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A matriz é uma forma bastante útil de se representar números em formato de bloco, [1] X Fonte de pesquisa que poderá então ser usado para resolver um sistema de equações lineares. Se você tem apenas duas variáveis, é provável que usará um método diferente. Todavia, ao se ter três ou mais variáveis, a matriz se torna a ferramenta ideal. Ao usar combinações repetidas de soma e multiplicação, você chegará sistematicamente à solução desejada.
Passos
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Verifique se os dados são suficientes. Para obter uma solução única para cada variável em um sistema linear usando a matriz, é preciso ter tantas equações quanto necessárias com respeito ao número de variáveis a serem resolvidas. Com as variáveis , e , por exemplo, você precisaria de três equações. Se tiver quatro variáveis, serão necessárias quatro equações.
- Se você tem menos equações que o número de variáveis, será possível aprender alguns dados sobre elas (como e ), mas não é possível obter uma solução precisa. No presente artigo, você avançará em busca de uma solução única.
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Escreva as equações em formato padrão. Antes de transferir informações das fórmulas para o formato de matriz, primeiramente é necessário escrever cada uma delas em formato padrão. O formato padrão de uma equação linear pode ser representado por , onde as letras maiúsculas representam os coeficientes (números) e o último valor — ou D, nesse caso — está à direita da igualdade.
- Se tiver mais variáveis, você apenas continuará avançando pela linha enquanto for necessário. Caso queira resolver um sistema com seis variáveis, por exemplo, o formato padrão ficaria como . No presente artigo, o foco estará em sistemas contendo apenas três variáveis. Solucionar um sistema maior requer exatamente o mesmo processo, sendo necessário apenas mais tempo e alguns passos a mais.
- Observe que, no formato padrão, as operações entre os termos consistirão sempre de soma. Se a equação tiver uma subtração no lugar da soma, será preciso resolver essa diferença negativando o coeficiente. Caso seja mais fácil de se lembrar, você pode reescrever a equação e transformar a operação em soma e deixar o coeficiente negativo. Você poderia, por exemplo, reescrever a equação como .
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Transfira os números do sistema de equações para uma matriz. A matriz é um grupo de números arranjados em formato de bloco que será usado para resolver um sistema. [2] X Fonte de pesquisa Na realidade, ela consiste nos mesmos dados presentes nas equações, mas em um formato simplificado. Para criar a matriz a partir das equações em formato padrão, basta copiar os coeficientes e o resultado de cada equação em uma única linha e empilhá-las uma sobre a outra.
- Imagine um sistema, por exemplo, que consista das três seguintes equações: , e . A primeira linha da matriz conterá os números , , e , uma vez que são esses os coeficientes e a solução da primeira fórmula. Observe que nenhuma variável exibe seu coeficiente, assumindo-se que seja igual a . A segunda linha da matriz será , , e e a terceira linha da matriz será , , e .
- Lembre-se de alinhar os coeficientes de na primeira coluna, os coeficientes de na segunda coluna, os coeficientes de na terceira coluna e os termos da solução na quarta coluna. Ao finalizar o trabalho da matriz, essas colunas serão cruciais para se escrever a solução.
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Desenhe um par de colchetes ao redor de toda a matriz. Por convenção, a matriz é contida entre um par de grandes colchetes, , circundando todo o bloco de números. Eles não influenciam a solução de modo algum, mas servem apenas para ilustrar que você está trabalhando com uma matriz. Ela pode consistir em quaisquer quantias de linhas e colunas. À medida em que avança pelo artigo, você usará colchetes para agrupar termos alinhados a fim de facilitar a mesclagem posterior.
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Use o simbolismo comum. Ao trabalhar com matrizes, é convencional referir-se às linhas pela letra e às colunas pela letra . Outra forma de representação faz uso da letra acompanhada pelo número referente às linha ( ) e coluna ( ) respectivas de sua posição ( ). Para fins do presente artigo, as linhas serão expressas pela letra e as colunas, pela letra : primeira linha sendo , segunda linha sendo e assim por diante.
- Você poderia especificar qualquer posição específica na matriz fazendo uso de uma combinação entre e . Para descobrir o termo exato na terceira coluna da segunda linha, basta dar à célula o nome .
