كيفية التكامل

شارك في التأليف: Joseph Meyer

التكامل هو العملية العكسية للتفاضل ويقال بأن التفاضل علم بينما التكامل فن؛ ويرجع السبب ببساطة لكون التكامل أصعب بينما يتعلق الاشتقاق بسلوك الدالة عند نقطة ما فقط. يتطلب التكامل باعتباره جمعًا معرفة كبيرة بالدالة، لذا رغم وجود بعض الدوال التي يمكن حساب تكاملها باستخدام الطرق العادية الموضحة في هذه المقالة إلا أن هناك أكثر منها بكثير لا ينطبق عليها ذلك.

سنمر في هذه المقالة على الأساليب الأساسية للتكامل بالنسبة لمتغير واحد ونطبقها على الدوال ذات المشتقات العكسية.

جزء 1

جزء 1 من 7:

الأساسيات

تنزيل المقال

1
افهم معنى التكامل. يتكون التكامل $\int _{{a}}^{{b}}f(x){\mathrm {d}}x$ من أربعة أجزاء.
- يرمز $\int$ للتكامل وهو حرف s طويل.
- تسمى الدالة $f(x)$ كمية التكامل حين تكون داخل علامة التكامل.
- يعرفنا التفاضل ${\mathrm {d}}x$ بداهة بالمتغير الذي نجري التكامل بالنسبة له نظرًا لأن تكامل ريمان هو مجموع لمستطيلات متناهية الصغر بارتفاع $f(x),$ وبالتالي فـ ${\mathrm {d}}x$ تشير لعرض هذه المستطيلات.
- الحروف $a$ و $b$ هي الحدود. وجود حدود للتكامل أمر غير ضروري، وبالتالي في هذه الحالة سيكون التكامل تكامل غير محدود ، أما إذا كان العكس فإننا نتعامل مع تكامل محدود .
- سنمر في هذه المقالة على عملية إيجاد المشتقات العكسية لدالة معينة. المشتق العكسي هو الدالة الأصلية التي بدأنا باشتقاقها.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2a\/Riemann_sum_convergence.png\/460px-Riemann_sum_convergence.png","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2a\/Riemann_sum_convergence.png\/560px-Riemann_sum_convergence.png","smallWidth":460,"smallHeight":460,"bigWidth":560,"bigHeight":560,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
افهم تعريف التكامل. إننا نتحدث عن تكاملات ريمان في الغالب حين نتحدث عن الاشتقاق، بعبارة أخرى نجمع المستطيلات. بفرض أن لدينا دالة $f(x),$ وعرض مستطيل مقداره $\Delta x,$ وفترة $[a,b],$ فإننا نحصل على مساحة المستطيل الأول من $f(x_{{1}})\Delta x_{{1}},$ لأنها مجرد حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع (قيمة الدالة)، وبالمثل فإن مساحة المستطيل الثاني هي $f(x_{{2}})\Delta x_{{2}}.$ ، وللتعميم نقول بأن مساحة المستطيل النوني هي $f(x_{{i}})\Delta x_{{i}}.$ ، وخلاصة القول أنه يمكن تمثيل هذا بالطريقة التالية.
- $\sum _{{i=1}}^{{n}}f(x_{{i}})\Delta x_{{i}}$
- قد يبدو الأمر مخيفًا إذا كانت هذه هي المرة الأولى التي ترى فيها رمز حاصل المجموع لكنه ليس معقدًا على الإطلاق. كل ما يعنيه هذا أننا نجمع مساحة $n$ مستطيلات (وn هنا تشير للعدد). (يعرف المتغير $i$ بالرقم النوني). لكن مساحة جميع المستطيلات تختلف قليلًا عن المساحة الحقيقية كما تستطيع التخمين. نحل هذه المشكلة بزيادة عدد المستطيلات إلى اللانهاية فتقترب مساحة جميع المستطيلات من المساحة الواقعة تحت المنحنى مع زيادة عدد المستطيلات. هذا ما يوضحه الرسم البياني أعلاه (انظر أفكار مفيدة لتعرف ما يوضحه الرسم في المنتصف). الحد مثل $n\to \infty$ $a$ إلى $b.$ هو ما نعرفه بتكامل للدالة من $f(x)$
  - $\int _{{a}}^{{b}}f(x){\mathrm {d}}x=\lim _{{n\to \infty }}\sum _{{i=1}}^{{n}}f(x_{{i}})\Delta x_{{i}}$
- بالطبع يجب أن يكون هذا الحد موجودًا حتى يكون للتكامل معنى. نقول بأنه لا يوجد لـ $f(x)$ تكامل على الفترة $[a,b].$ إذا لم يوجد مثل هذا الحد. سنتعامل في هذه المقالة (وفي معظم التطبيقات الفيزيائية) مع الدوال التي لها تكاملات فقط.
3

