Pdf downloaden
Pdf downloaden
Een matrix is een zeer nuttige manier om getallen in een blokformaat weer te geven. [1] X Bron Je kunt het vervolgens weer gebruiken om een stelsel van lineaire vergelijkingen op te lossen. Als je slechts twee variabelen hebt, zal je waarschijnlijk een andere methode gebruiken . Maar als je drie of meer variabelen hebt, is een matrix ideaal. Door gebruik te maken van herhaalde combinaties van vermenigvuldiging en optelling, kun je systematisch tot een oplossing komen.
Stappen
-
Verifieer dat je voldoende gegevens hebt. Om een unieke oplossing te krijgen voor elke variabele in een lineair systeem met behulp van een matrix, moet je zoveel vergelijkingen hebben als het aantal variabelen dat je probeert op te lossen. Bijvoorbeeld: met de variabelen x, y en z heb je drie vergelijkingen nodig. Als je vier variabelen hebt, heb je vier vergelijkingen nodig.
- Als je minder vergelijkingen hebt dan het aantal variabelen, zal je wat begrenzingen van de variabelen (zoals x = 3y en y = 2z) te weten komen, maar je kunt geen precieze oplossing krijgen. Voor dit artikel zullen we alleen naar een unieke oplossing toewerken.
-
Schrijf je vergelijkingen in de standaardvorm. Vooraleer je gegevens van de vergelijkingen in een matrixvorm kan gieten, schrijf je elke vergelijking eerst in standaardvorm. De standaardvorm voor een lineaire vergelijking is Ax+By+Cz=D, waarbij de hoofdletters de coëfficiënten (cijfers) zijn, en het laatste getal (in dit voorbeeld de D) aan de rechterkant van het isgelijkteken staat.
- Als je meer variabelen hebt, ga je gewoon door met de regel zolang als nodig is. Als je bijvoorbeeld een stelsel met zes variabelen probeert op te lossen, zou je standaardvorm eruit zien als Au+Bv+Cw+Dx+Ey+Fz=G. In dit artikel zullen we ons richten op stelsels met slechts drie variabelen. Het oplossen van een groter stelsel is precies hetzelfde, maar vergt gewoon meer tijd en meer stappen.
- Merk op dat in standaardvorm de bewerkingen tussen de termen altijd een optelling is. Als er een aftrekking is in je vergelijking, in plaats van een optelling, zal je hier later mee moeten werken door je coëfficiënt negatief te maken. Om dit gemakkelijker te onthouden, kun je de vergelijking herschrijven en van de bewerking een optelling maken en de coëfficiënt negatief maken. Je kunt bijvoorbeeld de vergelijking 3x-2y+4z=1 herschrijven als 3x+(-2y)+4z=1.
-
Plaats de getallen uit het stelsel van vergelijkingen in een matrix. Een matrix is een groep van getallen, gerangschikt in een soort tabel, waarmee we zullen werken om het stelsel op te lossen. [2] X Bron Het bevat in principe dezelfde gegevens als de vergelijkingen zelf, maar dan in een eenvoudiger formaat. Om de matrix van je vergelijkingen in standaardvorm te maken, kopieer je gewoon de coëfficiënten en het resultaat van elke vergelijking naar een enkele rij, en stapel je die rijen op elkaar.
- Stel dat je een stelsel hebt dat bestaat uit de drie vergelijkingen 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3, en x+y+z=7. De bovenste rij van je matrix zal de getallen 3, 1, -1, 9 bevatten, aangezien dit de coëfficiënten en de oplossing van de eerste vergelijking zijn. Merk op dat elke variabele die geen coëfficiënt heeft, verondersteld wordt een coëfficiënt van 1 te hebben. De tweede rij van de matrix wordt 2, -2, 1, -3 en de derde rij 1, 1, 1, 7.
- Zorg ervoor dat je de x-coëfficiënten in de eerste kolom, de y-coëfficiënten in de tweede, de z-coëfficiënten in de derde, en de oplossingstermen in de vierde uitlijnt. Wanneer je klaar bent met het werken met de matrix, zullen deze kolommen belangrijk zijn bij het uitschrijven van je oplossing.