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![{\displaystyle \left[\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a253a610b95594e273f44b0b33971526df6ec0fe)
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Reconheça o formato da matriz-solução. Antes de começar a trabalhar na resolução do sistema de equações, você deve reconhecer o que pretende com essa matriz. Agora, ela está assim:
- Você trabalhará com algumas operações básicas a fim de criar a "matriz-solução". Ela ficará assim: [3]
X
Fonte de pesquisa
- Observe que a matriz consiste em uns em uma diagonal com zeros nos espaços remanescentes, exceto pela quarta coluna — nela estará a solução das variáveis , e .
- Você trabalhará com algumas operações básicas a fim de criar a "matriz-solução". Ela ficará assim: [3]
X
Fonte de pesquisa
-
Use a multiplicação escalar. A primeira ferramenta à sua disposição para resolver o sistema usando a matriz é a multiplicação escalar. Esse é basicamente um termo indicando que você multiplicará os itens em uma linha da matriz por um número constante (e não uma variável). Ao fazer uso da multiplicação escalar, você deve se lembrar de multiplicar cada termo presente em toda a linha pelo número selecionado. Caso se esqueça e multiplique apenas o primeiro termo, você acabará arruinando toda a solução. Não é preciso, no entanto, multiplicar a matriz completa de forma simultânea. Você só precisa trabalhar uma linha por vez na multiplicação escalar. [4] X Fonte de pesquisa
- É comum usar frações na multiplicação escalar, pois o objetivo costuma ser criar essa diagonal de uns. Habitue-se ao trabalho com frações. Também será mais fácil, na maioria dos passos envolvendo a matriz, ser capaz de escrevê-las em forma imprópria e convertê-las novamente para números mistos a fim de chegar na solução final. Desse modo, é mais fácil de se trabalhar do que .
- A primeira linha da amostra ( ), por exemplo, começa com os termos . A matriz-solução deverá conter um na primeira posição da primeira linha. Para "transformar" o em , é possível multiplicar toda a primeira linha por . Isso criará uma nova : .
- Tome o cuidado de manter quaisquer sinais negativos onde for devido.
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Use a soma ou a subtração por linhas. A segunda ferramenta a ser usada é somar ou subtrair quaisquer duas linhas da matriz entre si. Para criar os zeros na matriz-solução, você deverá somar ou subtrair números até obter como resposta. Se a da matriz for e a da matriz for , por exemplo, você pode subtrair a primeira linha da segunda e criar uma nova linha contendo , pois (primeira coluna), (segunda coluna), (terceira coluna) e (quarta coluna). Ao realizar uma soma ou subtração entre linhas, reescreva o novo resultado no lugar da linha inicial. Nesse caso, você removerá a segunda linha e inserirá a nova: .
- Você pode abreviar o processo e indicar a operação como .
- Reconheça que somar e subtrair são apenas formas opostas da mesma operação. Você pode pensar em somar dois números ou subtrair o oposto. Ao começar com a simples equação , por exemplo, você poderia considerá-la o problema de soma e o resultado será igual. Isso parece básico, mas às vezes é mais fácil pensar no problema de uma forma em vez de outra. Basta não errar no posicionamento dos sinais negativos.
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Combine a soma de linhas e a multiplicação escalar em um único passo. Você não pode esperar que os termos combinem sempre a fim de usar a soma ou subtração simples para criar zeros na matriz. Com frequência, será preciso somar (ou subtrair) um múltiplo de outra linha. Para isso, você primeiro realiza a multiplicação escalar e soma o resultado à linha que pretende alterar.
- Imagine que a sua primeira linha seja e que a sua segunda linha seja . Você pretende criar um termo na primeira coluna de , ou seja, transformar o em um . Para isso, é preciso subtrair . É possível obtê-lo antes multiplicando a primeira linha pela multiplicação escalar e subtraí-la da segunda linha. Em resumo, a operação pode ser resumida como . Primeiro, multiplique por para obter . A seguir, subtraia-a de para obter . Simplifique o resultado e a sua nova será .
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Copie as linhas que permaneceram inalteradas ao longo do processo. Durante o trabalho com a matriz, você transformará uma linha por vez, quer por multiplicação escalar, soma ou subtração de linhas ou alguma combinação. Ao alterar a linha desejada, lembre-se de copiar as demais da matriz em seu formato original.
