تنزيل المقال
تنزيل المقال
يُطلب من طلاب الرياضيات في أحيانٍ كثيرة أن يكتبوا النتيجة في "أبسط صورة"؛ وهو ما يعني كتابتها بأكثر صورة سلسة ممكنة. على الرغم من أن من الممكن أن تتساوى قيمة عبارتين إحداهما طويلة وغير منظمة وأخرى قصيرة ومرتبة، إلا أن مسائل الرياضيات في الغالب تُعتَبَر غير "مكتملة" حتى يُبسَّط الناتج لأبسط صورة، كما أن الإجابات المبسطة هي على الأغلب أبسط العبارات التي يمكن التعامل معها حسابيًا. هذه الأسباب هي ما تجعل من تعلُّم تبسيط العبارات الرياضية مهارة أساسية لأي دارس رياضيات طموح.
الخطوات
-
اعرف ترتيب العمليات. لا يمكنك التوجه ببساطة أثناء الحل من اليمين إلى اليسار وفقًا للترتيب الكتابي للمسألة، فتضرب وتجمع وتطرح ونحو ذلك مما تقابله من عمليات لأن بعض العمليات الحسابية لها أسبقية على غيرها ولابد من حلها أولًا، بل إن حل العمليات بترتيب غير هذا ينتج عنه حلولًا خاطئة، لا مجرد حلول غير مبسطة فحسب. ترتيب العمليات هو: الحدود التي بين الأقواس، ثم الأسس، ثم الضرب والقسمة، ثم أخيرًا الجمع والطرح.
- لاحظ أنه على الرغم من كفاية المعرفة الأساسية بترتيب العمليات الحسابية لجعل تبسيط معظم العبارات البسيطة ممكنًا، لكن عند تبسيط عبارات مليئة بالمتغيرات – مثل كل كثيرات الحدود تقريبًا – تتبين الحاجة إلى طرق متخصصة. انظر الجزء الثاني من المقال لمعرفة المزيد.
-
ابدأ بحل كل ما هو بين الأقواس من حدود. تدل الأقواس في الرياضيات على أن الأجزاء التي داخلها يجب أن تُحسَب بصورة منفصلة عن باقي حدود المسألة. تأكد عند محاولة تبسيط مسألة أن تبدأ بحساب ما بين الأقواس أيًا كان نوع العمليات التي بداخلها. مع ذلك انتبه إلى اتباع ترتيب العمليات المذكور سابقًا حتى بداخل كل قوسين، حيث يجب أن تضرب قبل أن تجمع أو تطرح... وهكذا.
- مثال: فلنحاول تبسيط العبارة 2س + 4(5 + 2) + 3 2
- (3 + 4/2)
. سنبدأ في هذه العبارة بحل ما بين الأقواس 5 + 2 و3 + 4/2. وهكذا: 5 + 2 = 7
، 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5
.
- يُبسط الحد الثاني مما بين الأقواس إلى 5 لأن ترتيب العمليات يقتضي أن نقسم 4/2 كخطوة أولى عند حل ما بين هذين القوسين. أما لو خالفنا هذا الترتيب وحللنا ببساطة وفقًا لترتيب الكتابة، فجمعنا 3 مع 4 أولًا ثم قسمنا الناتج على 2، سنحصل على 7/2 وهي نتيجة غير صحيحة.
- ملحوظة: إذا وجدت الكثير من الأقواس المتداخلة (قوسين داخلهما قوسين داخلهما قوسين...)، ابدأ بحل الأقواس الأكثر داخلية أولًا ثم الثاني فالثالث... وهكذا.
- مثال: فلنحاول تبسيط العبارة 2س + 4(5 + 2) + 3 2
- (3 + 4/2)
. سنبدأ في هذه العبارة بحل ما بين الأقواس 5 + 2 و3 + 4/2. وهكذا: 5 + 2 = 7
، 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5
.
-
احسب الأسس. التالي بعد حل الأقواس هو إيجاد أسس الأرقام المرفوعة إلى قوى. من السهل تذكر هذا لأن الأساس والأسس يكونان بارزين بظهورهما معًا في المسألة. أوجد ناتج كل مسألة رفع إلى أس ثم عوض بالناتج الذي توجده في مكانه في المعادلة حيث كانت الأرقام الأصلية.