-
Teken een grote vierkante haak rond je volledige matrix. Volgens afspraak wordt een matrix aangeduid met een paar vierkante haakjes, [ ], rond het hele blok van getallen. De haakjes hebben op geen enkele manier invloed op de oplossing, maar ze geven wel aan dat je met matrices werkt. Een matrix kan bestaan uit een willekeurig aantal rijen en kolommen. In dit artikel zullen we haakjes rond termen in een rij gebruiken om aan te geven dat ze bij elkaar horen.
-
Gebruik van gemeenschappelijke symboliek. Bij het werken met matrices is het gebruikelijk om te verwijzen naar de rijen met de afkorting R en de kolommen met de afkorting C. Je kunt cijfers samen met deze letters gebruiken om een specifieke rij of kolom aan te duiden. Om bijvoorbeeld rij 1 van een matrix aan te geven, kun je R1 schrijven. Rij 2 wordt dan R2.
- Je kunt elke specifieke positie in een matrix aangeven met behulp van een combinatie van R en C. Om bijvoorbeeld een term in de tweede rij, derde kolom, aan te duiden, zou je deze R2C3 kunnen noemen.
Advertentie
Deel 2
Deel 2 van 4:
De bewerkingen leren voor het oplossen van een stelsel met een matrix
Pdf downloaden
-
De vorm van de oplossingsmatrix begrijpen. Voordat je begint met het oplossen van je stelsel van vergelijkingen, moet je begrijpen wat je met de matrix gaat doen. Op dit moment heb je een matrix die er als volgt uitziet:
- 3 1 -1 9
- 2 -2 1 -3
- 1 1 1 7
- Je werkt met een aantal basisbewerkingen om de 'oplossingsmatrix' te maken. De oplossingsmatrix zal er zo uitzien [3] X Bron :
- 1 0 0 x
- 0 1 0 y
- 0 0 1 z
- Merk op dat de matrix bestaat uit 1'en in een diagonale lijn met 0'en in alle andere ruimtes, behalve de vierde kolom. De getallen in de vierde kolom zijn de oplossing voor de variabelen x, y en z.
-
Gebruik scalaire vermenigvuldiging. Het eerste gereedschap dat je tot je beschikking hebt om een systeem op te lossen met behulp van een matrix is scalaire vermenigvuldiging. Dit is eenvoudigweg een term die betekent dat je de elementen in een rij van de matrix vermenigvuldigt met een constant getal (geen variabele). Wanneer je scalaire vermenigvuldiging gebruikt, moet je er rekening mee houden dat je elke term van de hele rij moet vermenigvuldigen met welk getal je ook selecteert. Als je de eerste term vergeet en alleen maar vermenigvuldigt, krijg je een foute oplossing. Je hoeft echter niet de hele matrix op hetzelfde moment te vermenigvuldigen. Je werkt bij een scalaire vermenigvuldiging slechts aan één rij tegelijk. [4] X Bron
- Het is gebruikelijk om breuken te gebruiken in scalaire vermenigvuldiging, omdat je vaak een diagonale rij van 1'en wilt krijgen. Wen er maar aan om met breuken te werken. Het zal ook makkelijker zijn (voor de meeste stappen in het oplossen van de matrix) om je breuken in onechte vorm te kunnen schrijven, en ze dan weer om te zetten naar gemengde getallen voor de uiteindelijke oplossing. Daarom is het getal 1 2/3 makkelijker om mee te werken als je het als 5/3 noteert.
- Bijvoorbeeld: de eerste rij (R1) van ons voorbeeldprobleem begint met de termen [3,1,-1,9]. De oplossingsmatrix moet een 1 bevatten op de eerste positie van de eerste rij. Om de 3 te 'veranderen' in een 1, kunnen we de hele rij met 1/3 vermenigvuldigen. Hierdoor ontstaat de nieuwe R1 van [1,1/3,-1/3,3].
- Let op dat je eventuele negatieve tekens daar laat waar ze horen.