- Um erro comum ocorre ao se realizar uma multiplicação combinada e uma soma em um só passo. Imagine, por exemplo, que seja necessário subtrair o dobro de de . Ao multiplicar por , lembre-se de que você não está alterando na matriz, mas apenas realizando uma multiplicação para alterar . Copie primeiramente em seu formato original e faça a alteração em .
-
Comece de cima para baixo. Para resolver o sistema, você avançará em um padrão bem organizado, essencialmente "solucionando" um termo da matriz de cada vez. A ordem em uma matriz de três variáveis será como se segue:
- Crie um na primeira coluna da primeira linha ( );
- Crie um na primeira coluna da segunda linha ( );
- Crie um na segunda coluna da segunda linha ( );
- Crie um na primeira coluna da terceira linha ( );
- Crie um da segunda coluna da terceira linha ( );
- Crie um na terceira coluna da terceira linha ( ).
-
Volte de baixo para cima. Nesse ponto, se os passos tiverem sido realizados corretamente, você já chegou na metade do caminho. Aqui estarão já uma linha diagonal de uns e zeros abaixo de todos eles. Os números na quarta coluna já se tornaram irrelevantes. Agora, você voltará de baixo para cima da seguinte maneira:
- Crie um na terceira coluna da segunda linha ( );
- Crie um na terceira coluna da primeira linha ( );
- Crie um na segunda coluna da primeira linha ( ).
-
Confira se a matriz-solução foi realmente criada. Se o trabalho estiver correto, você terá criado a matriz-solução com uns na diagonal em , e e zeros nas demais posições das três primeiras colunas. Os números da quarta coluna serão as soluções do sistema linear.Publicidade
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}3&1&-1&9\\2&-2&1&-3\\1&1&1&7\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5233114d78668a1b83ec3e21758c920d3c1d45a3)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&0&0&x\\0&1&0&y\\0&0&1&z\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf22b768769491cd546efc5cf6aee8b379015b2)
![{\displaystyle \left[3,1,-1,9\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e3cee1d907910b78a16379ff3f14e6fcfa6150)
![{\displaystyle \left[1,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},3\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e005b47f3a09d27a8dbbbe337702efcfe4a2f28)
![{\displaystyle \left[1,4,3,2\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/800a234ce75f6fc7d7cca7da67be0c3624ff30ce)
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![{\displaystyle R_{2}-R_{1}=\left[0,-1,2,6\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669c5b85327f56997b34ee16f6bf9966a323e6dd)
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![{\displaystyle \left[2,3,1,1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa73b4f048bd7f204d2576c6aac07811b8eae9f)
![{\displaystyle \left[2,2,4,12\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0844c8f93044f8ad5bb879bc4c276e919a9b970e)
![{\displaystyle \left[\left(2-2\right),\left(3-2\right),\left(1-4\right),\left(1-12\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08c03e050685cc64d32d942a9e12e0c061131ab)
![{\displaystyle \left[0,1,-3,-11\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc83a6d79b4c3f825913e3d34c8603c7e765b856)
-
Comece com um sistema amostral de equações lineares. Para praticar os passos, comece com a amostra usada previamente: , e . Ao escrevê-las em forma de matriz, ela ficará assim:
-
Ponha um na primeira posição . Observe que começa com um que deve agora ser transformado em . Você pode consegui-lo através da multiplicação escalar, multiplicando todos os quatro termos em por . Em suma, a operação pode ser resumida em . Isso trará um novo resultado para , uma vez que . Copie agora e sem qualquer mudança, sendo e .
- Observe que divisão e multiplicação são apenas funções inversas entre si. Pode-ser dizer que você estará multiplicando por ou dividindo por , pois o resultado é o mesmo.
-
Crie um zero na primeira coluna da segunda linha ( ). No momento, . Para se aproximar da matriz-solução, é preciso antes transformar o primeiro termo de um para um . Para isso, você pode subtrair duas vezes o valor de , uma vez que começa com um . Em suma, a operação é . Lembre-se de que você não pretende alterar , mas somente trabalhá-lo. Copie primeiro , sendo . A seguir, ao duplicar cada termo de , você obterá . Por fim, subtraia esse resultado do para obter a nova composição de . Avançando item por item, a subtração consistirá em , , e . É possível simplificá-la para chegar em . Observe que o primeiro termo é , o seu objetivo inicial.