- أصبحت شكل العبارة الرياضية السابقة بعد حل ما بها من أقواس على الشكل 2س + 4(7) + 3 2 - 5 . كما تلاحظ، لا يوجد هنا سوى عدد واحد مرفوع لأس وهو 3 2 والتي تساوي 9 ، نعوض بهذه النتيجة مكان العدد 3 2 لنوجد النتيجة 2س + 4(7) + 9 - 5 .
-
حل مسائل الضرب في العبارة. احسب الآن أي مسائل ضرب في العبارة. تذكر أن الضرب يمكن أن يكتب بصور مختلفة، مثل العلامة × أو نقطة أو نجمة، وكذلك عندما يتصل عدد بقوسين أو بمتغير (مثل 4(س) ) فهذا يعني أن بينهما عملية ضرب.
- توجد حالتي ضرب في مسألتنا، 2س (2س هي 2 × س) و4(7). سندع 2س وشأنها لأننا لا نعرف قيمة س كي نضربها في 2، أما 4(7) = 4 × 7 = 28 . إذا أعدنا كتابة المسألة بعد هذه الخطوة تصبح 2س + 28 + 9 - 5 .
-
انتقل إلى القسمة . تذكر أثناء بحثك عن عمليات قسمة في المسألة أنها - مثل الضرب - يمكن أن تكتب بطرق مختلفة، من بينها ببساطة الرمز المعروف ÷، لكن تذكر أيضًا أن الخطوط المائلة أو الأفقية في الكسور (مثل 3/4 ) تدل على القسمة.
- بما أننا حللنا مسألة القسمة (4/2) عندما أجرينا العمليات التي بين الأقواس، بالتالي لم يتبق في مثالنا مسائل قسمة أخرى ولهذا سنتخطى هذا الجزء، مما يجعلنا نذكر نقطة هامة للغاية: لست ملزمًا بإجراء كل العمليات حسابية التي ذكرناهم في أول الخطوات وأنت بصدد تبسيط مسألة ما، بل العمليات الموجودة في المسألة فقط.
-
اجمع. احسب الآن أي مسألة جمع في العبارة. يمكنك إجراء مسائل الجمع بالترتيب من اليمين إلى اليسار، لكنك قد تجد من الأسهل أن تبدأ بجمع الأعداد التي يسهُل إضافتها مع بعضها. على سبيل المثال: في العبارة 49 + 29 + 51 +71، من الأسهل جمع 49 + 51 = 100، و29 + 71 = 100، و100 + 100 = 200، بدلًا من الجمع بالترتيب كالتالي 49 + 29 = 78، و78 + 51 = 129، و 129 + 71 = 200.
- قمنا بتبسيط العبارة السابقة جزئيًا حتى أصبحت "2س+ 28 + 9 - 5". يجب علينا الآن أن نجمع ما يمكننا جمعه؛ فلننظر لكل مسائل الجمع من أول المسألة إلى آخرها. لا يمكننا جمع 2س مع 28 لأننا لا نعرف قيمة س، لذا سنتجاوز هذا الجزء. 28 + 9 = 37 . نكتب إذًا العبارة بصورتها الجديدة "2س + 37 - 5".
-
اطرح . وصلنا للخطوة الأخيرة في ترتيب العمليات الحسابية (أقواس-أسس-ضرب-قسمة-جمع-طرح)، مر على العمليات التي في المسألة لتحل ما يقابلك من طرح خلالها. يمكنك التعامل مع الأعداد السالبة في هذه الخطوة كما لو كنت تجمعها أو في خطوة مسائل الجمع العادية، ولن يغير هذا من الناتج شيئًا.
- في العبارة "2س + 37 - 5" توجد مسألة طرح واحدة فقط وهي 37 - 5 = 32 .
-
راجع العبارة. يجب أن تجدها الآن في أبسط صورة طالما أنك أجريت عليها العمليات بالترتيب، لكن لو كانت العبارة تحتوي على متغير واحد أو أكثر، اعرف أن هذه الحدود المتغيرة ستظل إلى حد كبير كما هي. يتطلب تبسيط العبارات المتغيرة أن نوجد قيمة كل متغير أولًا أو أن نستعمل معها طرقًا خاصة غير الطرق المذكورة حتى الآن لتبسيط العبارات (انظر الجزء الثاني من المقال).