-
Gebruik rij-optelling of rij-aftrekking. Het tweede gereedschap dat je kunt gebruiken is het optellen of aftrekken van twee rijen van de matrix. Om de 0-termen in je oplossingsmatrix te creëren, moet je getallen optellen of aftrekken om bij de 0 te komen. Bijvoorbeeld: als R1 van een matrix [1,4,3,2] is en R2 [1,3,5,8], dan kun je de eerste rij van de tweede rij aftrekken en een nieuwe rij [0,-1,2,6] creëren, omdat 1-1=0 (eerste kolom), 3-4=-1 (tweede kolom), 5-3=2 (derde kolom), en 8-2=6 (vierde kolom). Wanneer je een rij-optelling of rij-aftrekking uitvoert, herschrijf dan je nieuwe resultaat in plaats van de rij waarmee je bent begonnen. In dit geval zouden we rij 2 eruit halen en de nieuwe rij invoegen [0,-1,2,6].
- Je kunt een verkorte notatie gebruiken en deze handeling aangeven als R2-R1=[0,-1,2,6].
- Bedenk dat optellen en aftrekken slechts tegengestelde vormen van dezelfde bewerking zijn. Je kunt het beschouwen als het optellen van twee getallen of het aftrekken van het tegenovergestelde. Als je bijvoorbeeld begint met de eenvoudige vergelijking 3-3=0, dan kun je dit beschouwen als een optelprobleem van 3+(-3)=0. Het resultaat is hetzelfde. Dit lijkt eenvoudig, maar het is soms makkelijker om een probleem in de ene of de andere vorm te beschouwen. Hou gewoon je negatieve tekens in de gaten.
-
Combineer rij-optelling en scalaire vermenigvuldiging in een enkele stap. Je kunt niet verwachten dat de termen altijd overeenkomen, dus kan een eenvoudige optelling of aftrekking gebruiken om 0'en in je matrix te maken. Vaker zal je een veelvoud van een andere rij moeten optellen (of aftrekken). Om dit te doen, voer je eerst de scalaire vermenigvuldiging uit, en tel je vervolgens dat resultaat op bij de doelrij die je probeert te veranderen.
- Stel; dat er een rij 1 is van [1,1,2,6] en een rij 2 van [2,3,1,1]. Je wilt een 0-term in de eerste kolom van R2. Dat wil zeggen dat je de 2 wilt veranderen in een 0. Om dit te doen moet je een 2 aftrekken. Je kunt een 2 krijgen door eerst rij 1 te vermenigvuldigen met de scalaire vermenigvuldiging 2, en dan de eerste rij af te trekken van de tweede rij. In verkorte weergave is dit te noteren als R2-2*R1. Vermenigvuldig eerst R1 met 2 om [2,2,4,12] te krijgen. Trek dit dan van R2 af om [(2-2),(3-2),(1-4),(1-12)] te krijgen. Vereenvoudig dit en je nieuwe R2 wordt [0,1,-3,-11].
-
Kopieer rijen die onveranderd blijven terwijl je werkt. Terwijl je aan de matrix werkt, zal je één enkele rij per keer veranderen, ofwel door scalaire vermenigvuldiging, rij-optelling of rij-aftrekking, ofwel door een combinatie van stappen. Wanneer je de ene rij verandert, zorg er dan voor dat je de andere rijen van je matrix in hun oorspronkelijke vorm kopieert.
- Een veel voorkomende fout treedt op bij het uitvoeren van een gecombineerde vermenigvuldigings- en optellingsstap in één beweging. Stel dat je bijvoorbeeld R1 twee keer van R2 moet aftrekken. Wanneer je R1 met 2 vermenigvuldigt om deze stap te doen, mag je niet vergeten dat R1 niet verandert in de matrix. Je voert alleen de vermenigvuldiging uit om R2 te veranderen. Kopieer R1 eerst in zijn oorspronkelijke vorm, en breng dan de wijziging aan in R2.
-
Werk eerst van boven naar beneden. Om het stelsel op te lossen, werk je in een zeer georganiseerd patroon, waarbij je in wezen één term van de matrix per keer 'oplost'. De volgorde voor een drie-variabelen matrix zal er als volgt uitzien:
- 1. Maak een 1 in de eerste rij, eerste kolom (R1C1).
- 2. Maak een 0 in de tweede rij, eerste kolom (R2C1).
- 3. Maak een 1 in de tweede rij, tweede kolom (R2C2).
- 4. Maak een 0 in de derde rij, eerste kolom (R3C1).
- 5. Maak een 0 in de derde rij, tweede kolom (R3C2).
