كيفية حل البراهين الرياضية

تنزيل المقال
شارك في التأليف: Ronitte Libedinsky, MS

المصادر

تنزيل المقال

قد تكون البراهين الرياضية صعبة لكن يمكنك التغلب على صعوبتها إذا زودت نفسك بالخلفية المناسبة من المعرفة الرياضية وتركيب البراهين نفسها. لسوء الحظ ما من طريقة سهلة وسريعة لتعلم كيفية بناء برهان. لابد أن تمتلك المعرفة الأساسية بالموضوع لتستخدم التعريفات والنظريات الملائمة لاستنباط برهانك بشكل منطقي. ستتمكن من اكتساب مهارة كتابة البرهان الرياضي من خلال قراءة أمثلة على البراهين والتدرب عليها بمفردك.

طريقة 1
طريقة 1 من 3:

فهم المسألة

تنزيل المقال
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/9e\/Do-Math-Proofs-Step-1-Version-5.jpg\/v4-460px-Do-Math-Proofs-Step-1-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/9e\/Do-Math-Proofs-Step-1-Version-5.jpg\/v4-728px-Do-Math-Proofs-Step-1-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    لابد أن تحدد أولًا ما تحاول برهنته بالضبط، كما أن هذا السؤال سيعمل كعبارة أخيرة في البرهان. عليك أيضًا في هذه الخطوة أن تحدد الافتراضات التي ستعمل تحتها. يمنحك تحديد السؤال والافتراضات اللازمة نقطة بداية لفهم المسألة ووضع البرهان.
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/8d\/Do-Math-Proofs-Step-2-Version-5.jpg\/v4-460px-Do-Math-Proofs-Step-2-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/8d\/Do-Math-Proofs-Step-2-Version-5.jpg\/v4-728px-Do-Math-Proofs-Step-2-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    أحيانًا يكون رسم شكل توضيحي لما يحدث هو أسهل الطرق لفهم مقصد مسألة الرياضايات. تصبح الرسوم التوضيحية ذات أهمية خاصة في البراهين الهندسية لأنها تساعدك في تصور ما تحاول برهنته.
    • استخدم معطيات المسألة لعمل رسم كروكي للبرهان. حدد المعطيات والمجاهيل.
    • استخلص المعلومات اللازمة التي تؤيد البرهان مع تقدمك فيه.
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2d\/Do-Math-Proofs-Step-3-Version-5.jpg\/v4-460px-Do-Math-Proofs-Step-3-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2d\/Do-Math-Proofs-Step-3-Version-5.jpg\/v4-728px-Do-Math-Proofs-Step-3-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    من الصعب تعلم كتابة البراهين لكن إحدى الطرق الممتازة لتعلمها هي دراسة النظريات ذات الصلة وكيفية البرهنة عليها.
    • تذكر أن البرهان هو محض حجة جيدة تثبت فيها كل خطوة. يمكنك إيجاد العديد من البراهين على الإنترنت أو في الكتاب المدرسي لتدرسها. [١]
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/6d\/Do-Math-Proofs-Step-4-Version-5.jpg\/v4-460px-Do-Math-Proofs-Step-4-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/6d\/Do-Math-Proofs-Step-4-Version-5.jpg\/v4-728px-Do-Math-Proofs-Step-4-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    لابأس مطلقًا بأن تواجه صعوبة في البرهان. اسأل معلمك أو زملاءك إذا كانت لديك أية أسئلة. ربما كانت لديهم أسئلة مشابهة وتستطيعون حل المسائل معًا. من الأفضل أن تسأل وتستوضح بدلًا من أن تتخبط في البرهان.
    • التق بمعلمك خارج الصف للحصول على مزيد من التعليمات.
طريقة 2
طريقة 2 من 3:

