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Comment dériver la racine carrée de x

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En algèbre, vous avez peut-être appris à dériver une fonction simple, mais quand une racine carrée, comme ${\sqrt {x}}$ ou ${\sqrt {-8x}}$ , s’invite dans la fonction, la chose semble un peu plus compliquée. En mathématiques, il ne faut jamais se laisser démonter et souvent, il faut emprunter des voies détournées. Ici, la racine carrée peut se transformer en un exposant. Dans certains cas, vous pouvez en passer par une décomposition de fonctions, sinon employez la formule théorique de dérivation.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Dériver avec la première règle de dérivation

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1
Souvenez-vous cette règle. Parmi les sept règles de dérivation, la première, et la plus connue, pose que la dérivée d’une variable $x$ élevée à la puissance $n$ est la suivante ^{[1]
X
Source de recherche} .
- $f(x)=x^{{n}}$ .
- $f^{{\prime }}(x)=nx^{{n-1}}$ ( $f^{{\prime }}(x)$ se lit « f prime de $x$ »).
- Appliquée à des exemples concrets, cela donne les résultats suivants :
  - la dérivée de $f(x)=x^{2}$ est $f^{{\prime }}(x)=2x$ ;
  - la dérivée de $f(x)=3x^{2}$ est $f^{{\prime }}(x)=2(3x)=6x$ ;
  - la dérivée de $f(x)=x^{3}$ est $f^{{\prime }}(x)=3x^{2}$ ;
  - la dérivée de $f(x)={\frac {1}{2}}x^{4}$ est $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}(4x^{3})={\frac {4}{2}}x^{3}=2x^{3}$ .
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2
Transformez la racine carrée en puissance. Pour trouver la dérivée d’une fonction contenant une racine carrée, il faut simplement savoir que la racine carrée d’une valeur peut s’exprimer par cette valeur élevée à une puissance, à savoir ${\frac {1}{2}}$ . Le plus simple est de voir quelques exemples, en commençant par l’exemple théorique ^{[2]
X
Source de recherche} :
- ${\sqrt {x}}=x^{{{\frac {1}{2}}}}$ ;
- ${\sqrt {4}}=4^{{{\frac {1}{2}}}}$ ;
- ${\sqrt {3x}}=(3x)^{{{\frac {1}{2}}}}$ .
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3
Appliquez la première règle de dérivation. Prenons l’exemple d’une fonction qui se résume à une simple racine carrée, $f(x)={\sqrt {x}}$ . Au vu de ce qui a été écrit, vous pouvez trouver la dérivée de cette fonction en opérant de la façon suivante ^{[3]
X
Source de recherche} :
- $f(x)={\sqrt {x}}\ \ \ \ \$ (fonction de départ) ;
- $f(x)=x^{{({\frac {1}{2}})}}\ \ \ \ \$ (fonction récrite avec une puissance) ;
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}x^{{({\frac {1}{2}}-1)}}\ \ \$ (fonction dérivée) ;
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}x^{{(-{\frac {1}{2}})}}\ \ \$ (puissance calculée).
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4
Si c’est possible, simplifiez la fonction dérivée. Comme vous le voyez, premier problème, il y a une puissance négative, laquelle peut être transformée en une puissance positive à condition d’en prendre l’inverse. L’expression $x^{{(-{\frac {1}{2}})}}$ est équivalente à : ${\frac {1}{x^{{\frac {1}{2}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x}}}}$ ^{[4]
X
Source de recherche} .
- Il faut également reconvertir l’expression avec la puissance fractionnaire en une racine carrée et faire le produit afin d’avoir une expression simple :
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}x^{{-{\frac {1}{2}}}}$ ;
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}({\frac {1}{{\sqrt {x}}}})$ ;
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ .
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Dériver avec la règle de dérivation en chaine