- Copie a terceira linha inalterada como sendo .
- Tome muito cuidado ao subtrair números negativos, então lembre-se de manter os sinais sempre corretos.
- Por agora, deixe as frações em formato impróprio para facilitar os passos posteriores da solução. Você poderá simplificá-las no passo final do problema.
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Crie um na segunda coluna da segunda linha ( ). Para continuar formando a linha diagonal de uns, é preciso transformar o segundo termo em . Para isso, multiplique toda a linha pela recíproca desse valor, que é . Simbolicamente, esse passo seria . A segunda linha resultante será .
- Observe que à medida em que a metade esquerda da linha começa a se assemelhar aos zeros e uns, a metade direita talvez pareça muito desordenada com tantas frações impróprias. Apenas avance normalmente por agora.
- Lembre-se de continuar a cópia das linhas inalteradas, de modo que e .
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Crie um zero na primeira coluna da terceira linha ( ). O seu foco agora avança para a terceira linha, . Para criar um na primeira posição, será preciso subtrair um daquele que está agora nessa posição. Ao observar, você notará que existe um na primeira posição de . Por isso, basta subtrair para chegar ao resultado desejado. Prosseguindo um termo de cada vez, você chegará em , , e . Esses quatro mini-problemas serão simplificados para se obter a nova .
- Continue a copiar e . Lembre-se de que altera-se apenas uma linha de cada vez.
-
Crie um zero na segunda coluna da terceira linha ( . O valor está como atualmente, mas precisa ser transformado em . A princípio, parece que você talvez conseguirá subtrair o dobro dos valores em , visto que a coluna correspondente contém um . Entretanto, ao dobrar todos os valores de e subtraí-los, você afetará o na primeira coluna de , algo que certamente não quer fazer. Esse seria um imenso passo para trás na busca pela solução, sendo necessário trabalhar com uma combinação da . Ao subtrair de , você criará um na segunda coluna sem afetar a primeira. Em notação abreviada, trata-se de . Os termos individuais se tornarão , , e . A simplificação chegará ao resultado .
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Crie um na terceira coluna da terceira linha ( ). Esse é um passo simples que consiste na multiplicação pela recíproca do número presente. O valor atual é , de modo que você poderá multiplicá-lo por a fim de obter o desejado . Observe que os primeiros dois termos são zeros, de modo que qualquer multiplicação continuará sendo igual a . O novo valor será .
- Observe que as frações, tão aparentemente complexas no passo anterior, já começaram a se resolver.
- Continue a trazer e .
- Observe que nesse ponto você tem uma diagonal de uns relativa à matriz-solução. Basta transformar mais três itens da matriz em zeros para chegar ao resultado.
-
Crie um zero na terceira coluna da segunda linha. consiste atualmente em , com o valor na terceira coluna. É preciso transformá-lo em um . Para isso, será necessária a operação envolvendo que consiste em somar . Como a terceira coluna de correspondente é um , você deverá multiplicar todo o conteúdo de por e somar o resultado de . Em suma, trata-se de . Avançando um termo de cada vez, a operação consiste em . O resultado será simplificado para .
- Continue a trazer e .
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Crie um zero na terceira coluna da primeira linha ( ). A primeira linha consiste atualmente de . Não é preciso transformar o na terceira coluna em um usando uma combinação de . Você não deve usar porque o na segunda coluna de afetaria da maneira errada. Por isso, você multiplicará e, a seguir, somará o resultado a . A notação seria . Avançando termo a termo resultará em . Simplificado, tudo ficará como um novo .
- Copie os inalterados e .
-
Crie um zero na segunda coluna da primeira linha ( ). Se tudo houver sido feito da forma correta, esse será o seu passo final. É preciso transformar o na segunda coluna em um . Você pode consegui-lo multiplicando ) e subtraindo. Em suma, trata-se de . O resultado será . A simplificação resultará em .