- 6. Maak een 1 in de derde rij, derde kolom (R3C3).
-
Werk terug van onder naar boven. Op dit punt ben je, als je de stappen goed hebt gedaan, halverwege de oplossing. Je moet de diagonale lijn van 1'en hebben, met daaronder 0'en. De getallen in de vierde kolom doen er op dit punt niet toe. Nu werk je als volgt terug naar boven:
- Creëer een 0 in de tweede rij, derde kolom (R2C3).
- Creëer een 0 in de eerste rij, derde kolom (R1C3).
- Creëer een 0 in de eerste rij, tweede kolom (R1C2).
-
Controleer of je de oplossingsmatrix hebt gemaakt. Als je werk correct is, heb je de oplossingsmatrix gemaakt met 1'en in een diagonale lijn van R1C1, R2C2, R3C3 en 0'en in de andere posities van de eerste drie kolommen. De getallen in de vierde kolom zijn de oplossingen voor je lineaire stelsel.Advertentie
-
Begin met een voorbeeldstelsel van lineaire vergelijkingen. Om deze stappen te oefenen, beginnen we met het stelsel dat we eerder gebruikten: 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3, en x+y+z=7. Als je dit in een matrix schrijft, heb je R1= [3,1,-1,9], R2=[2,-2,1,-3], en R3=[1,1,1,7].
-
Creëer een 1 in de eerste positie R1C1. Merk op dat R1 op dit moment begint met een 3. Je moet het veranderen in een 1. Je kunt dit doen door een scalaire vermenigvuldiging, door alle vier de termen van R1 met 1/3 te vermenigvuldigen. In steno kun je noteren als R1*1/3. Dit geeft een nieuwe uitkomst voor R1 als R1=[1,1/3,-1/3,3]. Neem R2 en R2, ongewijzigd over, als R2=[2,-2,1,-3] en R3=[1,1,1,7].
- Merk op dat vermenigvuldiging en deling slechts inverse functies van elkaar zijn. We kunnen zeggen dat we vermenigvuldigen met 1/3 of delen door 3, zonder dat het resultaat verandert.
-
Creëer een 0 in de tweede rij, eerste kolom (R2C1). Op dit moment is R2=[2,-2,1,-3]. Om dichter bij de oplossingsmatrix te komen, moet je de eerste term veranderen van een 2 in een 0. Je kunt dit doen door twee keer de waarde van R1 af te trekken, aangezien R1 begint met een 1. In steno is de bewerking R2-2*R1. Vergeet niet dat je R1 niet verandert, maar er gewoon mee werkt. Kopieer dus eerst R1 als R1=[1,1/3,-1/3,3]. Als je vervolgens elke term van R1 verdubbelt, krijg je 2*R1=[2,2/3,-2/3,6]. Trek tenslotte dit resultaat af van de oorspronkelijke R2 om je nieuwe R2 te krijgen. Door term voor term te werken, wordt deze aftrekking (2-2), (-2-2/3), (1-(-2/3)), (-3-6). Deze vereenvoudigen we tot de nieuwe R2=[0,-8/3,5/3,-9]. Merk op dat de eerste term 0 is (wat ook je doel was).
- Noteer rij 3 (die niet is veranderd) als R3=[1,1,1,7].
- Wees zorgvuldig met het aftrekken van negatieve getallen, om er zeker van te zijn dat de tekens correct blijven.
- Nu eerst laten we de breuken in hun ongepaste vorm. Dit maakt latere stappen van de oplossing gemakkelijker. Je kunt de breuken in de laatste stap van het probleem vereenvoudigen.
-
Creëer een 1 in de tweede rij, tweede kolom (R2C2). Om de diagonale lijn van 1'en te blijven vormen, moet je de tweede term -8/3 in 1 omzetten. Doe dit door de hele rij te vermenigvuldigen met het omgekeerde van dat getal (-3/8). Symbolisch gezien is deze stap R2*(-3/8). De resulterende tweede rij is R2=[0,1,-5/8,27/8].
- Merk op dat, als de linkerhelft van de rij begint te lijken op de oplossing met de 0 en 1, de rechterhelft er lelijk kan gaan uitzien, met onechte breuken. Laat ze nu eerst gewoon voor wat ze zijn.
