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Mathematische Beweise können schwierig sein, man kann sie aber mit dem richtigen Hintergrundwissen zur Mathematik sowie zu dem Format eines Beweises meistern. Leider gibt es keine kurze und schmerzlose Möglichkeit, zu erlernen, wie man einen Beweis aufstellt. Du brauchst fundiertes Basiswissen zu dem Thema, um mit den richtigen Theoremen und Definitionen aufzukommen, mit denen du anschließend deinen Beweis logisch ausarbeitest. Durch das Lesen von Beispielbeweisen und die Übung mit eigenen Beweisen wirst du jedoch die Fähigkeit entwickeln können, einen mathematischen Beweis zu verfassen.
Vorgehensweise
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Stelle die Frage fest. Du musst zuerst feststellen, was genau du zu beweisen versuchst. Diese Frage dient auch als Abschlusserklärung im Beweis. In diesem Schritt solltest du außerdem die Voraussetzungen definieren, unter denen du arbeitest. Die Frage und die dafür notwendigen Annahmen festzustellen, gibt dir einen Startpunkt, um die Aufgabe zu verstehen und den Beweis auszuarbeiten.
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Zeichne Abbildungen. Wenn du versuchst, die Funktionsweise eines Matheproblems zu verstehen, ist manchmal das einfachste Vorgehen, eine Abbildung von dem zu zeichnen, was vor sich geht. Solche Abbildungen sind bei geometrischen Beweisen besonders wichtig, denn sie helfen dir bildlich darzustellen, was du genau versuchst zu beweisen.
- Verwende die angegebenen Informationen aus der Aufgabe, um eine Zeichnung des Beweises anzufertigen. Beschrifte die bekannten und unbekannten Teile.
- Zeichne, während du an dem Beweis arbeitest, notwendige Informationen ein, die Belege für den Beweis liefern.
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Studiere Beweise zu verwandten Theoremen. Es ist schwierig zu lernen, wie man Beweise schreibt, eine hervorragende Möglichkeit, es zu erlernen, ist jedoch, verwandte Theoreme zu studieren und wie diese bewiesen wurden.
- Verstehe, dass ein Beweis eine gute Argumentation ist, bei der jeder Schritt begründet wird. Du findest viele Beweise zum Studieren im Internet oder in einem Lehrbuch. [1] X Forschungsquelle
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Stelle Fragen. Es ist vollkommen normal, bei einem Beweis hängenzubleiben. Frage deinen Lehrer oder deine Mitschüler, wenn du Fragen hast. Sie könnten ähnliche Fragen haben und ihr könnt die Aufgaben zusammen durcharbeiten. Es ist besser, zu fragen und eine Erklärung zu erhalten, als blind durch den Beweis zu stolpern.
- Vereinbare mit deinem Lehrer ein Treffen außerhalb des Unterrichts, um weitere Unterweisungen zu erhalten.
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Definiere mathematische Beweise. Ein mathematischer Beweis ist eine Reihe von logischen Äußerungen, die von Theoremen und Definitionen gestützt werden, die das Wahrsein einer anderen mathematischen Aussage beweisen. [2] X Forschungsquelle Beweise sind die einzige Methode um zu wissen, ob eine Aussage mathematisch gültig ist.
- Einen mathematischen Beweis verfassen zu können lässt ein fundamentales Verständnis des Problems selber und aller angewandten Konzepte erkennen.
- Beweise zwingen einen auch, die Mathematik auf eine neue und aufregende Weise zu betrachten. Schon beim Versuch dabei, etwas zu beweisen, gewinnst du an Wissen und Verständnis, sogar wenn dein Beweis schließlich nicht funktioniert.
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Wisse, wer dein Publikum ist. Bevor du einen Beweis schreibst, musst du über das Publikum nachdenken, für das du schreibst, und welche Informationen es bereits hat. Wenn du einen Beweis zur Veröffentlichung verfasst, schreibst du anders, als wenn du einen Beweis für den Matheunterricht in der Schule schreibst. [3] X Forschungsquelle
- Das Publikum zu kennen ermöglicht es dir, den Beweis auf eine Art und Weise zu schreiben, dass er basierend auf dem Hintergrundwissen des Publikums verstanden wird.
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Stelle die Art von Beweis fest, die du schreibst. Es gibt ein paar verschiedene Arten von Beweisen und welche du auswählst, hängt von deinem Publikum und von der Aufgabenstellung ab. Wenn du dir nicht sicher bist, welche Version du verwenden sollst, frage deinen Lehrer um Rat. In der Schule wird von dir erwartet, dass du einen Beweis in einem bestimmten Format schreibst, wie als formellen Beweis in zwei Spalten. [4] X Forschungsquelle
- Bei einem Beweis in zwei Spalten werden Voraussetzungen und Aussagen in eine Spalte geschrieben und die stützenden Belege in eine zweite Spalte daneben. Sie werden sehr häufig in der Geometrie angewandt.
