Cómo calcular la velocidad de escape

Coescrito por Joseph Meyer

La velocidad de escape es la velocidad necesaria para que un móvil venza la fuerza gravitacional que lo atrae al planeta en el que se encuentra. Por ejemplo, un cohete que va hacia el espacio se debe desplazar a una cierta velocidad de escape para que le sea posible salir de la Tierra y llegar al espacio exterior.

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La velocidad de escape es la velocidad necesaria para que un móvil venza la fuerza gravitacional que lo atrae al planeta en el que se encuentra para poder llegar al espacio exterior. Cuanto más grande sea un planeta, mayor será su masa, por lo que la velocidad de escape requerida para salir de ese planeta será mucho mayor que en un astrode menor masa. ^{[1]
X
Fuente de investigación}
2
Empecemos por la conservación de la energía. La Ley de la Conservación de la Energía establece que la cantidad de energía total de un sistema aislado es constante. En el siguiente ejemplo, consideraremos un sistema Tierra-Cohete, y asumiremos que se trata de un sistema aislado.
- De acuerdo a la ley de la conservación de la energía, igualaremos las energías potencial y cinética $K_{{1}}+U_{{1}}=K_{{2}}+U_{{2}},$ donde $K$ es la cantidad de energía cinética y $U$ es la cantidad de energía potencial.
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Definición de energía cinética y potencial.
- La energía cinética es la energía del movimiento, y es igual a ${\frac {1}{2}}mv^{{2}},$ donde $m$ es la masa del cohete y $v$ es su velocidad.
- La energía potencial es la energía respecto a l aposición en la que está un objeto respecto a los demás. En física, comúnmente se dice que la energía potencial en una distancia infinita es cero. Puesto que la gravedad es una fuerza de atracción, la energía potencial del cohete siempre será negativa (y disminuirá conforme este se acerque a la Tierra). Por lo tanto, escribimos la energía potencial como $-{\frac {GMm}{r}},$ en la que $G$ es la Constante Gravitacional de Newton, $M$ es la masa de la Tierra y $r$ es la distancia entre ambas masas.
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Sustitución en la ecuación de la conservación de la energía. Cuando el cohete alcance la velocidad mínima requerida para escapar de la Tierra, eventualmente se detendrá a una distancia infinita de la Tierra, así que: $K_{{2}}=0.$ Después, el cohete dejará de estar atraído por la fuerza de gravedad de la Tierra y ya no caerá de vuelta, por lo que $U_{{2}}=0$ igualmente.
- ${\frac {1}{2}}mv^{{2}}-{\frac {GMm}{r}}=0$
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Despejando v.
- ${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}mv^{{2}}&={\frac {GMm}{r}}\\v^{{2}}&={\frac {2GM}{r}}\\v&={\sqrt {{\frac {2GM}{r}}}}\end{aligned}}$
- $v$ en la ecuación de arriba obtenemos la velocidad de escape del cohete; la velocidad mínima requerida para dejar de ser afectado por la atracción gravitacional de la Tierra.
- Podemos notar como la velocidad de escape es independiente de la masa del cohete $m.$ La masa está incluida tanto en la energía potencial dada por la gravedad de la Tierra, así como la energía cinética obtenida del movimiento del cohete.
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Definimos la ecuación para obtener la velocidad de escape.
- $v={\sqrt {{\frac {2GM}{r}}}}$
- En esta ecuación se asume que el planeta en el que estás es completamente esférico y tiene una densidad constante. Sin embargo, en realidad la velocidad de escape depende de tu localización geográfica en la superficie porque el planeta se abulta en el ecuador y tiene una densidad ligeramente variable debido a su composición.
2
Entendiendo las variables de la ecuación.
- $G=6.67\times 10^{{-11}}{{\rm {\ N\ m^{{2}}\ kg^{{-2}}}}}$ es la constante gravitacional de Newton. El valor de esta constante nos da idea de que la gravedad es en realidad una fuerza bastante débil. Fue obtenida experimentalmente por Henry Cavendish en 1798, ^{[2]
  X
  Fuente de investigación} pero se ha comprobado que es considerablemente complicado medirla con precisión.
  - $G$ puede ser expresado en unidades fundamentales $6.67\times 10^{{-11}}{{\rm {\ m^{3}\ kg^{{-1}}\ s^{{-2}}}}},$ dado que $1{{\rm {\ N}}}=1{{\rm {\ kg\ m\ s^{{-2}}}}}.$ ^{[3]
    X
    Fuente de investigación}
- La masa $M$ y el radio $r$ dependen directamente del planeta del que deseas salir.
- Debes convertir las unidades al SI. Esto es, la masa debe ser expresada en kilogramos (kg) y la distancia en metros (m). Si tienes variables en diferentes unidades, como millas, debes hacer la conversión al SI.
3
Determina la masa y el radio del planeta en el que estás. Para la Tierra, asumiendo que estás a nivel del mar, $r=6.38\times 10^{{6}}{{\rm {\ m}}}$ y $M=5.98\times 10^{{24}}{{\rm {\ kg}}}.$
- Para otros planetas y lunas, puedes buscar tablas con los datos de masa y radio.
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Sustituye los valores en la ecuación. Ahora que ya tienes la información necesaria, puedes comenzar a resolver la ecuación.
- $v={\sqrt {{\frac {2(6.67\times 10^{{-11}}{{\rm {\ m^{{3}}\ kg^{{-1}}\ s^{{-2}}}}})(5.98\times 10^{{24}}{{\rm {\ kg}}})}{(6.38\times 10^{{6}}{{\rm {\ m}}})}}}}$
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Análisis dimensional. Recuerda que debes estar pendiente de las unidades que manejas, para poder cancelarlas conforme a las operaciones que realizas, para obtener una respuesta dimensionalmente consistente.
- ${\begin{aligned}v&={\sqrt {{\frac {2(6.67)(5.98)}{(6.38)}}\times 10^{{7}}{{\rm {\ m^{{2}}\ s^{{-2}}}}}}}\\&\approx 11200{{\rm {\ m\ s^{{-1}}}}}\\&=11.2{{\rm {\ km\ s^{{-1}}}}}\end{aligned}}$
- En el último paso, convertimos la respuesta de unidades de SI a ${{\rm {\ km\ s^{{-1}}}}}$ multiplicando por el factor de conversión ${\frac {{\text{1 km}}}{{\text{1000 m}}}}.$
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Consejos

Dado que la constante gravitacional de Newton is tan complicada de obtener con precisión, el parámetro gravitacional estándar $\mu =GM$ nos permite obtener un resultado más exacto. Puedes utilizar este factor para calcular la velocidad de escape con mejores resultado.
- El parámetro gravitacional estándar de la Tierra $\mu =3.986\times 10^{{14}}{{\rm {\ m^{{3}}\ s^{{-2}}}}}.$

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