Baixe em PDF
Baixe em PDF
As operações inversas são geralmente usadas na álgebra para simplificar operações que, de outro modo, seriam mais difíceis. Por exemplo, se um problema pede a você que divida por uma fração, é mais fácil multiplicar pela recíproca. Esse caso se trata de uma operação inversa. De modo semelhante, como não há operador de divisão para matrizes, é preciso fazer uma multiplicação pela matriz inversa. Calcular a inversa de uma matriz 3x3 à mão é um trabalho bastante tedioso, mas que vale a pena revisar. Você também pode encontrar a matriz inversa com uma calculadora gráfica avançada.
Passos
-
Calcule a determinante da matriz. Como passo inicial, você deve calcular a determinante da matriz. Se ela for igual a 0, o seu trabalho está terminado, já que a matriz não tem uma inversa. A determinante da matriz M pode ser representada simbolicamente como Det(M). [1] X Fonte de pesquisa
- Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, você deve antes calcular a determinante.
- Para relembrar o cálculo da determinante, leia " Como achar a determinante de uma matriz 3x3 ".
-
Transponha a matriz original. Transpor uma matriz consiste em refleti-la sobre a diagonal principal ou, de modo equivalente, trocar os elementos (i,j) por (j,i). Ao transpor os termos da matriz, você verá que a diagonal principal (do canto esquerdo superior ao direito inferior) não muda. [2] X Fonte de pesquisa
- Outra forma de pensar na transposição é reescrever a primeira linha no lugar da primeira coluna, a segunda linha no lugar da coluna do meio e a terceira linha no lugar da última coluna. Observe os elementos coloridos no diagrama acima e veja onde os números mudaram de posição.
-
Calcule a determinante de cada uma das matrizes 2x2 menores. Cada item da nova matriz 3x3 transposta está associada com uma matriz 2x2 "menor". Para calcular a matriz menor respectiva a cada termo, destaque a linha e a coluna do termo inicial. Ele deverá incluir cinco valores da matriz. Os quatro valores restantes, por sua vez, comporão a matriz menor. [3] X Fonte de pesquisa
- No exemplo acima, se você quer a matriz menor do termo na segunda linha da primeira coluna, destaque os cinco valores presentes na segunda linha e na primeira coluna. Os quatro termos restantes comporão a matriz menor.
- Calcule a determinante de cada matriz menor fazendo uma multiplicação cruzada entre as diagonais e subtraindo como mostrado acima.
-
Crie a matriz de co-fatores. Coloque os resultados do passo anterior em uma nova matriz de co-fatores, alinhando cada matriz menor com a posição correspondente na matriz original. Dessa forma, a determinante calculada a partir do item (1,1) da matriz original estará na posição (1,1). A seguir, você deve reverter o sinal de termos alternados nessa nova matriz, seguidos pelo padrão de "tabuleiro" exibido acima. [4] X Fonte de pesquisa
- Ao definir os sinais, o primeiro elemento da primeira linha manterá seu sinal original. O segundo elemento, por sua vez, estará invertido, enquanto o terceiro permanecerá com o sinal original. Continue, dessa mesma forma, por toda a matriz. Observe que os sinais (+) ou (-) no diagrama não sugerem que o termo final deva ser positivo ou negativo. Eles são indicadores de que é necessário manter (+) ou inverter (-) o sinal que o número tinha, no início.
- O resultado final desse passo recebe o nome de matriz adjunta da original. Ela é expressa como Adj(M).
-
Divida cada termo da matriz adjunta pela determinante. Pegue o valor da determinante de M calculada no primeiro passo (para comprovar que a inversa era possível) e, agora, divida cada um dos termos da matriz por esse valor. Coloque o resultado de cada cálculo no espaço do termo original. O resultado equivalerá à inversa da matriz original. [5] X Fonte de pesquisa
- Para a matriz do exemplo exibida no diagrama, a determinante será igual a 1. Logo, dividir cada termo da matriz adjunta resultará nela mesma (você nem sempre terá essa sorte).
- Em vez de dividir, algumas fontes representam esse passo com a multiplicação de cada termo de M por 1/Det(M). Matematicamente, ambos são equivalentes.
Publicidade
-
Junte a matriz identidade à original. Escreva a matriz original M, faça uma linha vertical à direita dela e, a seguir, escreva a matriz identidade à direita da linha. Você terá agora o que parece ser uma matriz com três linhas e seis colunas. [6] X Fonte de pesquisa
- Lembre-se de que a matriz identidade é um tipo especial contendo valores 1 em cada um dos espaços na diagonal principal, do canto esquerdo superior ao direito inferior, e valores 0 em todos os outros.
-
Faça as operações de redução linear. O objetivo é criar a matriz identidade ao lado direito dessa matriz estendida. Enquanto faz a redução linear no lado esquerdo, é necessário fazer as mesmas operações no lado direito, que começaram como matriz identidade. [7] X Fonte de pesquisa
- Lembre-se de que as reduções lineares são feitas como uma combinação entre multiplicação escalar e operações lineares de adição ou subtração, para isolar termos individuais da matriz.
