Pdf downloaden
Pdf downloaden
Wiskundige bewijzen kunnen moeilijk zijn, maar met de juiste achtergrondkennis van zowel wiskunde als de structuur van een bewijs, kun je ze zeker succesvol formuleren. Helaas is er geen snelle en gemakkelijke manier om te leren hoe je een bewijs opbouwt. Je hebt een stevig fundament nodig wat je kennis over onderwerp betreft om met de juiste stellingen en definities aan te komen voor het logisch ontwikkelen van je bewijs. Door het lezen van voorbeelden en zelf oefenen, zal je jezelf de vaardigheid van wiskundig bewijzen eigen kunnen maken.
Stappen
-
Begrijp de vraag. Je moet eerst precies bepalen wat het is dat je probeert te bewijzen. Deze vraag zal ook dienen als de definitieve stelling van het bewijs. In deze stap ga je ook de aannames definiëren waarmee je gaat werken. Het identificeren van de vraag en de nodige aannames geeft je een beginpunt voor het begrijpen van het probleem en het uitwerken van het bewijs.
-
Teken diagrammen. Wanneer je probeert om de innerlijke werking van een wiskundige probleem te begrijpen, is het soms het gemakkelijkst om een diagram te tekenen van wat er gebeurt. Diagrammen zijn bijzonder belangrijk bij meetkundige bewijzen, omdat je ermee kunt visualiseren wat je daadwerkelijk wilt bewijzen.
- Gebruik de informatie zoals gegeven in het probleem, om een tekening te maken van het bewijs. Benoem de bekenden en onbekenden.
- Gebruik met het uitwerken van het bewijs de noodzakelijke informatie die het bewijs ondersteunt.
-
Studeer bewijzen van verwante stellingen. Bewijzen zijn moeilijk om te leren opstellen, maar een uitstekende manier om dit te leren is het bestuderen van verwante stellingen en hoe die werden bewezen.
- Besef je dat een bewijs gewoon een goed argument is waarbij elke stap wordt onderbouwd. Je kunt veel bewijzen vinden om te bestuderen, zowel online als in een leerboek. [1] X Bron
-
Stel vragen. Het is heel normaal om vast komen te zitten in een bewijs. Vraag je leraar of klasgenoten als je er niet uitkomt. De laatste hebben mogelijk soortgelijke vragen en je kunt samenwerken aan de problemen. Het is beter om vragen te stellen en het daarna te begrijpen, dan blind door het bewijs te waden.
- Overleg met je leerkracht na de les voor extra uitleg.
Advertentie
-
Definieer wiskundige bewijzen. Een wiskundig bewijs is een reeks logische beweringen ondersteund door stellingen en definities, die de juistheid aantonen van een andere wiskundige bewering. [2] X Bron Bewijzen zijn de enige manier om te weten of een bewering wiskundig geldig is.
- In staat zijn om een wiskundig bewijs te formuleren geeft een fundamenteel begrip aan van het probleem zelf, en alle concepten die in het probleem aan de orde zijn.
- Bewijzen dwingen je ook om op een nieuwe en spannende manier naar wiskunde te kijken. Alleen al door proberen iets te bewijzen, krijgt je er meer kennis en inzicht over, zelfs als je bewijs uiteindelijk niet lijkt te kloppen.
-
Ken je publiek. Voor het schrijven van een bewijs moet je nadenken over het publiek waarvoor je het schrijft en wat ze al weten. Als je een bewijs schrijft voor een publicatie, dan zal je dit anders doen dan voor een middelbare schoolklas. [3] X Bron
- Door je publiek te kennen kun je het bewijs op een manier formuleren die het zal begrijpen, gezien de hoeveelheid achtergrondkennis die het publiek heeft.
-
Begrijp het soort bewijs dat je formuleert. Er zijn een paar verschillende soorten bewijzen, en degene die je kiest hangt af van je doelgroep en de opdracht. Als je niet zeker weet welke versie je moet gebruiken, vraag dan je leraar om advies. Op de middelbare school kan van je worden verwacht dat je het bewijs in een specifieke indeling formuleert, zoals een formeel bewijs in twee kolommen. [4] X Bron
- Een bewijs in twee kolommen is een structuur waarbij gegevens en beweringen in de ene kolom komen te staan en het ondersteunend bewijsmateriaal ernaast in een tweede kolom. Ze worden zeer vaak gebruikt binnen de meetkunde.
- Een informeel bewijs in alinea's gebruikt grammaticaal correcte beweringen en minder symbolen. Op een hoger niveau moet je altijd gebruik maken van een informeel bewijs.
