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Aprender cómo simplificar expresiones algebraicas es una parte esencial para dominar los fundamentos del álgebra y una herramienta muy valiosa para todos los matemáticos. La simplificación le permite a un matemático cambiar una expresión larga y compleja en una que sea equivalente pero más simple o más conveniente. Las habilidades de simplificación básicas son fáciles de aprender, incluso para alguien que odie las matemáticas. Siguiendo algunos pasos, es posible simplificar muchos de los tipos más comunes de expresiones algebraicas sin ningún tipo de conocimiento matemático especial. Lee el paso 1 para empezar.
Pasos
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Entiende los conceptos importantes
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Define los " términos semejantes " por sus variables y sus potencias. En álgebra, los "términos semejantes" tienen la misma configuración que las variables, elevados a las mismas potencias. En otras palabras, para que dos términos sean "semejantes", deben tener la misma variable o variables (o ninguna) y cada variable debe elevarse a la misma potencia (o no elevarse a ninguna). El orden de las variables en el término no importa.
- Por ejemplo, 3x 2 and 4x 2 son términos semejantes, pues cada uno contiene la variable x elevada a la segunda potencia. Sin embargo, x y x 2 no son términos semejantes, pues cada término tiene una x elevada a una potencia diferente. De manera similar, -3yx y 5xz no son términos semejantes, pues cada término tiene un juego diferente de variables.
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Factoriza escribiendo números como el producto de dos factores . Factorizar es el concepto de representar un número dado como el producto de dos factores multiplicados entre sí. Los números pueden tener más de un juego de factores (por ejemplo, el número 12 puede formarse por 1 × 12, 2 × 6, and 3 × 4, por tanto, podemos decir que 1, 2, 3, 4, 6 y 12 son todos factores de 12. Otra manera de analizarlo es que los factores de un número son los números por los que es divisible.
- Por ejemplo, si quieres factorizar 20, tienes que escribirlo como 4 × 5 .
- Nota que los términos variables también pueden factorizarse. Por ejemplo, 20x puede escribirse 4(5x) .
- Los números primos no pueden factorizarse, pues solo pueden dividirse entre ellos mismos y 1.
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Usa el acrónimo PEMDAS para recordar el orden de las operaciones. Algunas veces, simplificar una expresión solo significa realizar las operaciones en la expresión hasta que no se pueda hacer nada más. En estos casos, es importante recordar el orden de las operaciones para que no cometas errores aritméticos. El acrónimo PEMDAS puede ayudarte a recordar el orden de las operaciones. Las letras corresponden a los tipos de operaciones que debes realizar, en orden. Si hay una multiplicación y una división en el mismo problema, deberás completar estas operaciones de izquierda a derecha cuando llegues a dicho punto. Tendrás que hacer lo mismo con la suma y la resta. La imagen de arriba brinda la respuesta incorrecta. El último paso no ha realizado la suma y la resta de izquierda a derecha. Se ha resuelto la suma primero. Este debe mostrar 25 - 20 = 5 y luego 5 + 6 = 11.
- P aréntesis
- E xponentes
- M ultiplicación
- D ivisión
- A dición (Suma)
- S ustracción (Resta)
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Escribe la ecuación. Las ecuaciones algebraicas más simples, aquellas que involucran algunos términos variables con coeficientes de números enteros y no fracciones, radicales, etc., frecuentemente pueden resolverse en solo unos cuantos pasos. Como con la mayoría de los problemas, el primer paso para simplificar la ecuación es escribirla.
- Como un problema de ejemplo, para los siguientes pasos, considera la expresión 1 + 2x - 3 + 4x .
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Identifica los términos semejantes. Después, busca los términos semejantes de tu ecuación. Recuerda que los términos semejantes tienen las mismas variables y exponentes.
- Por ejemplo, identifica los términos semejantes en la ecuación 1 + 2x - 3 + 4x. 2x y 4x tienen la misma variable elevada al mismo exponente (en este caso, las x no están elevadas a ningún exponente). Además, 1 y -3 son términos semejantes, pues ninguno tiene variables. Por tanto, en la ecuación, 2x y 4x y 1 y -3 son términos semejantes.
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Combina los términos exponentes. Ahora que has identificado los términos semejantes, puedes combinarlos para simplificar la ecuación. Suma los términos (o réstalos, en el caso de los términos negativos) para reducir a un término cada serie de términos con las mismas variables y exponentes.
- Añade los términos semejantes en el ejemplo.
- 2x + 4x = 6x
- 1 + -3 = -2
- Añade los términos semejantes en el ejemplo.
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Crea una expresión simplificada de los términos simplificados. Después de combinar los términos semejantes, construye una expresión de la serie de términos nueva y más pequeña. Debes obtener una expresión más simple que tenga un término para cada serie de variables y exponentes de la expresión original. Esta nueva expresión es igual a la primera.
