Pdf downloaden
Pdf downloaden
Bij wiskundeopgaven wordt vaak gevraagd om een antwoord "zo eenvoudig mogelijk" op te schrijven—met andere woorden, om een antwoord zo elegant mogelijk te geven. Hoewel een lange, onbeholpen uitdrukking en een kortere elegantere versie daarvan technisch gezien hetzelfde betekenen, toch wordt een antwoord vaak pas geaccepteerd als deze zo ver mogelijk is vereenvoudigd. Daar komt nog bij dat vereenvoudigde antwoorden ook gemakkelijker zijn om mee te werken. `Dit is de reden waarom het leren vereenvoudigen een essentiële vaardigheid is voor toekomstige wiskundigen.
Stappen
-
De volgorde van bewerkingen. Bij het vereenvoudigen van wiskundige uitdrukkingen kun je niet gewoon van links naar rechts uitwerken. Bepaalde bewerkingen gaan voor andere en moeten dus eerst gedaan worden. Doe je dit niet, dan kan er het verkeerde antwoord uit komen. De volgorde van bewerkingen in de wiskunde is als volgt: Haakjes, Machtsverheffen en Worteltrekken, Vermenigvuldigen en Delen, Optellen en Aftrekken. Een ezelsbruggetje om deze volgorde te onthouden is "Hoe Moeten Wij Van De Onvoldoendes Afkomen " of "HMWVDOA".
- Let op dat, hoewel de basiskennis van de bewerkingen voldoende is om de meest standaarduitdrukkingen op te lossen, er speciale technieken nodig zijn om uitdrukkingen met variabelen, waaronder de meeste polynomen, op te lossen. Kijk bij Methode Twee voor meer informatie.
-
Begin met het oplossen van alle termen die tussen haakjes staan. Binnen de wiskunde betekenen haakjes dat alle termen die ze omsluiten apart van de omringende uitdrukking moet worden opgelost. Ongeacht de bewerkingen moet je ervoor zorgen als eerste alle termen binnen in haakjes op te lossen als je een uitdrukking wilt vereenvoudigen. Houd er hierbij wel rekening mee dat de rekenregels voor de volgorde van bewerkingen ook binnen haakjes van toepassing zijn. Dus ook hierbij eerst haakjes, daarna machtsverheffen, etx.
- Voorbeeld: de volgende uitdrukking 2x + 4(5 + 2) + 3 2
- (3 + 4/2)
. Los hierbij eerst de termen tussen haakjes op, dus 5 + 2 en 3 + 4/2. 5 + 2 = 7
. 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5
.
- De term tussen het tweede paar haakjes wordt 5 omdat we eerst 4/2 moeten uitrekenen en daarna pas de optelling uitwerken. Als we simpelweg van links naar rechts zouden werken dan wordt de som 3 + 4 : 2, waarbij dan eerst 3 + 4 en daarna pas 7 / 2 wordt uitgerekend, met het foutieve antwoord 7/2 als resultaat.
- Let op – als er meerdere haakjes genest zijn (haakjes binnen haakjes), los dan eerst de binnenste op en werk verder naar de buitenste haakjes toe.
- Voorbeeld: de volgende uitdrukking 2x + 4(5 + 2) + 3 2
- (3 + 4/2)
. Los hierbij eerst de termen tussen haakjes op, dus 5 + 2 en 3 + 4/2. 5 + 2 = 7
. 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5
.
-
Los nu de machten op. Na het uitwerken van de haakjes kun je nu verder gaan met machtsverheffen. Los ze één voor één op.
- Nadat het oplossen van de haakjes zag het voorbeeld er zo uit. 2x + 4(7) + 3 2 - 5 . De enige macht in ons voorbeeld is 3 2 , en dit is gelijk aan 9 . De uitdrukking wordt nu 2x + 4(7) + 9 - 5 .
-
Los nu de keersommen op. Onthoud dat een vermenigvuldiging op meerdere manieren kan worden geschreven. Met een punt, zonder punt, of met een × symbool. Maar ook iets als 4(x) ) geeft een vermenigvuldiging aan.
- Er zin twee vermenigvuldigingen in de opgave: 2x (2x is 2 × x) en 4(7). We weten de waarde van x niet, dus laten we deze staan als 2x. 4(7) = 4 × 7 = 28 . We kunnen dit anders schrijven als 2x + 28 + 9 - 5 .
-
Ga verder met de deelsommen. Als je zoekt naar deelsommen, onthoud dan dat ook deze op verschillende manieren geschreven kunnen worden. Het eenvoudige ÷ symbol , met een dubbele punt, of een schuine streep (zoals 3/4 ) geven allemaal een deling aan.
