richtig ist. Suche in einem Webbrowser nach der Form, mit der du arbeitest, und dem Wort Umfang, um kostenlose Rechner zu finden, die du dafür nutzen kannst. [4] X Forschungsquelle
- Achte darauf, einen Rechner für die jeweilige Form zu verwenden.
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Schreibe die Formel für den Umfang eines Rechtecks auf. Die Formel lautet , wobei dem Umfang des Rechtecks entspricht, der Breite des Rechtecks und der Höhe des Rechtecks. Wenn du die Länge der Breite oder der Höhe des Rechtecks nicht kennst, kannst du diese Formel nicht verwenden. [5] X Forschungsquelle
- Du kannst auch die Formel verwenden, in der jede Variable der Länge einer Seite des Rechtecks entspricht. Eine Variable ist ein Buchstabe in einer Gleichung, den du anstelle einer Zahl einsetzt.
- Wenn du die Höhe und Breite der Form nicht kennst, kannst du Informationen, die du hast, wie zum Beispiel die Fläche, die Länge einer Seite oder die Länge der Diagonale verwenden.
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Setze die Breite und die Höhe in die Formel ein. Es ist egal, welches Maß du für die Breite und welches du für die Höhe einsetzt, denn es handelt sich bei beiden um zwei gegenüberliegende Seiten. Wenn das Rechteck kein Quadrat ist, hat es zwei unterschiedliche Seitenlängen. [6] X Forschungsquelle
- Wenn das Rechteck zum Beispiel eine Breite von 5 cm und eine Höhe von 10 cm hat, sieht die Formel so aus: .
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Addiere die Breite und die Höhe und multipliziere mit 2. Achte darauf, die Operratorrangfolge zu befolgen und die Rechnung in Klammern vor der Multiplikation auszuführen. Der sich ergebende Wert ist der Umfang des Rechtecks. [7] X Forschungsquelle
- Zum Beispiel:
Der Umfang des Rechtecks beträgt also 30 cm.
- Zum Beispiel:
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Verwende die Formel , um den Umfang eines Quadrats zu finden. In dieser Formel entspricht der Länge einer Seite des Quadrats. Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten, um seinen Umfang zu finden, musst du also nur eine Seite mit 4 multiplizieren. [8] X Forschungsquelle
- Wenn ein Quadrat zum Beispiel eine Seite mit 3 cm Länge hat, würdest du, um den Umfang zu finden, so rechnen: . Sein Umfang ist also 12 cm.
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Finde dem Umfang anhand anderer Angaben. Oft ist nicht die Länge aller Seiten angegeben oder auch nur einer Seite. Es ist trotzdem möglich, den Umfang eines Rechtecks zu berechnen . [9] X Forschungsquelle
- Wenn du die Fläche eines Rechtecks und die Länge einer Seite kennst, kannst du den Umfang herausfinden, indem du die Länge der Breite oder Höhe anhand der Flächenformel ermittelst. Schreibe die Formel auf. Setze die Werte ein, die dir bekannt sind und löse die Gleichung nach der fehlenden Variable. Nun kennst du die Breite und die Höhe und kannst die Formel für den Umfang anwenden.
- Wenn du eine Seitenlänge und die Länge der Diagonale kennst, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die fehlende Seitenlänge herauszufinden. Schreibe die Formel auf. Sätze die Länge der Diagonale für und die Länge der Seite für ein. Löse nach . Jetzt kennst du die Breite und die Höhe und kannst die Formel für den Umfang anwenden. [10] X Forschungsquelle
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Schreibe die Formel für den Kreisumfang auf. Der Umfang ist die Strecke rund um den Kreis und die Formel lautet , wobei dem Umfang entspricht und dem Radius. Da der Radius die Hälfte des Durchmessers ist, kannst du die Formel verwenden, wenn du den Durchmesser anstelle des Radius kennst. [11] X Forschungsquelle
- Wenn du den Umfang eines Kreises ermittelst, musst du nicht addieren, weil ein Kreis keine getrennten, geraden Seiten hat.