- الناتج النهائي هو "2س + 32". لا يمكننا حل مسألة الجمع الأخيرة هذه قبل أن نعرف قيمة س، لكن عندما نعرفها ستكون هذه العبارة سهلة الحل للغاية مقارنةً بالعبارة الطويلة التي بدأنا بها.
-
اجمع حدود المتغيرات المتماثلة. عند التعامل مع تعبيرات تحتوي على متغيرات، من المهم أن تتذكر أن الحدود المكونة من نفس المتغير والأس (الحدود المتماثلة) يمكن جمعها وطرحها مثل الأعداد العادية. يجب ألّا تتكون الحدود المتماثلة من الحروف (المتغيرات) نفسها فحسب، بل لابد أن يكون لهذه المتغيرات نفس الأسس. مثال: يمكن جمع 7س و5س، لكن لا يمكن جمع 7س مع 5س 2 .
- تمتد هذه القاعدة على لتشتمل أيضًا على الحدود متعددة المتغيرات، مثال: يمكن جمع 2س.ص 2 مع -3س.ص 2 ، لكن لا يمكن جمعها مع -3س 2 أو -3ص 2 .
- لننظر للعبارة س 2 + 3س + 6 - 8س، يمكننا جمع الحدين 3س و-8س في هذه العبارة لأنهما متماثلين. تصبح العبارة بعد التبسيط بجمع المتغيرات المتماثلة س 2 - 5س + 6 .
-
بسط الكسور العددية من خلال القسمة أو بطريقة "حذف" العوامل المشتركة . يمكن تبسيط الكسور المكونة من أعداد فقط (لا تحتوي على متغيرات) في كل من البسط والمقام بأكثر من طريقة. الطريقة الأولى - والأسهل على الأرجح - هي التعامل مع البسط والمقام كمسألة قسمة ومن ثم قسمة البسط على المقام. كما يمكن حذف أي عوامل متكررة في كل من البسط والمقام وهذا لكون حاصل قسمتهم (قسمة أي عدد على نفسه) تساوي 1. باختصار: أي عامل مشترك بين البسط والمقام يمكن حذفه من الكسر لجعل الكسر في صورة أبسط.
- مثال: لننظر للكسر 36/60. إذا قسمنا هذين العددين باستخدام آلة حاسبة، سنحصل على 0.6 . لكن من الممكن كذلك تبسيط هذا الكسر من غير آلة حاسبة باستخدام طريقة إيجاد العوامل المشتركة وحذفها، فيمكننا تحويل الكسر 36/60 إلى (6 × 6)/(6 × 10). يمكن كتابة هذا على صورة أخرى وهي 6/10. 6/6 = 1، ما يعني أن هذا الكسر هو نفسه 1 × 6/10 = 6/10. لكننا لم ننتهِ بعد، لأن 6 و10 بينهما عامل مشترك وهو 2، وعند حذفه باتباع الطريقة السابقة يتبقى لنا 3/5 .
-
احذف المتغيرات المشتركة في كسور المتغيرات. تقدم عبارات المتغيرات الكسرية فرصة فريدة للتبسيط، لأنها تتيح حذف العوامل المشتركة بين البسط والمقام تمامًا كالكسور العادية. كما يمكن في حالات كسور المتغيرات أن تجد عوامل مشتركة من النوعين: عوامل عددية و عبارات متغيرة.
- لننظر للعبارة (3س 2 + 3س)/(-3س 2 + 15س). يمكن كتابة هذا الكسر على صورة أخرى وهي (س + 1)(3س)/(3س)(5 - س)، 3س متكررة في البسط والمقام، وعند حذفها من المسألة يتبقى الكسر (س + 1)/(5 - س) . كذلك في العبارة (2س 2 + 4س + 6)/2، بما أن كل الحدود تقبل القسمة على 2، يمكننا إعادة كتابة العبارة على الصورة (2(س 2 + 2س + 3))/2 وبالتالي تبسيطها إلى س 2 + 2س + 3 .