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Procure pela matriz-solução. Nesse ponto, se tudo ocorreu como deveria, você terá as três linhas , e . Observe que, ao escrevê-las em forma de bloco, com as linhas empilhadas uma sobre a outra, você terá os uns diagonais circundados de zeros por toda parte, com a solução restando na quarta coluna. A matriz-solução ficará assim:
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Decifre a solução. Ao traduzir as equações lineares em forma de matriz, você põe os coeficientes na primeira coluna, os coeficientes na segunda coluna e os coeficientes na terceira coluna. Então, para rescrever a matriz de volta ao formato de equação, as três linhas da matriz implicam as três equações , e . Como os zeros podem ser eliminados e não é necessário escrever os coeficientes , as três equações podem ser simplificadas para trazer à tona a solução: , e . Essa é a solução final do sistema de equações lineares. [5] X Fonte de pesquisaPublicidade
![{\displaystyle R_{1}=\left[1,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},3\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8183e590923b52be9f68b3cd806e085a5f3157f)
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![{\displaystyle R_{3}=\left[1,1,1,7\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a383e4cbdabc3e07eab6193b696a484a640bf8)
![{\displaystyle 2\times R_{1}=\left[2,{\frac {2}{3}},-{\frac {2}{3}},6\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/826b76c8dcacf56f7ff9c8e31b95d0df80d9cccd)
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![{\displaystyle R_{2}=\left[0,1,-{\frac {5}{8}},{\frac {27}{8}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/678cddb4a86e177886d334f2a39fc1b247ab6b65)
![{\displaystyle \left[1-\left(-{\frac {1}{3}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76c988b533512c46d9ab63a200e1edf3b056e79)
![{\displaystyle R_{3}=\left[0,{\frac {2}{3}},{\frac {4}{3}},4\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57679a9f7b84b375f906291804c9539583a41126)
![{\displaystyle \left[{\frac {4}{3}}-\left(-{\frac {5}{3}}\times {\frac {2}{3}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871a703de514718194101e460d018d4e70a92c4d)
![{\displaystyle R_{3}\left[0,0,{\frac {42}{24}},{\frac {42}{24}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b2403d656abc7fab288dbd7ec0469e28d32f372)
![{\displaystyle R_{3}=\left[0,0,1,1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f1a6c12e70ae6fc5ac7506852c5cd72a4a7e47e)
![{\displaystyle \left[0,1,-{\frac {5}{8}},{\frac {27}{8}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1324abd541514f3abfd8bac1122b6aeac523d0)
![{\displaystyle R_{2}=\left[0,1,0,4\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89bee1cf50f6653c7f44395b278910e403607db8)
![{\displaystyle R_{1}=\left[1,{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3}},3\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0346c68907cbb1228b31b4b1f6641d77c9a165)
![{\displaystyle R_{1}=\left[1,{\frac {1}{3}},0,{\frac {10}{3}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe898d06c4f42b63008c02acdec82fef7aef16f)
![{\displaystyle R_{1}=\left[1,0,0,2\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa347b2c6ed3adeaee9479dbee809d1ef4af079)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&0&0&2\\0&1&0&4\\0&0&1&1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6e5e2866c56c0970dd796cde08c55a2113efae0)
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Substitua os valores da solução nas variáveis de cada equação. É sempre uma boa ideia conferir se a solução está realmente correta. Para isso, é preciso testar os resultados nas equações originais.
- Lembre-se de que as equações originais eram , e . Ao substituir as variáveis pelos resultados, você obterá , e .
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Simplifique cada equação. Realize as operações necessárias em cada uma delas com base nas regras fundamentais de operação. A primeira delas é simplificada para , ou . A segunda equação é simplificada como ou . A equação final é simplesmente .
- Como cada equação está sendo simplificada em uma afirmação matemática verdadeira, as soluções são corretas. Se qualquer uma delas não for corretamente resolvida, será preciso voltar pelo trabalho e procurar por erros. Alguns equívocos comuns são esquecer-se de tirar o sinal de negativo ao longo do processo ou confundir a multiplicação e a soma de frações.
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Escreva as soluções finais. Nesse problema específico, a solução final pode ser escrita como , e .Publicidade
Dicas
- Se você estiver lidando com um sistema de equações extremamente complexo e com muitas variáveis, pode ser possível usar uma calculadora gráfica em vez de avançar à mão.
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Referências
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-introduction.html
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/representing-systems-with-matrices/a/representing-systems-with-matrices
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/systems-linear-equations-matrices.html
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/multiplying-matrices-by-scalars/a/multiplying-matrices-by-scalars
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/systems-linear-equations-matrices.html
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