- Pi ist eine mathematische Konstante, die in dieser Formel das Verhältnis des Durchmessers oder Radius eines Kreises zu seinem Umfang darstellt.
- Durchmesser: Die Länge der Linie, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft und den Rand auf beiden Seiten berührt.
- Radius: Die Länge der Strecke von Mittelpunkt bis zum Rand des Kreises.
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Setze die Länge des Radius in die Formel ein. Schreibe ihn an die Stelle der Variable . Wenn du den Durchmesser in der Formel verwendest, setze ihn für das ein. Die Länge des Radius oder Durchmessers sollte gegeben sein oder du musst sie messen können. [12] X Forschungsquelle
- Wenn der Radius des Kreises zum Beispiel 6 cm ist, würde die Formel so aussehen: .
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Multipliziere den Radius mit . Du kannst 3,14 für verwenden, wenn du mit einem Taschenrechner arbeitest, kannst du aber die Taste verwenden, um ein genaueres Ergebnis zu erreichen. Das Produkt dieser drei Werte entspricht dem Umfang des Kreises oder dem Kreisumfang. [13] X Forschungsquelle
- Zum Beispiel: . Der Umfang des Kreises ist also 37,7 cm.
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Finde den Umfang mithilfe der Fläche. Die Fläche eines Kreises wird durch die Formel angegeben. Wenn du die Fläche in diese Formel einsetzt, kannst du also nach lösen. Wenn du hast, kannst du mit Hilfe der Formel für den Umkreis wie gewohnt den Umkreis ermitteln. [14] X Forschungsquelle
- Wenn dir zum Beispiel gesagt wird, die Fläche eines Kreises sei 64 m², würdest du die Formel
aufschreiben. Dann löst du nach
:
Der Radius des Kreises entspricht also etwa 4,51 cm. Diesen Wert kannst du nun in die Formel für den Umfang einsetzen und sie lösen.
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aufschreiben. Dann löst du nach
:
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Schreibe die Formel für den Umfang eines Dreiecks auf. Die Formel lautet , wobei die Variablen für die drei Seiten des Dreiecks stehen. Diese Formel bleibt gleich, auch wenn das Dreieck rechtwinkelig ist. Wenn du weißt, dass du ein gleichseitiges Dreieck hast, brauchst du nur eine Seitenlänge, denn sie haben drei gleich lange Seiten. [15] X Forschungsquelle
- Hat ein Dreieck zum Beispiel Seiten mit 5, 7 und 12 cm Länge, kannst du den Umfang finden, indem du diese Seitenlängen addierst: . Der Umfang des Dreiecks beträgt also 24 cm.
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Finde den Umfang eines rechtwinkeligen Dreiecks, bei dem du eine Seitenlänge nicht kennst. Manchmal könnte ein rechtwinkeliges Dreieck und nur zwei der Seitenlängen angegeben sein. In dem Fall verwendest du den Satz des Pythagoras, um die fehlende Seitenlänge zu finden. Die Formel lautet , wobei die Länge der Hypotenuse (der Seite gegenüber von dem rechten Winkel) und und die anderen beiden Seitenlängen sind. Löse nach der fehlenden Variable und du erhältst die fehlende Seitenlänge. [16] X Forschungsquelle
- Wenn du zum Beispiel ein rechtwinkeliges Dreieck mit einer Hypotenuse von 10 cm und einer Seitenlänge von 6 cm hast, stellst du den Satz des Pythagoras so auf:
- Löse nach
:
- Jetzt wo du alle drei Seitenlängen hast, kannst du sie addieren, um den Umfang zu ermitteln: . Der Umfang des Dreiecks beträgt also 24 cm.
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Finde den Umfang eines gleichschenkeligen Dreiecks mit einer fehlenden Seitenlänge. Bei einem gleichschenkeligen Dreieck teilt die Höhe die Basis des Dreiecks entzwei. Wenn du die Höhe und die Basis des Dreiecks kennst, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die fehlenden Seitenlängen zu finden. [17] X Forschungsquelle
- Bei einem gleichschenkeligen Dreieck mit einer Höhe von 10 cm und einer Basis von 6 cm kannst du dir zum Beispiel vorstellen, dass die Höhe es in zwei rechtwinkelige Dreiecke teilt. Weil die Höhe die Basis halbiert, ist eine Seitenlänge des rechtwinkeligen Dreiecks 3 cm. Die andere Seitenlänge entspricht der Höhe: 10 cm. Die fehlende Seitenlänge ist die Hypotenuse des rechteckigen Dreiecks.