- En el ejemplo, los términos simplificados son 6x y -2; por tanto, la nueva expresión es 6x - 2 . Esta expresión simplificada es igual a la original (1 + 2x - 3 + 4x), pero es más corta y más fácil de manejar. También es más fácil de factorizar, lo cual, como verás a continuación, es otra técnica importante para simplificar.
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Obedece el orden de la operación al combinar los términos semejantes. En expresiones muy simples como las de los problemas anteriores, identificar los términos semejantes es sencillo. Sin embargo, en expresiones más complejas, como las que involucran términos en paréntesis, fracciones y radicales, los términos semejantes que pueden combinarse quizás no sean tan obvios. En estos casos, sigue el orden de las operaciones, realizando las operaciones necesarias de los términos en la expresión hasta que queden solo operaciones de suma y resta.
- Por ejemplo, considera la ecuación 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Sería incorrecto identificar inmediatamente 3x y 2x como los términos semejantes y combinarlos, pues los paréntesis en la expresión indican que se deben hacer otras operaciones antes. Primero, debes realizar las operaciones aritméticas en la expresión según el orden de las operaciones para obtener los términos que puedas
usar. Mira lo que sigue:
- 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Ahora , ya que las únicas operaciones que quedan son la suma y la resta, puedes combinar los términos semejantes.
- x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
- x 2 + 12x + 3
Anuncio - Por ejemplo, considera la ecuación 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Sería incorrecto identificar inmediatamente 3x y 2x como los términos semejantes y combinarlos, pues los paréntesis en la expresión indican que se deben hacer otras operaciones antes. Primero, debes realizar las operaciones aritméticas en la expresión según el orden de las operaciones para obtener los términos que puedas
usar. Mira lo que sigue:
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Identifica el máximo común divisor en la expresión. Factorizar es una manera de simplificar las expresiones eliminando los factores que son comunes entre todos los términos de la expresión. Para empezar, encuentra el máximo común divisor que comparten todos los términos de la expresión. En otras palabras, el número más grande por el que todos los términos de la expresión son divisibles.
- Usa la ecuación 9x 2 + 27x - 3. Nota que cada término en esta ecuación es divisible por 3. Ya que los términos no son divisibles por un número mayor, puedes concluir que 3 es el máximo común divisor de la expresión.
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Divide los términos de la expresión por el máximo común divisor. Después, divide cada término de la ecuación por el máximo común divisor que hayas encontrado. Los términos resultantes tendrán coeficientes más pequeños que la expresión original.
- Factoriza la ecuación por su máximo común divisor: 3. Para hacerlo, divide cada término por 3.
- 9x 2 /3 = 3x 2
- 27x/3 = 9x
- -3/3 = -1
- Así, la nueva expresión es 3x 2 + 9x - 1 .
- Factoriza la ecuación por su máximo común divisor: 3. Para hacerlo, divide cada término por 3.
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Representa la expresión como el producto del máximo común divisor y los términos restantes. La nueva expresión no es igual que la antigua, así que no es preciso decir que está simplificada. Para hacer que la nueva expresión sea igual a la original, tendrás que tener en cuenta el hecho de que se ha dividido por el máximo común divisor. Cierra entre paréntesis la nueva expresión y establece el máximo común divisor de la ecuación original como un coeficiente para la expresión en paréntesis.
- Para la expresión del ejemplo, 3x 2 + 9x – 1, debes encerrar entre paréntesis la expresión y multiplicarla por el máximo común divisor de la ecuación original para obtener 3(3x 2 + 9x - 1) . Esta ecuación es igual a la original: 9x 2 + 27x - 3.
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Usa la factorización para simplificar las fracciones. Quizás te preguntes ahora por qué la factorización es útil; si, después de eliminar el máximo común divisor, la nueva expresión debe multiplicarse nuevamente por él. De hecho, la factorización permite a los matemáticos realizar una variedad de trucos para simplificar la expresión. Uno de los más fáciles implica sacar ventaja del hecho de que multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número da como resultado una fracción equivalente. Mira lo que sigue:
- Si la expresión original, 9x 2
+ 27x – 3, es el numerador de una fracción más grande con 3 como denominador. Esta fracción se vería así: (9x 2
+ 27x - 3)/3. Puedes usar la factorización para simplificar esta fracción.
- Sustituye la forma factorizada de la expresión original por la expresión en el numerador: (3(3x 2 + 9x - 1))/3
- Observa ahora que tanto el numerador como el denominador comparten el coeficiente 3. Al dividir el numerador y el denominador entre 3, obtendrás: (3x 2 + 9x - 1)/1.
- Ya que cualquier fracción con "1" en el denominador es igual a los términos del numerador, se puede decir que la fracción original se puede simplificar a 3x 2 + 9x - 1 .