- Omdat we al een deelsom hebben opgelost die tussen haakjes stond, zijn er geen deelsommen meer te vinden in onze opgave, dus kunnen we deze stap overslaan. Dit brengt een belangrijk punt naar voren – als een bewerking niet voorkomt in een uitdrukking, dan ga je verder met de volgende bewerking zoals aangegeven in de rekenregels voor wiskundige bewerkingen.
-
Optellen. Tel nu de verschillende termen bij elkaar op. Werk dit uit van links naar rechts, zoals het in de uitdrukking staat en afhankelijk van wat het handigst is. Bijvoorbeeld, in de som 49 + 29 + 51 +71 is het makkelijker om de opgave in de volgende blokken in te delen: 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100, en 100 + 100 = 200. Dit is eenvoudiger dan 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129, en 129 + 71 = 200.
- Onze uitdrukking is nu gedeeltelijk vereenvoudigd tot "2x + 28 + 9 - 5". Nu tellen we zoveel mogelijk bij elkaar op – van links naar rechts. We kunnen 2x niet optellen bij de andere getallen, omdat we de waarde van x niet kennen, dus deze slaan we over. 28 + 9 = 37 , dus kunnen we de uitdrukking herschrijven als "2x + 37 - 5".
-
Aftrekken. De laatste stap van de bewerkingen is het aftrekken van de overgebleven termen. Werk de rest van je uitdrukking uit, van links naar rechts. Je kunt het optellen van negatieve getallen in deze of inde vorige stap doen – dit maakt niet uit voor je antwoord.
- In onze uitdrukking, "2x + 37 - 5", is er maar één aftreksom, 37 - 5 = 32
-
Bekijk je uitdrukking. Na het doorwerken van de volgorde van de bewerkingen houd je een aantal termen in de meest vereenvoudigde vorm over. Staan er één of meer variabelen in de uitdrukking dan blijven die grotendeels ongewijzigd. Het vereenvoudigen van uitdrukkingen met variabelen vereist dat we deze vergelijkingen verder oplossen voor de onbekenden, of met behulp van speciale methoden (zie bij de volgende stap).
- Ons uiteindelijke antwoord is "2x + 32". We kunnen de optelling niet oplossen zonder de waarde van x te kennen, maar is dat eenmaal het geval, dan is dit een stuk makkelijker op te lossen dan de oorspronkelijke uitdrukking.
Advertentie
-
Tel gelijke variabele machten bij elkaar op. Als je te maken hebt met uitdrukkingen waar variabelen in voorkomen, dan is het belangrijk om te onthouden dat termen met dezelfde variabele en dezelfde exponent (of "gelijke termen") bij elkaar opgeteld kunnen worden (of van elkaar afgetrokken) zoals gewone getallen. De termen moeten niet alleen dezelfde variabele hebben, maar ook dezelfde exponent. Bijvoorbeeld, 7x en 5x kunnen wel bij elkaar worden opgeteld, maar 7x en 5x 2 niet.
- Deze regel kan ook worden uitgebreid naar termen met meerdere variabelen. Bijvoorbeeld, 2xy 2 kan opgeteld worden bij -3xy 2 , maar niet -3x 2 y or -3y 2 .
- Neem de volgende uitdrukkingen: x 2 + 3x + 6 - 8x. In deze uitdrukking kunnen we de termen 3x en -8x bij elkaar optellen omdat ze gelijk aan elkaar zijn. Vereenvoudigd wordt onze uitdrukking dan: x 2 - 5x + 6 .
-
Vereenvoudig breuken door het wegwerken of delen van factoren. Breuken die alleen bestaan uit getallen (en geen variabelen) kunnen op diverse manieren worden vereenvoudigd. Een breuk is gewoon een deelsom en moet ook zo behandeld worden. Daarbij komt dat als er in de teller of de noemer dezelfde vermenigvuldiging voorkomt, deze kan worden weggewerkt, omdat ze gedeeld al antwoord 1 geven. Met andere woorden, als de teller en de noemer beide dezelfde factor hebben, dan kan deze worden verwijderd uit de breuk, waardoor het resultaat is vereenvoudigd.
- Bijvoorbeeld, stel we moeten de breuk 36/60 oplossen. Hebben we een rekenmachine bij de hand, dan is het antwoord (6) zo uitgerekend. Als we dit niet hebben, dan kunnen we een heel eind komen door gelijke factoren weg te werken. Een andere manier om over 36/60 na te denken is als (6 × 6)/(6 × 10). Dit kan weer worden herschreven als 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, dus wordt onze uitdrukking 1 × 6/10 = 6/10. Maar we zijn er nog niet – zowel 6 als 10 hebben dezelfde factor 2. Door de bovenstaande procedure te herhalen, houden we 3/5 over.