صياغة البرهان

تنزيل المقال
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/ae\/Do-Math-Proofs-Step-5-Version-5.jpg\/v4-460px-Do-Math-Proofs-Step-5-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/ae\/Do-Math-Proofs-Step-5-Version-5.jpg\/v4-728px-Do-Math-Proofs-Step-5-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    البرهان الرياضي هو سلسلة من العبارات المنطقية التي تدعمها النظريات والتعريفات التي تثبت صحة عبارة رياضية أخرى. [٢] البراهين هي الطريقة الوحيدة للتحقق من صحة العبارة رياضيًا.
    • يدل التمكن من كتابة برهان رياضي على فهم أساسي للمسألة نفسها ولجميع المفاهيم المستخدمة بها.
    • كما أن البراهين تجبرك على النظر للرياضيات بطريقة جديدة ومثيرة. ستكتسب المعرفة والفهم بمجرد محاولة البرهنة حتى لو لم ينجح برهانك في النهاية.
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/72\/Do-Math-Proofs-Step-6-Version-5.jpg\/v4-460px-Do-Math-Proofs-Step-6-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/72\/Do-Math-Proofs-Step-6-Version-5.jpg\/v4-728px-Do-Math-Proofs-Step-6-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    عليك التفكير في الجمهور الذي تكتب له البرهان والمعلومات التي يعرفها مسبقًا قبل كتابته. ستختلف كتابتك للبرهان حين تكتبه للنشر عن طريقة كتابته لصف المدرسة الثانوية. [٣]
    • تمكنك معرفة جمهورك من كتابة البرهان بطريقة يفهمونها القراء من خلال خلفيتهم المعرفية.
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/1a\/Do-Math-Proofs-Step-7-Version-5.jpg\/v4-460px-Do-Math-Proofs-Step-7-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/1a\/Do-Math-Proofs-Step-7-Version-5.jpg\/v4-728px-Do-Math-Proofs-Step-7-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    هناك بضعة أنواع مختلفة من البراهين وسيعتمد اختيارك على القارئ والفرض. اطلب إرشاد معلمك إذا لم تكن واثقًا أيها تستخدم. ربما يتوقع منك في المدرسة الثانوية كتابة البرهان بصيغة معينة كالبرهان الرسمي ذو العمودين. [٤]
    • البرهان ذو العمودين هو بنية تضع المعطيات والعبارات في عمود والأدلة الداعمة بجوارها في عمود آخر. استخدام هذه الصيغة شائع جدًا في الهندسة.
    • يستخدم برهان الفقرة غير الرسمي عبارات صحيحة نحويًا ورموزًا أقل. يجب أن تستخدم البرهان الرسمي دومًا في المراحل المتقدمة.
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f1\/Do-Math-Proofs-Step-8-Version-5.jpg\/v4-460px-Do-Math-Proofs-Step-8-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f1\/Do-Math-Proofs-Step-8-Version-5.jpg\/v4-728px-Do-Math-Proofs-Step-8-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    البرهان ذو العمودين هو طريقة سهلة لتنظيم أفكارك والتفكير في المسألة. ارسم خطًا يمر بمنتصف الصفحة واكتب كل المعطيات والعبارات في الجانب الأيمن. اكتب التعريفات/النظريات المناظرة في الجانب الأيسر بجانب المعطيات التي تدعمها.
    • على سبيل المثال: [٥]
    • تشكل الزاوية أ والزاوية ب زوجًا خطيًا. معطى.
    • الزاوية أ ب ج قائمة. تعريف الزاوية القائمة.
    • قياس الزاوية أ ب ج 180ْ. تعريف الخط.
    • الزاوية أ + الزاوية ب + الزاوية ج = الزاوية أ ب ج. جمع الزوايا.
    • الزاوية أ + الزاوية ب = 180ْ. تعويض.
    • الزاوية أ مكملة للزاوية ب. تعريف الزوايا المتكاملة.
    • ه.م.إ.
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/cb\/Do-Math-Proofs-Step-9-Version-3.jpg\/v4-460px-Do-Math-Proofs-Step-9-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/cb\/Do-Math-Proofs-Step-9-Version-3.jpg\/v4-728px-Do-Math-Proofs-Step-9-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    اكتب الفقرة غير الرسمية للبرهان دون وضع الكثير من الرموز والاختصارات مستخدمًا البرهان ذو العمودين كأساس.
    • على سبيل المثال: لنقل بأن الزوايا أ و ب تشكلان زوجًا خطيًا. إذن وحسب الفرضية فهما متكاملتان. تشكل الزاويتان أ وب خطًا مستقيمًا لأنهما تشكلان زوجًا خطيًا. يعرف الخط المستقيم بأن قياس زاويته 180ْ. نعلم من جمع الزوايا أننا سنجمع الزاويتين أ وب ليشكلا الخط أ ب ج. يصبح مجموع الزوايتين أ و ب 180ْ من خلال التعويض لذا فإنها زوايا متكاملة. ه.م.إ.
طريقة 3
طريقة 3 من 3:

