Unduh PDF
Unduh PDF
Jika Anda tahu cara mengalikan matriks, Anda pasti bisa "membaginya". Kata bagi ditulis dalam tanda kutip karena matriks secara teknis tidak bisa dibagi. Alih-alih kita mengalikan satu matriks dengan invers matriks lainnya. Jika ini terdengar aneh, perhatikan dalam hitungan matematika yang lebih sederhana ini: alih-alih menghitung 10 ÷ 5, kita bisa menghitung kebalikan (invers) dari 5 (5 -1 atau 1 / 5 ), dan menghitungnya dengan 10 x 5 -1 , dan mendapatkan hasil yang sama. Oleh karena itu mengalikan dengan invers sebuah matriks adalah operasi yang paling mendekati pembagian dalam cabang matematika ini. Perhitungan ini bisa dipakai untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. [1] X Teliti sumber
Langkah
-
Pahami "pembagian" matriks. Secara teknis, matriks tidak bisa dibagi. Pembagian satu matriks dengan matriks lainnya tidak dapat didefinisikan. [2] X Teliti sumber Cara yang paling mendekati adalah mengalikan dengan invers matriks lainnya. Dengan kata lain, meskipun [A] ÷ [B] tidak terdefinisi, kita bisa menghitung [A] * [B] -1 . Karena kedua persamaan di atas sama nilai skalarnya, proses ini "terlihat" seperti pembagian matriks, tetapi kita tetap perlu menggunakan istilah yang benar.
- Perhatikan bahwa [A] * [B] -1 tidak sama dengan [B] -1 * [A]. Anda mungkin harus menghitung keduanya untuk mencari semua kemungkinan jawaban.
- Misalnya, ketimbang menghitung
, ubah menjadi
.
Anda juga bisa menghitung , yang mungkin memberikan jawaban berbeda.
-
Pastikan "matriks pembagi" adalah matriks bujur sangkar. Untuk menghitung invers matriks, matriks tersebut harus bujur sangkar, yang jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya. Jika matriks yang ingin dicari inversnya tidak bujur sangkar, tidak ada solusi tunggal untuk soal tersebut. [3] X Teliti sumber
- Istilah "matriks pembagi" dipakai secara longgar, karena secara teknis matriks tidak bisa dibagi. Untuk [A] * [B] -1 , ini mengacu pada matriks [B]. Dalam contoh soal ini adalah matriks .
- Sebuah matriks yang memiliki invers disebut "invertibel" atau "non-singular". Matriks yang tidak memiliki invers disebut "singular".
-
Periksa apakah kedua matriks dapat dikalikan. Untuk mengalikan dua matriks, jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan jumlah baris matriks kedua. [4] X Teliti sumber Jika kedua hal ini tidak dipenuhi (baik untuk [A] * [B] -1 maupun [B] -1 * [A]), soal tersebut tidak memiliki jawaban.
- Misalnya, jika [A] adalah sebuah matriks 4 x 3 dan [B] adalah sebuah matriks 2 x 2, soal tersebut tidak bisa dijawab. [A] * [B] -1 tidak bisa dihitung karena 4 ≠ 2, dan [B] -1 * [A] tidak bisa dihitung karena 2 ≠ 3.
- Perhatikan bahwa matriks invers [B] -1 selalu memiliki jumlah baris dan kolom yang sama dengan matriks [B]. Anda belum perlu menghitung invers dalam langkah ini.
- Dalam contoh soal ini, kedua matriks adalah 2 x 2, sehingga keduanya bisa dikalikan termasuk jika dibalik urutannya.
-
Mencari determinan matriks 2 x 2. Ada satu hal lagi yang harus diperhatikan sebelum mencari invers sebuah matriks. Determinan dari matriks tersebut tidak boleh sama dengan nol. Jika determinannya sama dengan nol, matriks tersebut tidak memiliki invers. Cara paling mudah mencari determinan adalah pada matriks 2 x 2 :
- Matriks 2 x 2 : Determinan matriks adalah ad - bc. [5] X Teliti sumber Dengan kata lain, kalikan diagonal utama (kiri atas dan kanan bawah), lalu kurangkan dengan perkalian diagonal lainnya (kanan atas dan kiri bawah).