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1
Souvenez-vous cette règle. Parmi les sept règles de dérivation, il en est une qui concerne la dérivation en chaine, concernant les fonctions composées. Si l’on prend deux fonctions quelconques, $f(x)$ et $g(x)$ , la dérivée de la composée, $f(g(x))$ , s’obtient comme suit ^{[5]
X
Source de recherche} :
- Si $y=f(g(x))$ , alors $y^{{\prime }}=f^{{\prime }}(g(x))\times g^{{\prime }}(x)$ .
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2
Déterminez bien les deux fonctions. Comme elles sont composées, l’ordre importe : $f(g(x))\neq g(f(x))$ . Ici, nous fixerons que $f(x)$ est la fonction racine carrée, tandis que $g(x)$ pourra être n’importe quelle fonction polynomiale, de quelque degré que ce soit. La seconde fonction est toujours prise en compte en premier ^{[6]
X
Source de recherche} .
- On vous a donné à dériver la fonction ${\sqrt {3x+2}}$ . Elle peut être vue comme la composée de la fonction carrée ( $f(x)$ ) et de la fonction qui est sous le signe de la racine ( $g(x)$ ), ce qui donne :
  - $f(g(x))={\sqrt {g(x)}}=g(x)^{{{\frac {1}{2}}}}$ ;
  - $g(x)=3x+2$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/15\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-7.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-7.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/15\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-7.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-7.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Trouvez les dérivées des deux fonctions. La première partie de la formule de dérivation étant la dérivée de la fonction racine carrée, vous devez de la calculer de façon partiellement théorique ^{[7]
X
Source de recherche} .
- $f(g(x))={\sqrt {g(x)}}=g(x)^{{{\frac {1}{2}}}}$ .
  - $f^{{\prime }}(g(x))={\frac {1}{2}}g(x)^{{-{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{2}}({\frac {1}{g(x)^{{{\frac {1}{2}}}}}})$ .
  - $f^{{\prime }}(g(x))={\frac {1}{2{\sqrt {g(x)}}}}$ .
- Vous devez ensuite trouver la dérivée de la seconde fonction :
  - $g(x)=(3x+2)$ ;
  - $g^{{\prime }}(x)=3$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/ec\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ec\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Rassemblez les termes de la formule de dérivation en chaine. Pour rappel, cette dernière est : $y^{{\prime }}=f^{{\prime }}(g(x))\times g^{{\prime }}(x)$ . Nous avons calculé séparément les deux termes, il ne reste plus qu’à en faire le produit ^{[8]
X
Source de recherche} :
- $y^{{\prime }}={\frac {1}{2{\sqrt {g(x)}}}}\times 3$ ;
- $y^{{\prime }}={\frac {1}{2{\sqrt {3x+2}}}}\times 3$ ;
- $y^{{\prime }}={\frac {3}{2{\sqrt {3x+2}}}}$ .
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Dériver avec la formule théorique

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1
Comprenez et retenez la formule théorique. Si vous voulez vous éviter de retenir toute une série de calculs, vous pouvez apprendre par cœur la formule théorique de dérivation des fonctions radicales d’ordre 2. Une telle dérivée est toujours la dérivée du radicande ( $u$ ), divisée par le double de la racine carrée de départ, ce qui peut se résumer algébriquement ainsi ^{[9]
X
Source de recherche} :
- si $f(x)={\sqrt {u}}$ , alors $f^{{\prime }}(x)={\frac {u^{{\prime }}}{2{\sqrt {u}}}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/67\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/67\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Trouvez la dérivée du radicande. Ce dernier est l’expression sous le signe de la racine carrée. Pour commencer, comme l’indique la formule, vous devez dériver le radicande. Pour plus de clarté, il convient de prendre des exemples à la volée ^{[10]
X
Source de recherche} .
- Dans la fonction ${\sqrt {5x+2}}$ , le radicande est $(5x+2)$ , sa dérivée est $5$ .
- Dans la fonction ${\sqrt {3x^{4}}}$ , le radicande est $3x^{4}$ , sa dérivée est $12x^{3}$ .
- Dans la fonction ${\sqrt {sin(x)}}$ , le radicande est $\sin(x)$ , sa dérivée est $\cos(x)$ .
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3
Inscrivez cette dérivée du radicande comme numérateur d’une fraction. La dérivée d’une fonction contenant une racine carrée est toujours une fraction. Le numérateur de cette fraction est la dérivée du radicande. Reprenons nos exemples et construisons les fractions en inscrivant pour commencer les numérateurs ^{[11]
X
Source de recherche} .
- Si $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , alors $f^{{\prime }}(x)={\frac {5}{d{\acute {e}}nominateur}}$ .
- Si $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , alors $f^{{\prime }}(x)={\frac {12x^{3}}{d{\acute {e}}nominateur}}$ .
- Si $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , alors $f^{{\prime }}(x)={\frac {\cos(x)}{d{\acute {e}}nominateur}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7d\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/7d\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Trouvez le dénominateur de la dérivée. Selon la formule, la fraction de la dérivée a pour dénominateur le double de la racine carrée de départ. L’opération est assez simple, car il n’y a pas vraiment de calcul, juste un jeu d’écriture ^{[12]
X
Source de recherche} .
- Si $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , alors $f^{{\prime }}(x)={\frac {num{\acute {e}}rateur}{2{\sqrt {5x+2}}}}$ .
- Si $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , alors $f^{{\prime }}(x)={\frac {num{\acute {e}}rateur}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$ .
- Si $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , alors $f^{{\prime }}(x)={\frac {num{\acute {e}}rateur}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/5e\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/5e\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Assemblez le numérateur et le dénominateur. Après avoir œuvré en deux temps, le calcul du numérateur et l’inscription du dénominateur, il convient de réunir ces deux résultats pour avoir la dérivée ^{[13]
X
Source de recherche} .
- Si $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , alors $f^{{\prime }}(x)={\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}$ .
- Si $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , alors $f^{{\prime }}(x)={\frac {12x^{3}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$ .
- Si $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , alors $f^{{\prime }}(x)={\frac {\cos(x)}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$ .
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