تذكر $+C$ عند حساب التكاملات غير المحدودة. نسيان إضافة ثابت التكامل هو أحد الأخطاء الأكثر شيوعًا. يرجع سبب الحاجة إليه في أن المشتقات العكسية ليست مميزة، بل في الحقيقة يمكن أن يكون هناك عدد لا نهائي من المشتقات العكسية للدالة لأن اشتقاق الثابت يساوي الصفر.

جزء 2

جزء 2 من 7:

قاعدة الأسس

تنزيل المقال

1

خذ المعادلة متعددة المجاهيل $x^{{n}}$
2
طبق قاعدة الأسس على التكاملات. نفس قاعدة أسس المشتقات ولكن بطريقة معكوسة. نزيد الأس بمقدار 1 ونقسم على الأس الجديد. لا تنس ثابت التكامل $C.$
- $\int x^{{n}}{\mathrm {d}}x={\frac {x^{{n+1}}}{n+1}}+C$
- فاضل المشتق العكسي لاستعادة الدالة الأصلية للتأكد من صحة قاعدة الأسس.
- تنطبق قاعدة الأسس على جميع الدوال بهذه الصورة من الدرجة $n$ باستثناء $n=-1.$ وسنعرف السبب لاحقًا.
3
طبق الخطية. التكامل علامة خطية ما يعني أن تكامل المجموع هو مجموع التكاملات ويمكن حساب معامل كل حد كما يلي:
- $\int (ax^{{n}}+bx^{{m}}){\mathrm {d}}x=a\int x^{{n}}{\mathrm {d}}x+b\int x^{{m}}{\mathrm {d}}x$
- سيكون هذا مألوفًا بالنسبة لك لأن الاشتقاق عملية خطية أيضًا؛ أي أن تفاضل المجموع هو مجموع التفاضلات.
- لا تنطبق الخطية فقط على تكاملات المعادلات متعددة الحدود وإنما على أي تكامل لمجموع حدين أو أكثر.
4
جد المشتق العكسي للدالة $f(x)=x^{{4}}+2x^{{3}}-5x^{{2}}-1$ . هذه معادلة متعددة الحدود لذا يمكن حساب المشتق العكسي لها بسهولة باستخدام الخاصية الخطية وقاعدة الأسس. تذكر أن $x^{{0}}=1,$ عند حساب المشتق العكسي للثابت لذا فإن الثابت هو معامل $x^{{0}}.$ فقط.
- $\int (x^{{4}}+2x^{{3}}-5x^{{2}}-1){\mathrm {d}}x={\frac {1}{5}}x^{{5}}+{\frac {2}{4}}x^{{4}}-{\frac {5}{3}}x^{{3}}-x+C$
5
جد المشتق العكسي للدالة $f(x)={\frac {2x^{{2}}+3x-1}{x^{{1/3}}}}$ . قد تبدو كدالة تخالف قواعدنا لكن بالنظر لوهلة ستكشف أننا نستطيع تقسيم الكسر إلى ثلاثة كسور وتطبيق الخطية وقاعدة الأسس لإيجاد المشتق العكسي.
- ${\begin{aligned}\int f(x){\mathrm {d}}x&=\int {\frac {2x^{{2}}+3x-1}{x^{{1/3}}}}{\mathrm {d}}x\\&=\int \left({\frac {2x^{{2}}}{x^{{1/3}}}}+{\frac {3x}{x^{{1/3}}}}-{\frac {1}{x^{{1/3}}}}\right){\mathrm {d}}x\\&=\int (2x^{{5/3}}+3x^{{2/3}}-x^{{-1/3}}){\mathrm {d}}x\\&=2\cdot {\frac {3}{8}}x^{{8/3}}+3\cdot {\frac {3}{5}}x^{{5/3}}-{\frac {3}{2}}x^{{2/3}}+C\\&={\frac {3}{4}}x^{{8/3}}+{\frac {9}{5}}x^{{5/3}}-{\frac {3}{2}}x^{{2/3}}+C\end{aligned}}$
- القاسم المشترك هو أنك لابد أن تجري الخطوات اللازمة لتحويل كم التكامل إلى معادلة متعددة الحدود. يصبح التكامل سهلًا من هنا. تكمن المهارة في تحديد ما إذا كان التكامل سهلًا بما يكفي لحله أو يتطلب بعض عمليات الجبر أولًا.