-
Schrijf het bewijs in twee kolommen als overzicht. Een bewijs in twee kolommen structureren is een gemakkelijke manier om je gedachten te organiseren en het probleem te beschouwen. Trek een lijn door het midden van de pagina en schrijf alle gegevens en beweringen aan de linkerkant. Schrijf de bijbehorende definities/stellingen aan de rechterzijde, naast de gegevens die ze ondersteunen.
- Bijvoorbeeld: [5] X Bron
- Hoek A en hoek B vormen een lineair paar. Gegeven.
- Hoek ABC is recht. Definitie van een rechte hoek.
- Hoek ABC is 180°. Definitie van een lijn.
- Hoek A + hoek B = hoek ABC. Postulaat voor het optellen van hoeken.
- Hoek A + hoek B = 180°. Substitutie.
- Hoek A als supplement van hoek B. Definitie van aanvullende hoeken.
- Q.E.D.
-
Converteer het bewijs in twee kolommen naar een informeel bewijs. Schrijf uitgaande van het bewijs in twee kolommen, een informeel bewijs als alinea zonder te veel symbolen en afkortingen.
- Bijvoorbeeld: stel hoek A en B zijn lineaire paren. De hypothese is dat hoek A en hoek B elkaar aanvullen (supplementair zijn). Hoek A en hoek B vormen een rechte lijn omdat ze lineaire paren zijn. Een rechte lijn wordt gedefinieerd als zijnde een hoek van 180°. Gezien het postulaat voor de optelling van hoeken, vormen de hoeken A en B samen de lijn ABC. Door middel van vervanging, zijn A en B samen 180°, derhalve zijn het supplementaire hoeken. Q.E.D.
Advertentie
-
Leer de woordenschat van wiskundige bewijsvoering. Er zijn bepaalde beweringen en zinnen die je telkens terugziet in een wiskundig bewijs. Dit zijn de zinnen waarmee je bekend moet zijn en die je goed moet kunnen gebruiken bij het formuleren van je eigen bewijs. [6] X Bron
- 'Als A, dan B' betekent dat je moet aantonen dat wanneer A waar is, B ook waar moet zijn. [7] X Bron
- 'A dan en slechts dan als B' betekent dat je moet bewijzen dat A en B tegelijkertijd waar en onwaar zijn. Bewijs zowel 'Als A, dan B' en 'als niet A, dan niet B'.
- 'A alleen als B' betekent hetzelfde als 'Als A, dan B', en wordt dus niet vaak gebruikt. Het is goed om hiervan op de hoogte te zijn wanneer je het tegenkomt.
- Bij het opstellen van het bewijs dien je het gebruik van 'ik' te vermijden ten gunste van 'wij'. [8] X Bron
-
Noteer alle gegevens. Bij het samenstellen van een bewijs, is de eerste stap het identificeren en noteren van alle gegevens. Dit is de beste plaats om te beginnen, omdat het je helpt na te denken over wat bekend is en welke informatie je nodig hebt voor het voltooien van het bewijs. Lees het probleem en noteer elk gegeven.
- Bijvoorbeeld: Bewijs dat twee hoeken die een lineaire paar vormen (hoek A en hoek B), supplementair zijn. [9] X Bron
- Gegeven: hoek A en hoek B vormen een lineaire paar
- Bewijs: hoek A is supplementair met hoek B.
-
Definieer alle variabelen. Naast het schrijven van de gegevens is het nuttig om alle variabelen te definiëren. Schrijf de definities aan het begin van het bewijs om verwarring bij de lezer te voorkomen. Als variabelen niet zijn gedefinieerd, kan een lezer gemakkelijk de draad kwijtraken tijdens het doorgronden van je bewijs.
- Gebruik geen variabelen in je bewijs die nog niet zijn gedefinieerd.
- Bijvoorbeeld: Variabelen zijn de meetwaarden van hoek A en hoek B.
-
Werk via het bewijs achteruit. Het is vaak het gemakkelijkst om achterwaarts na te denken over een probleem. Begin met de conclusie, wat je probeert te bewijzen, en denk na over de stappen die je terug kunnen leiden naar het begin. [10] X Bron
- Bewerk de stappen aan het begin en het einde, om na te gaan of ze op elkaar lijken. Gebruik de gegevens, definities die je hebt geleerd en soortgelijke bewijzen.
- Stel jezelf gaandeweg vragen. 'Waarom is dit zo?' en 'Is er een manier waarop dit onwaar is?' zijn goede vragen voor elke bewering of claim.
- Vergeet niet om de stappen in de juiste volgorde te schrijven voor het definitieve bewijs.