- Misalnya, matriks memiliki determinan (7)(3) - (4)(2) = 21 - 8 = 13. Hasilnya bukan nol, jadi matriks ini memiliki invers.
-
Mencari determinan matriks yang lebih besar. Jika matriksnya adalah 3 x 3 atau lebih besar, cara mencari determinannya lebih membutuhkan waktu:
- Matriks 3 x 3 : Pilih satu angka dan coret baris dan kolom pada angka tersebut. Cari determinan dari matriks 2 x 2 yang tersisa, kalikan dengan angka yang dipilih, dan lihat diagram tanda matriks untuk menentukan tandanya. Ulangi langkah ini pada dua angka lain pada baris atau kolom yang sama dengan angka yang Anda pilih pertama kali, lalu jumlahkan ketiganya. Baca artikel ini untuk detail langkah demi langkah dan tips untuk mempercepat perhitungan
- Matriks yang lebih besar : Gunakan kalkulator grafik atau perangkat lunak yang tersedia. Caranya sama dengan metode perhitungan untuk matriks 3 x 3, tetapi cukup rumit untuk dikerjakan secara manual. [6] X Teliti sumber Misalnya, untuk mencari matriks 4 x 4, Anda harus menghitung determinan empat matriks 3 x 3.
-
Lanjutkan. Jika matriksnya bukan matriks bujur sangkar atau determinannya tidak sama dengan 0, tuliskan "tidak ada solusi tunggal". Dengan demikian, soal ini selesai. Jika matriksnya adalah bujur sangkar dan determinannya tidak sama dengan nol, lanjutkan pada bagian berikutnya: mencari invers.Iklan
-
Tukar posisi angka pada diagonal utama matriks 2 x 2. Jika matriksnya adalah 2 x 2, Anda bisa menggunakan jalan pintas untuk mempermudah perhitungan. [7] X Teliti sumber Langkah pertama jalan pintas ini adalah menukar angka pada posisi kiri atas dengan kanan bawah. Misalnya:
- →
- Catatan: Sebagian besar orang akan menggunakan kalkulator untuk mencari invers matriks 3 x 3 atau yang lebih besar. Jika Anda ingin menghitungnya secara manual, lihat pada akhir bagian ini.
-
Hitung lawan dari dua angka lainnya, tetapi pertahankan posisinya. Dengan kata lain, kali angka pada posisi kanan atas dan kiri bawah dengan -1:
- →
-
Hitung kebalikan dari determinan. Kita telah menemukan determinan matriks pada bagian sebelumnya, sehingga tidak perlu mencarinya lagi. Tuliskan saja kebalikan 1 / (determinan):
- Dalam contoh ini, determinannya adalah 13. Kebalikannya adalah .
-
Kalikan matriks baru dengan kebalikan determinan. Kalikan masing-masing angka pada matriks yang baru dengan kebalikan yang baru kita peroleh. Hasilnya adalah invers matriks 2 x 2:
-
=
-
-
Periksa apakah invers ini benar. Untuk memeriksa hitungan Anda, kalikan invers dengan matriks asalnya. Jika inversnya benar, hasil perkaliannya selalu adalah matriks identitas, . Jika hitungan ini benar, lanjutkan pada bagian berikut untuk menyelesaikan soal ini.
- Untuk contoh ini, kalikan .
- Ingat kembali cara mengalikan matriks.
- Catatan: Perkalian matriks tidak bersifat komutatif: urutan pengalian berpengaruh. Namun, ketika sebuah matriks dikalikan dengan inversnya, urutan mana pun akan memberikan matriks identitas yang sama. [8] X Teliti sumber
-
Ingat kembali cara mencari invers matriks 3 x 3 . Kecuali Anda memang baru pertama kali belajar melakukan hitungan ini, gunakan kalkulator atau perangkat lunak matematika untuk menghemat waktu. Jika Anda ingin menghitungnya secara manual, lihat ringkasan salah satu metodenya di sini: [9] X Teliti sumber [10] X Teliti sumber
- Gabungkan matriks identitas pada sisi kanan matriks. Misalnya, [B] → [B | I]. Matriks identitas bernilai "1" pada diagonal utamanya, dan bernilai "0" pada semua sisa angka lain.