- Bei einem informellen Absatz als Beleg werden grammatikalisch korrekte Aussagen und weniger Symbole eingesetzt. Auf höheren Ebenen solltest du immer einen informellen Beweis anwenden.
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Schreibe als Gliederung einen Beweis in zwei Spalten. Der Beweis in zwei Spalten ist eine einfache Möglichkeit, deine Gedanken zu ordnen und das Problem durchzudenken. Zeichne eine Linie in die Mitte der Seite und schreibe alle Voraussetzungen und Aussagen auf die linke Seite. Schreibe die entsprechenden Definitionen/Theoreme auf die rechte Seite, neben die Voraussetzungen, die sie stützen.
- Zum Beispiel:
- Winkel A und Winkel B bilden ein Nebenwinkelpaar. Voraussetzung.
- Winkel ABC ist ein gestrecker Winkel. Definition eines gestreckten Winkels.
- Winkel ABC misst 180°. Definition einer Geraden.
- Winkel A + Winkel B = Winkel ABC. Winkeladditionspostulat.
- Winkel A + Winkel B = 180°. Substitution.
- Winkel A ist supplementär zu Winkel B. Definition von Supplementärwinkeln.
- Q.E.D.
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Wandle den zweispaltigen Beweis in einen formlosen, geschriebenen Beweis um. Verwende den Beweis in zwei Spalten als Grundlage und schreibe deinen Beweis in Form eines formlosen Absatzes ohne allzu viele Symbole und Abkürzungen.
- Zum Beispiel: Seien Winkel A und Winkel B ein Nebenwinkelpaar. Die Hypothese ist, dass Winkel A und Winkel B supplementär sind. Winkel A und Winkel B bilden eine gerade Linie, weil sie ein Nebenwinkelpaar sind. Eine gerade Linie hat der Definition nach ein Winkelmaß von 180 °C. Gemäß des Winkeladditionspostulats ergeben die Winkel A und B zusammen die Linie ABC. Durch Substitution ergeben die Winkel A und B zusammen 180 °C, daher sind sie Supplementärwinkel. Q.E.D.
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Lerne das richtige Vokabular für Beweise. Es gibt bestimmte Aussagen und Ausdrücke, die du in mathematischen Beweisen immer wieder sehen wirst. Das sind Ausdrücke, mit denen du vertraut sein musst und deren richtige Anwendung du kennen musst, um selber einen Beweis zu schreiben. [5] X Forschungsquelle
- “Wenn A, dann B”-Aussagen bedeuten, dass du beweisen musst, dass wann immer A wahr ist, B ebenfalls war sein muss. [6] X Forschungsquelle
- “A falls und nur falls B” bedeutet, dass du beweisen musst, dass A und B logisch äquivalent sind. Beweise sowohl „wenn A, dann B“ und „wenn B, dann A“.
- “A nur wenn B” ist äquivalent zu “wenn B dann A”.
- Vermeide beim Verfassen des Beweises das „Ich“ und verwende stattdessen wo notwendig ein „Wir“.
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Schreibe alle Voraussetzungen auf. Wenn du einen Beweis verfasst, ist der erste Schritt, alle Voraussetzungen zu ermitteln und aufzuschreiben. Das ist der beste Anfangspunkt, weil es dir hilft durchzudenken, was bekannt ist und welche Informationen du brauchen wirst, um den Beweis abzuschließen. Lies dir die Aufgabenstellung durch und schreibe alle Voraussetzungen auf.
- Zum Beispiel: Beweise, dass zwei Winkel (Winkel A und Winkel B), die ein Nebenwinkelpaar bilden, supplementär sind.
- Voraussetzungen: Winkel A und Winkel B sind ein Nebenwinkelpaar.
- Beweis: Winkel A ist supplementär zu Winkel B
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Definiere alle Variablen. Zusätzlich zu den Voraussetzungen ist es hilfreich, alle Variablen zu definieren. Schreibe die Definitionen an den Anfang des Beweises, um den Leser nicht zu verwirren. Wenn Variablen nicht definiert werden, kann der Leser beim Verstehen deines Beweises durcheinander kommen.
- Setze keine Variablen in deinem Beweis ein, die nicht zuvor definiert wurden.
- Zum Beispiel: Variablen sind das Winkelmaß von Winkel A und das Winkelmaß von Winkel B.
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Arbeite dich rückwärts durch den Beweis. Oft ist es am einfachsten, das Problem umgekehrt durchzudenken. Beginne mit der Schlussfolgerung, was du versuchst zu beweisen, und denke über die Schritte nach, die dich zum Anfang bringen können.
- Verändere die Schritte vom Anfang zum Ende, um zu sehen, ob du sie einander ähnlich aussehen lassen kannst. Verwende die Voraussetzungen, die Definitionen, die du gelernt hast, und die Beweise, die dem ähnlich sind, an dem du gerade arbeitest.