كتابة البرهان

تنزيل المقال
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/6a\/Do-Math-Proofs-Step-10-Version-3.jpg\/v4-460px-Do-Math-Proofs-Step-10-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/6a\/Do-Math-Proofs-Step-10-Version-3.jpg\/v4-728px-Do-Math-Proofs-Step-10-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    هناك جمل وعبارات معينة ستراها مرارًا وتكرارًا في البرهان الرياضي. هذه هي الجمل التي عليك معرفتها ومعرفة كيفية استخدامها على نحو ملائم عند كتابة برهانك. [٦]
    • تعني عبارة "بما أن أ إذن ب" أن ب لابد أن تتحقق متى تحققت أ. [٧]
    • تعني "أ إذا وإذا فقط كانت ب" أنك لابد أن تثبت أن أ وب تتحققان أو لا تتحققان معًا في الوقت ذاته. أثبت أن "إذا تحققت أ فإن ب تتحقق" و"إذا لم تتحقق أ فلن تتحقق ب".
    • تكافئ "أ إذا فقط ب" "إذا تحققت أ فإن ب تتحقق" لذا لا تستخدم كثيرًا. من الجيد أن تعرفها أيضًا تحسبًا لمصادفتها.
    • تجنب استخدام ضمير "أنا" عند صياغة البرهان واستخدم "نحن" بدلًا منه. [٨]
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/20\/Do-Math-Proofs-Step-11-Version-3.jpg\/v4-460px-Do-Math-Proofs-Step-11-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/20\/Do-Math-Proofs-Step-11-Version-3.jpg\/v4-728px-Do-Math-Proofs-Step-11-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    أول خطوة عند صياغة البرهان هي تحديد كل المعطيات وكتابتها. هذه أفضل نقطة للبدء لأنها تساعدك على التفكير فيما تعرفه وما ستحتاجه لإتمام البرهان. اقرأ المسألة جيدًا واكتب كل المعطيات.
    • على سبيل المثال: أثبت أن الزاويتين (الزاوية أ والزاوية ب) اللتان تشكلان زوجًا خطيًا هما زاويتان متكاملتان. [٩]
    • المعطيات: الزاوية أ والزاوية ب زوج خطي
    • أثبت: الزاوية أ مكملة للزاوية ب
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a7\/Do-Math-Proofs-Step-12-Version-3.jpg\/v4-460px-Do-Math-Proofs-Step-12-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a7\/Do-Math-Proofs-Step-12-Version-3.jpg\/v4-728px-Do-Math-Proofs-Step-12-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    سيفيدك أن تعرف كل المتغيرات بالإضافة لكتابة المعطيات. اكتب التعريفات في بداية البرهان لتجنب إرباك القارئ. يمكن أن يتوه القارئ بسهولة عند محاولة فهم برهانك إذا لم تكن التعريفات محددة.
    • لا تستخدم في برهانك أي متغيرات لم تعرف.
    • على سبيل المثال: المتغيرات هي قياسات الزاويتين أ وب.
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2a\/Do-Math-Proofs-Step-13-Version-3.jpg\/v4-460px-Do-Math-Proofs-Step-13-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2a\/Do-Math-Proofs-Step-13-Version-3.jpg\/v4-728px-Do-Math-Proofs-Step-13-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    عادة ما يكون التفكير في المسألة بالعكس هو الحل الأسهل. ابدأ بالخاتمة، أي بما تحاول إثباته وفكر في الخطوات التي قد توصلك للبداية. [١٠]
    • تلاعب بخطوات البداية والنهاية لتعرف ما إذا كنت تستطيع جعلها تتشابه. استخدم المعطيات والتعريفات التي تعلمتها والبراهين المشابهة لهذه المسألة التي تعمل على حلها.
    • اطرح على نفسك الأسئلة مع تقدمك. "ما السبب؟" و"هل هناك طريقة تجعل هذا خاطئًا؟" أسئلة جيدة لكل عبارة أو ادعاء.
    • تذكر أن تعيد كتابة الخطوات بالترتيب الصحيح في البرهان النهائي.