- Bijvoorbeeld: Indien hoek A en B supplementair zijn, dan moeten ze samen 180° zijn. De twee hoeken vormen samen de lijn ABC. Je weet dat ze een lijn vormen vanwege de definitie van lineaire paren. Omdat een rechte lijn 180° is, kun je substitutie gebruiken om te bewijzen dat hoek A en hoek B optellen tot 180°.
-
Plaats je stappen in logische volgorde. Begin het bewijs bij het begin en werk toe naar de conclusie. Hoewel het handig is om na te denken over het bewijs, door te beginnen met de conclusie en achteruit te werken, zal je bij het presenteren van het daadwerkelijke bewijs de conclusie aan het einde plaatsen. [11] X Bron De beweringen in het bewijs dienen uit elkaar voort te vloeien, met onderbouwing voor elke bewering, zodat er geen reden is om te twijfelen aan de geldigheid van je bewijs.
- Begin met de vermelding van de aannames waarmee je werkt.
- Deel ze op in eenvoudige en duidelijke stappen, zodat de lezer zich niet hoeft af te vragen hoe de ene stap logisch voortvloeit uit de andere.
- Het is niet ongewoon om meerdere conceptbewijzen te formuleren. Blijf herschikken totdat alle stappen in de meest logische volgorde staan.
- Bijvoorbeeld: begin bij het begin.
- Hoek A en hoek B vormen een lineair paar.
- Hoek ABC is recht.
- Hoek ABC is 180°.
- Hoek A + hoek B = hoek ABC.
- Hoek A + hoek B = 180°.
- Hoek A is supplementair ten opzichte van hoek B.
-
Vermijd het gebruik van pijlen en afkortingen in het schriftelijk bewijs. Wanneer je het plan schetst voor je bewijs, kun je steno en symbolen gebruiken, maar bij het schrijven van het definitieve bewijs kunnen symbolen, zoals pijlen, de lezer verwarren. Gebruik in plaats daarvan woorden als 'vervolgens' of 'dus'. [12] X Bron
- Uitzonderingen voor het gebruik van afkortingen zijn: bijv. (bijvoorbeeld) en d.w.z. (dat wil zeggen), maar zorg dat je ze juist gebruikt. [13] X Bron
-
Onderbouw alle beweringen met een stelling (theorema), wet of definitie. Een bewijs is slechts zo goed als het gebruikte bewijs. Je kunt geen bewering doen zonder die te onderbouwen met een definitie. Verwijs naar andere, vergelijkbare bewijzen als voorbeeld.
- Probeert je bewijs toe te passen op een geval waar het onwaar moet zijn, en ga na of dit daadwerkelijk het geval is. Als het resultaat niet onwaar is, pas het bewijs dan aan zodat dit wel het geval is.
- Veel meetkundige bewijzen worden geschreven als een bewijs in twee kolommen, met de bewering en het bewijs. Een formeel wiskundig bewijs bedoeld voor publicatie, wordt geschreven als een alinea correcte grammatica.
-
Sluit het af met een conclusie of Q.E.D. De laatste bewering van het bewijs moeten de hypothese zijn die je probeerde te bewijzen. Zodra je deze bewering hebben gedaan, sluit je het bewijs af met een laatste symbool, zoals Q.E.D. of een dicht vierkant, om aan te geven dat het bewijs volledig is voltooid. [14] X Bron
- Q.E.D. staat voor 'quod erat demonstrandum' (Latijn voor 'hetgeen bewezen moest worden').
- Indien je niet zeker weet of je bewijs klopt, schrijf dan gewoon in een paar zinnen wat je conclusie is en waarom het significant is.
Advertentie
Tips
- Je gegevens moeten allemaal verband houden met je definitieve bewijs. Als een gegeven helemaal niets bijdraagt, kun je het uitsluiten.
Advertentie
Bronnen
- ↑ http://www.proofwiki.org/wiki/Main_Page
- ↑ http://www.math.uconn.edu/~hurley/math315/proofgoldberger.pdf
- ↑ https://www.math.washington.edu/~lee/Writing/writing-proofs.pdf
- ↑ http://www.homeschoolmath.net/teaching/two-column-proof.php
- ↑ http://www.ohschools.k12.oh.us/userfiles/225/Classes/72/6per2-6day2oct10.pdf
- ↑ https://math.berkeley.edu/~hutching/teach/proofs.pdf
- ↑ http://www.math.ucsd.edu/~ebender/proofs.html
- ↑ http://www.ms.uky.edu/~kott/proof_help.pdf
- ↑ http://www.ohschools.k12.oh.us/userfiles/225/Classes/72/6per2-6day2oct10.pdf
Over dit artikel
Deze pagina is 5.480 keer bekeken.
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