- لاحظ أن من غير الممكن حذف أي حد عشوائي ببساطة، بل عوامل القسمة المشتركة الظاهرة فحسب في كل من البسط والمقام. مثال: في العبارة (س(س + 2))/س، تُحذَف "س" من البسط والمقام ويتبقى (س + 2)/1 = (س + 2). لكن (س + 2)/س لا يمكن حذفها، وتكون العبارة المتبقية إذا حذفناها 2/1 = 2 غير صحيحة .
-
اضرب الحدود التي بين الأقواس في الثوابت العددية المجاورة لها. ينتج أحيانًا عن ضرب كل حد بين الأقواس في الثابت المجاور له عبارةً أبسط عندما تكون الحدود بداخل الأقواس متغيرات. يعتبر هذا صحيحًا سواءً مع الثوابت المكونة من أعداد فقط وكذلك الثوابت العددية التي يصاحبها متغيرات.
- مثال: يمكن تبسيط العبارة 3(س 2 + 8) إلى 3س 2 + 24 ، كما تُبسَّط 3س(س 2 + 8) إلى 3س 3 + 24س .
- لاحظ أن في بعض كسور المتغيرات تمثل الثوابت المجاورة للأقواس فرصة للحذف وبالتالي يجب ألّا توزع بالضرب على الحدود التي بين الأقواس. في الكسر (3(س 2 + 8))/3س مثلًا، العامل 3 مكرر في البسط والمقام، بالتالي يمكن حذفه وتبسيط العبارة إلى (س 2 + 8)/س. هذا الناتج أبسط وحله أسهل من (3س 3 + 24س)/3س وهي النتيجة التي كنا سنحصل عليها لو أننا وزعنا ما خارج الأقواس على ما بداخلها باستخدام الضرب.
-
بسط عن طريق التحليل إلى عوامل . التحليل إلى عوامل هي طريقة لتبسيط بعض عبارات المتغيرات بما فيها كثيرات الحدود. فكر في التحليل إلى عوامل باعتباره عكس "التوزيع على ما بين الأقواس بالضرب" الذي في الخطوة السابقة؛ يمكن أحيانًا حساب عبارة بطريقة أبسط إذا عوملت على أنها حدين مضروبين، بدلًا من عبارة موحدة. يعتبر هذا صحيحًا بالأخص إذا أتاح تحليل عدد إلى عوامل حذف جزء من العبارة (كما نفعل مع الكسور). كذلك في بعض الحالات الخاصة (على الأغلب حالات المعادلات التربيعية) يتيح التحليل إلى عوامل إيجاد نواتج المعادلة.
- لننظر للعبارة س 2 - 5س + 6 مرة أخرى. يمكن تحليل هذه العبارة إلى (س - 3)(س - 2). بالتالي: إذا كانت س 2 - 5س + 6 بسط عبارة كسرية مقامها هو أحد هذه الحدود التي تمثل عوامل، مثلما نرى في العبارة (س 2 - 5س + 6)/(2(س - 2))، ربما يفضل أن نكتبها في صورة محللة إلى عوامل كي نتمكن من حذف أحد العوامل مع المقام. بمعنى: في (س - 3)(س - 2)/(2(س - 2))، يُحذَف الحد (س - 2) من طرفي الكسر ويتبقى (س - 3)/2 .
- كما ذكرنا أعلاه: من الأسباب الأخرى لتحليل عبارة إلى عوامل هي في حال محاولة التوصل لإجابة معادلة ما، خصوصًا عندما تكون هذه المعادلة مكتوبة كعبارة مساوية لـ 0. مثال: لننظر للعبارة س 2 - 5س + 6 = 0. ينتج عن التحليل إلى عوامل (س - 3)(س - 2) = 0. بما أن أي عدد مضروب في الصفر يساوي صفر، نستنتج أن جعل أي من هذين الحدين مساوٍ لصفر يجعل قيمة هذا الطرف من المعادلة بأكمله صفرًا. بالتالي: 3 و 2 هما ناتجين للمعادلة.
المزيد حول هذا المقال
تم عرض هذه الصفحة ١٩٬٦٣٦ مرة.