    • على سبيل المثال: لابد أن يكون مجموع الزاويتين أ وب 180ْ إذا كانتا متكاملتين. تجتمع الزاويتان معًا لتشكلا الخط أ ب ج. نعلم أنهما تشكلان خطًا نظرًا لتعريف الأزواج الخطية. قياس زاوية الخط المستقيم هي 180ْ لذا يمكننا استخدام التعويض لإثبات أن مجموع الزاويتين أ وب 180ْ.
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/44\/Do-Math-Proofs-Step-14-Version-2.jpg\/v4-460px-Do-Math-Proofs-Step-14-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/44\/Do-Math-Proofs-Step-14-Version-2.jpg\/v4-728px-Do-Math-Proofs-Step-14-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    ابدأ البرهان من البداية وتقدم إلى الاستنتاج. قد يفيدك أن تفكر في البرهان بأن تبدأ من الاستنتاج وتعود للخلف لكن حين تكتب البرهان فاكتب الخاتمة في النهاية. [١١] يجب أن يسير البرهان من عبارة لأخرى مع التدليل على عبارة حتى لا يكون ثمة سبب للشك في صحة البرهان.
    • ابدأ بكتابة الافتراضات التي تعمل بها.
    • اجعل خطوات بسيطة وواضحة حتى لا يتساءل القارئ عن كيفية انتقالك من خطوة لأخرى.
    • ليس من الشائع كتابة عدة مسودات للبراهين. واصل إعادة الترتيب حتى تصبح جميع الخطوات مرتبة في أكثر ترتيب منطقي.
    • على سبيل المثال: ابدأ من البداية.
      • تشكل الزاويتان أ وب زوجًا خطيًا.
      • الزاوية أ ب ج مستقيمة.
      • قياس الزاوية أ ب ج 180ْ.
      • الزاوية أ +الزاوية ب = الزاوية أ ب ج.
      • الزاوية أ +الزاوية ب = 180ْ
      • الزاويتان أ وب متكاملتان.
  6. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/cc\/Do-Math-Proofs-Step-15-Version-2.jpg\/v4-460px-Do-Math-Proofs-Step-15-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/cc\/Do-Math-Proofs-Step-15-Version-2.jpg\/v4-728px-Do-Math-Proofs-Step-15-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    يمكنك استخدام الرموز والاختصارات عند وضع خطة لبرهانك لكن عند كتابة البرهان النهائي يمكن للرموز كالأسهم أن تربك القارئ. استخدم كلمات مثل "إذن" و"لذا". [١٢]
    • تشمل الاستثناءات لاستخدام الاختصارات إذن (∴) لكن احرص على استخدامها بطريقة صحيحة. [١٣]
  7. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/5f\/Do-Math-Proofs-Step-16-Version-2.jpg\/v4-460px-Do-Math-Proofs-Step-16-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/5f\/Do-Math-Proofs-Step-16-Version-2.jpg\/v4-728px-Do-Math-Proofs-Step-16-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    يكون البرهان جيدًا بقدر استخدام الأدلة. لا يمكنك كتابة عبارة دون دعمها بتعريف. راجع البراهين الأخرى المشابهة للمسألة التي تعمل عليها كمثال.
    • حاول تطبيق برهانك على حالة يجب أن "يخفق" فيها واعرف ما إذا كان ينطبق. أعد العمل على البرهان إذا لم يخفق حتى تصحح الوضع.
    • تكتب العديد من البراهين الهندسية في صورة برهان ذو عمودين مع العبارة والدليل. يكتب البرهان الرياضي الرسمي المخصص للنشر كفقرة بالقواعد الصحيحة.
  8. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/de\/Do-Math-Proofs-Step-17-Version-2.jpg\/v4-460px-Do-Math-Proofs-Step-17-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/de\/Do-Math-Proofs-Step-17-Version-2.jpg\/v4-728px-Do-Math-Proofs-Step-17-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    يجب أن تكون آخر عبارات البرهان هي ما تحاول برهنته. يشير إنهاء البرهان برمز ختامي نهائي مثل ه.م.إ أو مربع مملوء بعد كتابة هذه العبارة أن البرهان قد اكتمل تمامًا. [١٤]
    • ه.م.إ (وهو المطلوب إثباته).
    • اكتب بضع جمل تشرح استنتاجك وسبب صحته إذا لم تكن متأكدًا من صحة البرهان.