- Vergeet niet om door te gaan met het kopiëren van de onaangetaste rijen, dus R1=[1,1/3,-1/3,3] en R3=[1,1,1,7].
-
Creëer een 0 in de derde rij, eerste kolom (R3C1). Je focus gaat nu naar de derde rij, R3=[1,1,1,7]. Om een 0 in de eerste positie te maken, moet je een 1 aftrekken van de 1 die op dat moment op die positie staat. Als je omhoog kijkt, staat er een 1 op de eerste positie van R1. Je hoeft dus alleen maar R1 van R3 af te trekken om het resultaat te krijgen dat je nodig hebt. Term voor term werkend wordt dit (1-1), (1-1/3), (1-(-1/3)), (7-3). Deze vier miniproblemen kunnen dan vereenvoudigd worden tot de nieuwe R3=[0,2/3,4/3,4].
- Ga door met kopiëren langs R1=[1,1/3,-1/3,3] en R2=[0,1,-5/8,27/8]. Vergeet niet dat je maar één rij per keer verandert.
-
Maak een 0 in de derde rij, tweede kolom (R3C2). Deze waarde is momenteel 2/3, maar moet worden omgezet in een 0. Op het eerste gezicht lijkt het erop dat je de R1-waarden dubbel kunt aftrekken, aangezien de overeenkomstige kolom van R1 een 1/3 bevat. Als je echter alle waarden van R1 verdubbelt en aftrekt, verandert de 0 in de eerste kolom van R3, wat je niet wilt. Dit zou een stap terug zijn in je oplossing. Je moet dus werken met een of andere combinatie van R2. Als je 2/3 van R2 aftrekt, creëer je een 0 in de tweede kolom, zonder de eerste kolom te veranderen. In verkorte weergave is dit R3- 2/3*R2. De afzonderlijke termen worden (0-0), (2/3-2/3), (4/3-(-5/3*2/3)), (4-27/8*2/3). Vereenvoudiging geeft dan R3=[0,0,42/24,42/24].
-
Creëer een 1 in de derde rij, derde kolom (R3C3). Dit is een eenvoudige vermenigvuldiging met het omgekeerde van het getal dat er staat. De huidige waarde is 42/24, dus je kunt met 24/42 vermenigvuldigen om de gewenste waarde 1 te krijgen. Merk op dat de eerste twee termen beide 0 zijn, dus elke vermenigvuldiging blijft 0. De nieuwe waarde van R3=[0,0,1,1].
- Merk op dat de breuken die in de vorige stap nogal ingewikkeld leken, zich al beginnen op te lossen.
- Ga verder met R1=[1,1/3,-1/3,3] en R2=[0,1,-5/8,27/8].
- Merk op dat je op dit punt de diagonaal van 1'en hebt voor je oplossingsmatrix. Je hoeft nog maar drie elementen van de matrix om te zetten in 0'en om je oplossing te vinden.
-
Creëer een 0 in de tweede rij, derde kolom. R2 is momenteel [0,1,-5/8,27/8], met een waarde van -5/8 in de derde kolom. Je moet hem transformeren naar een 0. Dit betekent dat je een of andere bewerking met R3 moet uitvoeren die bestaat uit het optellen van 5/8. Omdat de corresponderende derde kolom van R3 een 1 is, moet je alle waarden van R3 vermenigvuldigen met 5/8 en het resultaat bij R2 optellen. In het kort is dit R2+5/8*R3. Term voor term is dit R2=(0+0), (1+0), (-5/8+5/8), (27/8+5/8). Dit is te vereenvoudigen naar R2=[0,1,0,4].
- Neem vervolgens R1=[1,1/3,-1/3,3] en R3=[0,0,1,1] over.
-
Creëer een 0 in de eerste rij, derde kolom (R1C3). De eerste rij is momenteel R1=[1,1/3,-1/3,3]. Je moet de -1/3 in de derde kolom omzetten naar een 0, door een of andere combinatie van R3 te gebruiken. Je wilt R2 niet gebruiken, omdat de 1 in de tweede kolom van R2, de R1 op de verkeerde manier zou wijzigen. Je vermenigvuldigt dus R3*1/3 en telt het resultaat op bij R1. De notatie hiervoor is R1+1/3*R3. Het term voor term uitwerken ervan resulteert in R1=(1+0), (1/3+0), (-1/3+1/3), (3+1/3). Deze kun je vereenvoudigen naar een nieuwe R1=[1,1/3,0,10/3].