- Lakukan operasi baris untuk menyederhanakan matriks hingga sisi kirinya menjadi bentuk eselon baris, lalu lanjutkan penyederhanaan hingga sisi kiri menjadi matriks identitas.
- Begitu operasi ini selesai, matriks akan berubah menjadi bentuk [I | B -1 ]. Dengan kata lain, sisi kanan akan menjadi invers matrik asal.
Iklan
-
Tulis dua kemungkinan jawaban. Dalam "matematika biasa" dengan nilai skalar, perkalian bersifat komutatif; 2 x 6 = 6 x 2. Hal ini tidak berlaku pada matriks, jadi Anda perlu menyelesaikan dua soal:
- [A] * [B] -1 adalah jawaban x untuk soal x [B] = [A].
- [B] -1 * [A] adalah jawaban x untuk soal [B] x = [A].
- Jika suku ini merupakan bagian dari sebuah persamaan, pastikan Anda memasukkan perhitungan pada kedua sisi. Jika [A] = [C], maka [B] -1 [A] tidak sama dengan [C][B] -1 , karena [B] -1 berada pada sisi kiri [A] tetapi berada pada sisi kanan [C]. [11] X Teliti sumber
-
Cari dimensi matriks jawaban. Dimensi dari matriks akhir adalah gabungan dari dimensi dua matriks pengalinya. Jumlah barisnya sama dengan baris pada matriks pertama dan jumlah kolomnya sama dengan kolom pada matriks kedua.
- Kembali pada soal semula, baik maupun adalah matriks 2 x 2 sehingga dimensi matriks jawaban adalah juga 2 x 2.
- Untuk contoh yang lebih rumit, jika [A] adalah matriks 4 x 3 dan [B] -1 adalah matriks 3 x 3 , maka matriks [A] * [B] -1 mempunyai dimensi 4 x 3.
-
Cari nilai dari angka pertama . Lihat artikel yang diacu untuk melihat langkah secara lengkap, atau segarkan ingatan Anda melalui ringkasan berikut ini:
- Untuk mencari nilai baris 1, kolom 2 [A][B] -1 , hitung perkalian skalar baris 1 [A] dan kolom 1 [B] -1 . Untuk matriks 2 x 2 ini, hitungannya adalah .
- Dalam contoh ini
, angka untuk baris 1 kolom 1 adalah:
-
Ulangi perkalian titik untuk setiap posisi pada matriks. Misalnya, angka pada posisi 2,1 adalah perkalian titik [A] baris 2 dan [B] -1 kolom 1. Coba selesaikan sendiri contoh soal ini. Jawabannya adalah sebagai berikut:
- Jika Anda ingin mencari solusi yang lain,
Iklan
Tips
- Anda bisa membagi matriks secara skalar dengan membagi masing-masing angka dengan angka skalar.
-
- Misalnya, matriks dibagi 2 =
Iklan
Peringatan
- Kalkulator tidak selalu 100% akurat dalam menghitung operasi matriks. Misalnya, jika kalkulator Anda menghasilkan sebuah angka yang sangat kecil (2E -8 , misalnya), kemungkinan besar hasilnya adalah 0. [12] X Teliti sumber
Iklan
Referensi
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/Engineering%20maths%20first%20aid%20kit/latexsource%20and%20diagrams/5_6.pdf
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/operations.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/operations.html
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/determinant-of-2x2-matrix/v/finding-the-determinant-of-a-2x2-matrix
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/minors.htm
- ↑ http://www.mathwords.com/i/inverse_of_a_matrix.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/mtrxinvr2.htm
- ↑ http://www.mathwords.com/i/inverse_of_a_matrix.htm
Tentang wikiHow ini
Halaman ini telah diakses sebanyak 110.070 kali.
Iklan