- Schreibe den Satz des Pythagoras auf und setze die Seitenlängen in die Formel ein: .
- Führe die notwendigen Berechnungen durch, um die fehlende Seitenlänge zu ermitteln:
. - Ein gleichschenkeliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten, der Umfang des Dreiecks entspricht also , wobei der Länge der Seiten entspricht und der Basis. Wenn du also die Länge der Basis und einer Seite kennst, kannst du den Umfang des gleichschenkeligen Dreiecks finden: . Der Umfang des Dreiecks ist also 26,88 cm.
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Finde die Länge einer Seite. Ein regelmäßiges Polygon (Vieleck) ist ein gleichwinkeliges und gleichseitiges Polygon. Du kannst die Länge einer der Seiten finden, wenn du die Länge des Apothemas oder des Radius des Vielecks kennst. Das Apothema ist der Abstand zwischen der Mitte des Polygons und dem Mittelpunkt einer beliebigen Seite und der Radius ist der Abstand zwischen der Mitte und einem der Eckpunkte. [18] X Forschungsquelle
- Um eine Seitenlänge bei bekanntem Apothema zu finden, verwende die Formel , wobei der Seitenlänge entspricht und dem Apothema. [19] X Forschungsquelle
- Um eine Seitenlänge bei bekanntem Radius zu finden, verwende die Formel , wobei die Seitenlänge ist und der Radius. [20] X Forschungsquelle
- Wenn der Radius eines Sechsecks zum Beispiel 5 cm entspricht, würdest du die Seitenlänge so berechnen:
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Schreibe die Formel für den Umfang eines regelmäßigen Polygons auf. Die Formel ist , wobei die Anzahl der Seiten des Polygons ist und die Länge einer der Seiten. [21] X Forschungsquelle
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Setze die Werte für und in die Formel ein. Multipliziere diese zwei Werte miteinander und du erhältst den Umfang des Polygons. [22] X Forschungsquelle
- Wenn ein regelmäßiges Hexagon (Sechseck) zum Beispiel eine Seitenlänge von 5 cm hat, würdest du rechnen: . Der Umfang des Hexagons beträgt also 30 cm.
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Miss die „Seiten“ der Ellipse. Eine Ellipse ist ein oval geformter Kreis, sie hat also keine geraden Linien. Um den Umfang zu finden, musst du die Länge der Höhe und der Breite kennen oder die Variablen a und b. Wenn du diese Angaben nicht hast, kannst du die Ellipse selber abmessen. [23] X Forschungsquelle
- Normalerweise verläuft Variable a von links nach rechts an der Hauptachse entlang und Variable b von oben nach unten an der kleinen Halbachse entlang.
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Setze die Daten in eine Gleichung ein. Es gibt tatsächlich mehrere verschiedene Gleichungen, die du verwenden kannst, um den Umfang einer Ellipse zu finden und mit jeder von ihnen erhältst du eine etwas andere Lösung. Die einfachste Formel lautet: [24] X Forschungsquelle
- Damit erhältst du ein Ergebnis innerhalb von 5 % an dem echten Umfang der Ellipse.
- Wenn Variable a zum Beispiel 3 und Variable b 2 ist, würde die Gleichung so aussehen:
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Löse die Gleichung. Nun kannst du die Variablen einsetzen, um den Umfang der Ellipse zu ermitteln. Denke daran, dass das eine annähernde Lösung ist und keine exakte. [25] X Forschungsquelle
- Lautet die Gleichung zum Beispiel , , ist auf zwei Nachkommastellen gerundet.