-
Continue até ter formado a matriz identidade. Continue a fazer reduções lineares até que o lado esquerdo da matriz estendida esteja exibindo a matriz identidade (diagonal com valores 1, e valores 0 nos espaços restantes). Ao ter chegado nesse ponto, o lado direito do divisor vertical será igual à inversa da matriz original. [8] X Fonte de pesquisa
-
Escreva a matriz inversa. Copie os elementos que agora aparecem no lado direito do divisor vertical como a matriz inversa. [9] X Fonte de pesquisaPublicidade
-
Escolha uma calculadora capaz de calcular matrizes. Calculadoras simples, de quatro operações, não são capazes de ajudá-lo diretamente a calcular a matriz inversa. No entanto, devido à forma repetitiva com que os cálculos são feitos, uma calculadora gráfica avançada, como a Texas Instruments TI-83 ou TI-86, pode facilitar muito o seu trabalho. [10] X Fonte de pesquisa
-
Insira a matriz na calculadora. Primeiramente, insira a função da matriz na calculadora pressionando a tecla Matrix , se presente. Nas calculadoras da Texas Instruments, pode ser necessário pressionar 2 nd Matrix .
-
Vá até o submenu Edit . Para encontrá-lo, dependendo do modelo, pode ser necessário usar as setas ou escolher a tecla de função adequada no topo do teclado numérico da calculadora. [11] X Fonte de pesquisa
-
Determine um nome para a matriz. A maioria das calculadoras está equipada para trabalhar com uma quantidade de três a dez matrizes, rotuladas com as letras A até J. Normalmente, basta escolher [A] para começar o trabalho. Pressione a tecla Enter depois de fazer a seleção. [12] X Fonte de pesquisa
-
Estabeleça as dimensões da matriz. Nos exemplos, trabalhamos com matrizes 3x3, mas a calculadora pode lidar com tamanhos maiores. Insira a quantidade de linhas desejadas, pressione Enter , e insira a quantidade de colunas, voltando a pressionar Enter . [13] X Fonte de pesquisa
-
Insira cada um dos elementos da matriz. A tela da calculadora estará exibindo uma matriz. Caso você já estivesse fazendo alterações na função apropriada, a matriz definida será exibida na tela. O cursor, por sua vez, desatacará o primeiro de seus elementos. Digite o valor da matriz que você deseja encontrar e pressione Enter . O cursor se moverá automaticamente para o próximo elemento da matriz, sobrescrevendo outros valores prévios. [14] X Fonte de pesquisa
- Se desejar inserir um número negativo, você pode usar o botão (-) em sua calculadora em vez de fazer a subtração. A função da matriz, de outro modo, não lerá o número adequadamente.
- Caso necessário, você pode usar as setas da calculadora para se mover pela matriz.
-
Saia da função de matrizes. Depois de ter inserido todos os valores necessários, pressione a tecla Quit ( ou 2 nd Quit , se necessário). Isso sairá da função de matrizes e voltará à tela principal de sua calculadora. [15] X Fonte de pesquisa
-
Use a tecla inversa para encontrar a matriz inversa. Primeiramente, volte a abrir a função e use o botão Names para escolher o rótulo usado na denominação de sua matriz (possivelmente [A]). A seguir, pressione a tecla inversa da calculadora, . Para isso, pode ser necessário usar o botão 2 nd , dependendo do modelo. Nesse caso, a tela exibirá . Pressione Enter e a matriz inversa aparecerá em sua tela. [16] X Fonte de pesquisa
- Não use o botão ^ da calculadora para tentar escrever A^-1 de forma separada. A máquina não entenderá essa operação.
- Caso receba alguma mensagem de erro ao pressionar o botão de matriz inversa, é possível que a matriz original não tenha uma inversa. Você pode retornar e calcular a determinante para confirmar essa suspeita.
-
Converta a matriz inversa em respostas exatas. A primeira operação que a calculadora dá está em formato decimal, não sendo considerado "preciso" na maioria dos casos. Você deve converter as respostas decimais à forma fracional, conforme a necessidade (se você tiver com sorte, os resultados serão inteiros, mas é algo raro). [17] X Fonte de pesquisa
- A calculadora provavelmente tem uma função que converte automaticamente os decimais em frações. Por exemplo, ao usar uma TI-86, entre na função Math , selecione Misc e Frac , pressionando Enter a seguir. Os decimais automaticamente aparecerão em forma de frações.
Publicidade
Dicas
- Você pode seguir os passos acima para calcular a inversa de uma matriz que contém não somente números, mas variáveis, incógnitas ou até mesmo expressões algébricas.
- Escreva todos os passos, pois é muito difícil calcular a inversa de uma matriz 3x3 de cabeça.
- Há programas de computador que calculam as inversas de matrizes por você, chegando a trabalhar com tamanhos de 30x30 ou maiores.
- Confira a precisão de seu resultado, independentemente do método escolhido, multiplicando M por M -1 . Desse modo, você poderá confirmar que M*M -1 = M -1 *M = I. I representa a matriz identidade, que consiste em valores 1 em toda a diagonal principal e valores 0 nos outros espaços. Se esse não for o caso, é possível que você tenha errado em algum lugar.
Publicidade
Avisos
- Nem todas as matrizes 3x3 têm inversas. Se a determinante da matriz for igual a 0, isso indica que ela não possui uma inversa (observe que, na fórmula, fizemos uma divisão por Det(M) — uma divisão por zero é considerada indefinida).
Publicidade
Referências
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-inverse-minors-cofactors-adjugate.html
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/sigma-matrices11-2009-1.pdf
- ↑ http://www.mathwords.com/c/cofactor_matrix.htm
- ↑ http://www.mathwords.com/c/cofactor_matrix.htm
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/MatrixInverse.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
Publicidade
Inscreva-se na Newsletter Gratuita do wikiHow!
Receba tutoriais úteis em seu email semanalmente!
Inscreva-me!