- Neem de ongewijzigde R2=[0,1,0,4] en R3=[0,0,1,1] over.
-
Maak een 0 in de eerste rij, tweede kolom (R1C2). Als alles goed is gedaan, zou dit de laatste stap moeten zijn. Je moet het 1/3 in de tweede kolom omzetten in een 0. Je kunt dit krijgen door R2*1/3 te vermenigvuldigen en af te trekken. Kort geschreven is dit R1-1/3*R2. Het resultaat is R1=(1-0), (1/3-1/3), (0-0), (10/3-4/3). Vereenvoudigen geeft dan R1=[1,0,0,2].
-
Zoek naar de oplossingsmatrix. Op dit punt zou je, als alles goed is gegaan, de drie rijen R1=[1,0,0,2], R2=[0,1,0,4] en R3=[0,0,1,1] moeten hebben. Merk op dat je, als je dit in de blokmatrixvorm schrijft met de rijen boven elkaar, diagonaal 1'en hebt met verder 0'en, en dat je oplossingen in de vierde kolom staan. De oplossingsmatrix moet er als volgt uitzien:
- 1 0 0 2
- 0 1 0 4
- 0 0 1 1
-
Je oplossing begrijpen. Als je de lineaire vergelijkingen hebt omgezet naar een matrix, zet je de x-coëfficiënten in de eerste kolom, de y-coëfficiënten in de tweede kolom, de z-coëfficiënten in de derde kolom. Wil je de matrix nu weer herschrijven naar vergelijkingen, dan betekenen deze drie lijnen van de matrix eigenlijk de drie vergelijkingen 1x+0y+0z=2, 0x+1y+0z=4, en 0x+0y+1z=1. Aangezien we de 0-termen kunnen wegstrepen en de 1-coëfficiënten niet hoeven te schrijven, vereenvoudigen deze drie vergelijkingen tot de oplossing, x=2, y=4 en z=1. Dit is de oplossing voor je stelsel van lineaire vergelijkingen. [5] X BronAdvertentie
-
Verwerk de oplossingen in elke variabele in elke vergelijking. Het is altijd een goed idee om te controleren of je oplossing daadwerkelijk correct is. Je doet dit door je resultaten te testen in de originele vergelijkingen.
- De oorspronkelijke vergelijkingen voor dit probleem waren: 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3, en x+y+z=7. Wanneer je de variabelen vervangt door de waarden ervan die je hebt gevonden, krijg je 3*2+4-1=9, 2*2-2*4+1=-3, en 2+4+1=7.
-
Vereenvoudig elke vergelijking. Voer de bewerkingen in elke vergelijking uit volgens de basisregels van de bewerkingen. De eerste vergelijking vereenvoudigt tot 6+4-1=9, of 9=9. De tweede vergelijking is te vereenvoudigen tot 4-8+1=-3, of -3=-3. De laatste vergelijking is eenvoudig 7=7.
- Omdat elke vergelijking vereenvoudigt tot een echte wiskundige uitspraak, zijn je oplossingen correct. Als een van de oplossingen niet correct is, moet je je werk nog eens controleren en zoeken naar eventuele fouten. Sommige veel voorkomende fouten komen voor bij het onderweg wegwerken van mintekens of bij het verwarren van de vermenigvuldiging en optelling van breuken.
-
Schrijf je definitieve oplossingen uit. Voor dit gegeven probleem is de uiteindelijke oplossing x=2, y=4 en z=1.Advertentie
Tips
- Als je stelsel van vergelijkingen erg ingewikkeld is, met veel variabelen, kun je misschien een grafische rekenmachine gebruiken in plaats van het werk met de hand te doen. Voor informatie hierover kun je ook wikiHow raadplegen.
Advertentie
Bronnen
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-introduction.html
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/representing-systems-with-matrices/a/representing-systems-with-matrices
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/systems-linear-equations-matrices.html
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/multiplying-matrices-by-scalars/a/multiplying-matrices-by-scalars
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/systems-linear-equations-matrices.html
Over dit artikel
Deze pagina is 10.229 keer bekeken.
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