جزء 3

جزء 3 من 7:

التكامل المحدود

تنزيل المقال

1
خذ التكامل المعطى أدناه. لدينا هنا حدود لحساب قيمة التكامل عندها بعكس عملية التكامل الموضحة في الجزء 2.
- $\int _{{2}}^{{3}}x^{{2}}{\mathrm {d}}x$
2
استخدم النظرية الأساسية للتكامل والتفاضل. تنقسم هذه النظرية لجزئين وقد ذكرنا الجزء الأول في العبارة الأولى من هذه المقالة: التكامل هو العملية العكسية للتفاضل لذا فإن حساب تكامل دالة ثم اشتقاقه يعيد لنا الدالة الأصلية. الجزء الثاني موضح أدناه.
- لنقل بأن $F(x)$ هو المشتق العكسي لـ $f(x).$ لذا فإن $\int _{{a}}^{{b}}f(x){\mathrm {d}}x=F(b)-F(a).$
- هذه النظرية مفيدة بدرجة مذهلة لأنها تبسط التكامل وتعني أنه يمكن إيجاد التكامل المحدود تمامًا بالقيم الموجودة على حدوده. ما من حاجة لجمع المستطيلات بعد الآن لحساب التكاملات. كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد المشتقات العكسية وحساب قيمتها عند الحدود.
3
احسب التكامل المذكور في الخطوة 1. يمكننا الآن حساب قيمة التكامل كما هو موضح أعلاه بسهولة بعد أن أصبح لدينا النظرية الأساسية كأداة لحل التكاملات.
- ${\begin{aligned}\int _{{2}}^{{3}}x^{{2}}{\mathrm {d}}x&={\frac {1}{3}}x^{{3}}{\Bigg |}_{{2}}^{{3}}\\&={\frac {1}{3}}(3)^{{3}}-{\frac {1}{3}}(2)^{{3}}\\&={\frac {19}{3}}\end{aligned}}$
- نكرر مجددًا أن النظرية الأساسية لعلم التفاضل والتكامل لا تنطبق فقط على دوال مثل $f(x)=x^{{2}}.$ وإنما يمكن استخدامها لإيجاد تكامل أي دالة ما دمت تستطيع إيجاد المشتق العكسي.
4
احسب التكامل بتبديل الحدود. لنرى ما يحدث هنا.
- ${\begin{aligned}\int _{{3}}^{{2}}x^{{2}}{\mathrm {d}}x&={\frac {1}{3}}x^{{3}}{\Bigg |}_{{3}}^{{2}}\\&={\frac {1}{3}}(2)^{{3}}-{\frac {1}{3}}(3)^{{3}}\\&=-{\frac {19}{3}}\end{aligned}}$
- لقد حصلنا على النتيجة السالبة من الإجابة التي سبق وحصلنا عليها. يوضح هذا خاصية مهمة للتكاملات المحدودة. يعكس تبديل الحدود إشارة ناتج التكامل.
  - $\int _{{b}}^{{a}}f(x){\mathrm {d}}x=-\int _{{a}}^{{b}}f(x){\mathrm {d}}x$