- Stelle dir selber Fragen, während du weiter gehst. "Warum ist das so?" und "Gäbe es eine Möglichkeit, dass das falsch ist?" sind gute Fragen für jede Aussage oder Behauptung.
- Denke daran, für den endgültigen Beweis die Schritte in der richtigen Reihenfolge aufzuschreiben.
- Zum Beispiel: Wenn Winkel A und B supplementär sind, müssen sie zusammen 180° ergeben. Die beiden Winkel bilden vereint die Strecke ABC. Man weiß aufgrund der Definition von Nebenwinkelpaaren, dass sie eine Strecke bilden. Weil eine Strecke 180 °C hat, kann man Substitution einsetzen, um zu beweisen, dass Winkel A und Winkel B zusammen 180° ergeben.
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Ordne die Schritte logisch an. Beginne den Beweis am Anfang und arbeite zur Schlussfolgerung hin. Auch wenn es hilfreich ist, sich den Beweis zu überlegen, indem man bei der Schlussfolgerung anfängt und umgekehrt arbeitet, musst du die Schlussfolgerung beim Verfassen des Beweises am Ende nennen. Er muss von einer Aussage zur nächsten fließen, mit Stützen für jede Aussage, sodass es keinen Anlass für Zweifel über die Gültigkeit des Beweises gibt.
- Beginne damit, die Voraussetzungen zu nennen, mit denen du arbeitest.
- Nimm einfache und offensichtliche Schritte auf, damit der Leser sich nicht wundern muss, wie du von einem Schritt zum nächsten gekommen bist.
- Es kommt häufig vor, dass mehrere Entwürfe für einen Beweis geschrieben werden. Ordne die Schritte weiter um, bis sie in einer Ordnung sind, die so logisch wie möglich ist.
- Zum Beispiel: Beginne am Anfang.
- Winkel A und Winkel B bilden ein Nebenwinkelpaar
- Winkel ABC ist gestreckt.
- Winkel ABC misst 180°.
- Winkel A + Winkel B = Winkel ABC.
- Winkel A + Winkel B = Winkel 180°.
- Winkel A ist supplementär zu Winkel B.
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Meide die Verwendung von Pfeilen und Abkürzungen im geschriebenen Beweis. Wenn du die Vorlage für den Beweis vorbereitest, kannst du Stichworte und Symbole verwenden, beim Verfassen des endgültigen Beweises können Symbole wie Pfeile den Leser aber verwirren. Verwende stattdessen Wörter wie „dann“ und „daher“.
- Ausnahmen bei den Abkürzungen sind unter anderem z.B. (zum Beispiel) und d.h. (das heißt), achte aber darauf, dass du sie richtig verwendest. [7] X Forschungsquelle
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Stütze alle Aussagen mit einem Theorem, einem Gesetz oder einer Definition. Ein Beweis ist nur so gut wie die angewandten Beweise. Du kannst keine Aussage machen, ohne sie durch eine Definition zu stützen. Ziehe andere Beweise zurate, die dem ähnlich sind, an dem du arbeitest, um Beispiele für Belege zu finden.
- Versuche, deine Belege an einem Fall anzuwenden, wo sie scheitern sollten und sieh nach, ob es tatsächlich so ist. Wenn sie nicht scheitern, arbeite erneut an dem Beleg, bis es geschieht.
- Viele geometrische Beweise werden als Beweis in zwei Spalten verfasst, mit der Aussage und den Belegen. Ein formeller mathematischer Beweis wird zur Veröffentlichung als Absatz mit richtiger Grammatik geschrieben.
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Beende den Beweis mit einer Schlussfolgerung oder mit Q.E.D. Die letzte Aussage im Beweis sollte das Konzept sein, dass du versucht hast zu beweisen. Nachdem du diese Aussage getroffen hast, zeigt ein abschließendes Symbol wie Q.E.D. oder ein ausgefülltes Quadrat, dass der Beweis vollständig abgeschlossen wurde.
- Q.E.D. (quod erat demonstrandum, was Latein ist für "was zu zeigen war").
- Wenn du dir nicht sicher bist, ob dein Beweis richtig ist, schreibe einfach ein paar Sätze dazu, was deine Schlussfolgerung ist und wieso sie von Bedeutung ist.
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Tipps
- Deine Informationen sollten alle mit dem endgültigen Beweis in Verbindung stehen oder darauf gerichtet sein. Wenn etwas nichts dazu beiträgt, kannst du es auslassen.
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Referenzen
- ↑ http://www.proofwiki.org/wiki/Main_Page
- ↑ http://www.math.uconn.edu/~hurley/math315/proofgoldberger.pdf
- ↑ https://www.math.washington.edu/~lee/Writing/writing-proofs.pdf
- ↑ http://www.homeschoolmath.net/teaching/two-column-proof.php
- ↑ https://math.berkeley.edu/~hutching/teach/proofs.pdf
- ↑ http://www.math.ucsd.edu/~ebender/proofs.html
- ↑ https://www.math.washington.edu/~lee/Writing/writing-proofs.pdf
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