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Finde die Länge des Bogens. Ein Kreisausschnitt ist ein dreieckiges Stück aus einem ganzen Kreis (und sieht wie ein Pizzastück aus). Für die Gleichung musst du zunächst die Länge oder die Variable l, des Bogens herausfinden.
- Wenn diese Information nicht gegeben ist, kannst du diese Gleichung nach l lösen: .
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Setze die Variablen in die Gleichung ein. Um den Umfang eines Kreisausschnittes zu finden, setze die entsprechenden Zahlen in diese Gleichung ein: , wobei “2r” zweimal der Radius und “θ” der Winkel des Ausschnittes ist. Danach kannst du die Gleichung für den Umfang lösen. [26] X Forschungsquelle
- Bei einem Sektor mit einem Bogen von 4 mm Länge und einem Innenwinkel von 60 Grad erhältst du zum Beispiel: .
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Löse die Gleichung. Nachdem du die Variablen eingesetzt hast, kannst du die Operatorrangfolge anwenden, um den Umfang zu finden. Der Umfang ist die Zahl nach dem Gleichheitszeichen.
- .
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Stelle die Anzahl der Seiten und die Länge einer Seite fest. Ein Pentagon (Fünfeck) hat fünf Seiten, du kannst also die 5 in die Gleichung einsetzen. Dann musst du nur noch die Länge einer der Seiten finden und für die Variable „s“ einsetzen. [27] X Forschungsquelle
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Setze die Variablen in die Gleichung ein. Die Formel für den Umfang eines Pentagons lautet . Die Variable “s” steht für die Länge einer Seite. [28] X Forschungsquelle
- Die Gleichung könnte zum Beispiel so aussehen: .
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Berechne den Umfang. Nachdem du die Gleichung aufgeschrieben hast, kannst du sie ausrechnen, um das Ergebnis zu finden. Überprüfe dein Ergebnis mit einem Taschenrechner, um sicherzugehen, dass es richtig ist. [29] X Forschungsquelle
- Zum Beispiel .
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Finde die Länge aller vier Seiten heraus. Ein Quadrilateral (oder Viereck) sieht aus wie ein Rechteck mit ungleich langen Seiten. Wenn du alle vier Seiten des Quadrilaterals weißt, kannst du den Umfang berechnen, indem du sie addierst. [30] X Forschungsquelle
- Wenn du nicht die Länge aller vier Seiten kennst, kannst du die Angaben verwenden, die du hast, um nach der Variable x zu lösen.
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Setze die Seitenlängen in die Gleichung ein. Um den Umfang des Quadrilaterals zu finden, musst du nur die Seitenlängen addieren. Die Formel ist . [31] X Forschungsquelle
- Zum Beispiel .
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Addiere die Längen, um den Umfang zu finden. Wenn du alle vier Seitenlängen kennst, addiere sie einfach. Vergiss nicht, die Maßeinheit ans Ende des Ergebnissen anzuhängen. [32] X Forschungsquelle
- Zum Beispiel .
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Tipps
- Um den Umfang eines Trapezes zu finden, wenn du nicht alle Seitenlängen weißt, ist es oft am besten, das Trapez in zwei rechtwinkelige Dreiecke und ein Rechteck aufzuteilen. Danach kannst du die Eigenschaften rechtwinkeliger Dreiecke und Rechtecke verwenden, um die fehlenden Seitenlängen zu berechnen.
- Um den Umfang eines Rhombus zu finden, wenn eine Seitenlänge fehlt, solltest du allgemein gesagt die Diagonale(n) des Rhombus verwenden, um die Form in mehrere rechtwinkelige Dreiecke aufzuteilen. Dann kannst du den Satz des Pythagoras oder Trigonometrie einsetzen, um die fehlenden Seitenlängen herauszufinden.
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Referenzen
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- ↑ https://tutors.com/math-tutors/geometry-help/how-to-find-the-perimeter-of-a-pentagon
- ↑ https://tutors.com/math-tutors/geometry-help/how-to-find-the-perimeter-of-a-pentagon
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- ↑ https://www.math-only-math.com/perimeter-of-quadrilateral.html
- ↑ https://www.math-only-math.com/perimeter-of-quadrilateral.html
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