-
Heb je te maken met breuken waar variabelen in voorkomen, probeer dan de variabelen weg te werken. Deze uitdrukkingen bieden unieke mogelijkheden om te vereenvoudigen. Evenals de gewone breuken, bieden breuken met variabelen je de mogelijkheid om factoren te verwijderen die zowel in de teller als in de noemer voorkomen. Maar in het laatste geval kunnen deze factoren zowel getallen zijn als variabelen.
- Stel we hebben de uitdrukking (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x).Deze breuk kan worden herschreven als (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x), 3x komt zowel in de teller als in de noemer voor. Het verwijderen van deze factoren uit de vergelijking geeft (x + 1)/(5 - x) . Evenzo is dit het geval bij de vergelijking (2x 2 + 4x + 6)/2. Omdat elke term deelbaar is door 2, kunnen we deze herschrijven als (2(x 2 + 2x + 3))/2 en dus vereenvoudigen tot x 2 + 2x + 3 .
- Let wel, je kunt niet elke term wegwerken – alleen die factoren die zowel in de teller als in de noemer staan. Bijvoorbeeld de uitdrukking (x(x + 2))/x, waarbij de "x" weggestreept kan worden uit de breuk, waardoor je (x + 2)/1 = (x + 2) overhoudt. Maar (x + 2)/x is niet te vereenvoudigen tot 2/1 = 2.
-
Vermenigvuldig de termen die tussen haakjes staan met hun constanten. Als je te maken hebt met variabele termen tussen haakjes plus een constante, kan het voorkomen dat het vermenigvuldigen van elke term binnen de haakjes met de constante die buiten de haakjes staat als resultaat een eenvoudiger uitdrukking vormt. Dit geldt voor zowel numerieke constanten en voor constanten met variabelen.
- Bijvoorbeeld, de uitdrukking 3(x 2 + 8 kan vereenvoudigd worden tot 3x 2 + 24 , terwijl 3x(x 2 + 8) vereenvoudigd kan worden tot 3x 3 + 24x .
- Merk op dat in sommige gevallen, zoals bij variabele breuken, de constante die buiten haakjes staat gebruikt kan worden bij de vereenvoudiging en dus niet vermenigvuldigd moet worden. In de breuk (3(x 2 + 8))/3x, bijvoorbeeld, komt de factor 3 zowel voor in de teller als de noemer, dus kunnen we deze wegwerken en de uitdrukking vereenvoudigen tot (x 2 + 8)/x. Dit is eenvoudiger en gemakkelijker om mee te werken dan met (3x 3 + 24x)/3x, wat het antwoord zou zijn geweest als we hadden vermenigvuldigd.
-
Vereenvoudigen door ontbinden in factoren. Dit is een techniek waarmee sommige vergelijkingen kunnen worden vereenvoudigd. Denk bij het ontbinden in factoren als iets dat het tegenovergestelde is van "vermenigvuldigen van haakjes" – soms kan een vergelijking eenvoudiger worden weergegeven als twee termen die met elkaar worden vermenigvuldigd, dan als één vergelijking. Dit is vooral waar als je hiermee een gedeelte van de vergelijking kunt wegwerken. In bepaalde gevallen (zoals bij tweedegraadsvergelijkingen) kun je met ontbinden in factoren ook de vergelijking zelf oplossen.
- Neem de uitdrukking x 2 - 5x + 6 nog eens onder de loep. Deze kan ontbonden worden in (x - 3)(x - 2). Dus als x 2 - 5x + 6 de teller is van een vergelijking met één van deze factoren in de noemer (zoals bij (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2))), dan kunnen we deze ontbinden in factoren zodat we de noemer kunnen wegwerken. Met andere woorden, bij (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), valt (x - 2) weg, waardoor we (x - 3)/2 overhouden.
- Zoals hierboven al werd aangegeven kun je met ontbinden in factoren ook een vergelijking oplossen, zeker als deze gelijk aan nul wordt gesteld. Bijvoorbeeld: neem de vergelijking x 2 - 5x + 6 = 0. Ontbinden in factoren geeft ons (x - 3)(x - 2) = 0. Omdat een getal maal nul gelijk is aan nul, kunnen we beide termen gelijk stellen aan nul, om daarmee het antwoord te vinden van deze opgave. Dus het antwoord op de vergelijking is x= 3 en x= 2 .
Advertentie
Over dit artikel
Deze pagina is 10.345 keer bekeken.
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