Anuncio - Si la expresión original, 9x 2
+ 27x – 3, es el numerador de una fracción más grande con 3 como denominador. Esta fracción se vería así: (9x 2
+ 27x - 3)/3. Puedes usar la factorización para simplificar esta fracción.
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Simplifica fracciones dividiéndolas por factores comunes. Como se dijo anteriormente, si el numerador y el denominador de una expresión comparten factores, estos factores pueden eliminarse por completo de la fracción. Algunas veces, esto requerirá factorizar el numerador, el denominador o ambos (como en el caso del problema del ejemplo anterior), mientras que otras veces los factores comunes son evidentes de inmediato. Observa que también es posible dividir los términos del numerador por la expresión del denominador individualmente para obtener una expresión simplificada.
- Trata de resolver un ejemplo que no requiera necesariamente una factorización prolongada. En la fracción (5x 2
+ 10x + 20)/10, tendrás que dividir cada término del numerador entre el denominador 10 para simplificar, aunque el coeficiente "5" en 5x 2
no sea mayor que 10 y, por tanto, no puede tener 10 como factor.
- Hacerlo dará como resultado ((5x 2 )/10) + x + 2. Si deseas, puedes volver a escribir el primer término como (1/2)x 2 para obtener (1/2)x 2 + x + 2.
- Trata de resolver un ejemplo que no requiera necesariamente una factorización prolongada. En la fracción (5x 2
+ 10x + 20)/10, tendrás que dividir cada término del numerador entre el denominador 10 para simplificar, aunque el coeficiente "5" en 5x 2
no sea mayor que 10 y, por tanto, no puede tener 10 como factor.
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Utiliza factores cuadrados para simplificar radicales. Las expresiones bajo un signo de raíz cuadrada se llaman expresiones radicales. Estas se pueden simplificar identificando los factores cuadrados (factores que son los cuadrados de números enteros) y realizando la operación de raíz cuadrada en estos factores de manera separada para eliminarlos de debajo del signo de raíz cuadrada.
- Realiza el siguiente ejemplo: √(90). Si piensas en el número 90 como el producto de dos de sus factores, 9 y 10, puedes resolver la raíz cuadrada de 9 para obtener el número 3 y eliminarlo del radical. En otras palabras:
- √(90)
- √(9 × 10)
- (√(9) × √(10))
- 3 × √(10)
- 3√(10)
- Realiza el siguiente ejemplo: √(90). Si piensas en el número 90 como el producto de dos de sus factores, 9 y 10, puedes resolver la raíz cuadrada de 9 para obtener el número 3 y eliminarlo del radical. En otras palabras:
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Suma los exponentes al multiplicar dos términos exponenciales, réstalos al dividirlos. Algunas expresiones algebraicas requieren de multiplicar o dividir términos exponenciales. En vez de calcular cada término exponencial y multiplicar o dividir manualmente, simplemente suma el exponente al multiplicar y resta al dividir para ahorrar tiempo. Este concepto también se puede usar para simplificar las expresiones variables.
- Por ejemplo, considera la expresión 6x 3
× 8x 4
+ (x 17
/x 15
). En cada ocasión en donde sea necesario multiplicar o dividir exponentes, debes restar o sumar los exponentes respectivamente para encontrar rápidamente un término simplificado.
- 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15 )
- (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15 )
- 48x 7 + x 2
- Si quieres saber cómo funciona esto, mira lo siguiente:
- Multiplicar términos exponenciales es esencialmente como multiplicar largas cadenas de términos no exponenciales. Por ejemplo, x 3 = x × x × x y x 5 = x × x × x × x × x, x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), o x 8 .
- De manera similar, dividir términos exponenciales es como dividir largas cadenas de términos no exponenciales. Por ejemplo, x 5 /x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Debido a que cada término del numerador puede cancelarse por un término coincidente del denominador. Te quedas con las dos x del numerador y nada en la parte inferior, lo que te da el resultado: x 2 .
Anuncio - Por ejemplo, considera la expresión 6x 3
× 8x 4
+ (x 17
/x 15
). En cada ocasión en donde sea necesario multiplicar o dividir exponentes, debes restar o sumar los exponentes respectivamente para encontrar rápidamente un término simplificado.
Consejos
- Siempre recuerda que estos números deben tener signos positivos o negativos. Muchas personas se estancan al pensar "¿Qué signo va aquí?".
- Pide ayuda cuando lo necesites.
- Simplificar expresiones algebraicas no es nada fácil, pero una vez que te acostumbres, lo usarás para toda tu vida.
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Advertencias
- Siempre busca los términos semejantes y no te dejes engañar por los exponentes.
- Asegúrate de no haber añadido accidentalmente algún número adicional, un exponente o una operación que no corresponde.
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