أفكار مفيدة

  • يجب أن تكون جميع المعلومات متصلة بالبرهان النهائي أو تشير إليه. يمكنك استثناء ما لا يفيد بشيء.

مقالات ذات صلة في ويكي هاو

كيفية
التحويل من ملي لتر إلى جرام
كيفية
حساب الخصومات على الأسعار
كيفية
حساب محيط المستطيل
كيفية
حساب مجموع متتالية حسابية
كيفية
حساب مساحة المستطيل
كيفية
حساب مساحة المثلث
كيفية
حساب حجم المنشور
كيفية
تحويل المتر مربع إلى متر مكعب
كيفية
حساب مساحة المعين
كيفية
القياس بالسنتيمتر
كيفية
كيفية حساب حجم متوازي المستطيلات
كيفية
حساب مساحة شبه المنحرف
كيفية
حساب حجم الكرة
كيفية
حساب مساحة دائرة

المصادر

  1. ↑ http://www.proofwiki.org/wiki/Main_Page
  2. ↑ http://www.math.uconn.edu/~hurley/math315/proofgoldberger.pdf
  3. ↑ https://www.math.washington.edu/~lee/Writing/writing-proofs.pdf
  4. ↑ http://www.homeschoolmath.net/teaching/two-column-proof.php
  5. ↑ http://www.ohschools.k12.oh.us/userfiles/225/Classes/72/6per2-6day2oct10.pdf
  6. ↑ https://math.berkeley.edu/~hutching/teach/proofs.pdf
  7. ↑ http://www.math.ucsd.edu/~ebender/proofs.html
  8. ↑ http://www.ms.uky.edu/~kott/proof_help.pdf
  9. ↑ http://www.ohschools.k12.oh.us/userfiles/225/Classes/72/6per2-6day2oct10.pdf
  1. ↑ http://cheng.staff.shef.ac.uk/proofguide/proofguide.pdf
  2. ↑ http://www.ms.uky.edu/~kott/proof_help.pdf
  3. ↑ http://www.ms.uky.edu/~kott/proof_help.pdf
  4. ↑ https://www.math.washington.edu/~lee/Writing/writing-proofs.pdf
  5. ↑ http://www.ms.uky.edu/~kott/proof_help.pdf

المزيد حول هذا المقال

بلغات أخرى
تم عرض هذه الصفحة ١٨٬٢٤٩ مرة.

هل ساعدك هذا المقال؟