جزء 4

جزء 4 من 7:

المشتقات العكسية للدوال الشائعة

تنزيل المقال

1
احفظ المشتقات العكسية للدوال الأسية. نذكر في الخطوات التالية الدوال التي يشيع مصادفتها كالدوال الأسية والمثلثية. جميعها يشيع مصادفتها لذا فمن الضروري معرفة مشتقاتها العكسية لبناء مهارات التكامل. تذكر أن هناك $C,$ إضافي في التكاملات غير المحدودة لأن اشتقاق الثابت يساوي الصفر.
- $\int e^{{x}}{\mathrm {d}}x=e^{{x}}+C$
- $\int a^{{x}}{\mathrm {d}}x={\frac {a^{{x}}}{\ln a}}+C$
2
احفظ المشتقات العكسية للدوال المثلثية. وهي تطبيق المشتقات بشكل عكسي ويفترض ألا تكون غريبة عليك. تصادف الجيوب وجيوب التمام هذه كثيرًا ولابد أن تحفظها حتمًا . يمكن إيجاد نظائرها الزائدية بطريقة مشابهة لكنها أقل شيوعًا.
- $\int \sin x{\mathrm {d}}x=-\cos x+C$
- $\int \cos x{\mathrm {d}}x=\sin x+C$
- $\int \sec ^{{2}}x{\mathrm {d}}x=\tan x+C$
- $\int \csc ^{{2}}x{\mathrm {d}}x=-\cot x+C$
- $\int \sec x\tan x{\mathrm {d}}x=\sec x+C$
- $\int \csc x\cot x{\mathrm {d}}x=-\csc x+C$
3
احفظ المشتقات العكسية للدوال المثلثية العكسية. يجب ألا تعتبر هذا كتمرين فعلي على "الحفظ"، ما دمت معتادًا على التعامل مع هذه المشتقات فستكون معظم المشتقات العكسية مألوفة بالنسبة لك أيضًا.
- $\int {\frac {1}{{\sqrt {1-x^{{2}}}}}}{\mathrm {d}}x=\sin ^{{-1}}x+C$
- $\int {\frac {-1}{{\sqrt {1-x^{{2}}}}}}{\mathrm {d}}x=\cos ^{{-1}}x+C$
- $\int {\frac {1}{1+x^{{2}}}}{\mathrm {d}}x=\tan ^{{-1}}x+C$
4
احفظ المشتق العكسي للدوال المقلوبة. سبق وقلنا أن الدالة $f(x)=x^{{-1}},$ أو $f(x)={\frac {1}{x}},$ تمثل استثناءً من قاعدة الأسس. يرجع السبب لكون المشتق العكسي لهذه الدالة دالة لوغاريتمية.
- $\int {\frac {1}{x}}{\mathrm {d}}x=\ln |x|+C$
- (يحب الكتاب أحيانًا وضع ${\mathrm {d}}x$ في بسط الكسر لذا يُقرَأ ك $\int {\frac {{\mathrm {d}}x}{x}}.$ . انتبه لهذه الطريقة)
- يرجع سبب وجود القيمة المطلقة في الدوال اللوغاريتيمة إلى دقتها ولكونها تتطلب فهمًا شاملًا للتحليل الحقيقي للوصول إلى الإجابة الكاملة. سنعيش الآن مع حقيقة أن النطاقات تتطابق عند إضافة أعمدة القيمة المطلقة.
5
احسب قيمة التكامل التالي على الحدود المعطاة. دالتنا هي $f(x)=2\cos x+\tan ^{{2}}x-6.$ .إننا هنا لا تعرف المشتق العكسي لـ $\tan ^{{2}}x,$ لكننا نستطيع استخدام المطابقة المثلثية لإعادة كتابة التكامل بالنسبة لدالة نعرف مشتقها العكسي $1+\tan ^{{2}}x=\sec ^{{2}}x.$
- ${\begin{aligned}\int _{{\pi /4}}^{{\pi /3}}f(x){\mathrm {d}}x&=\int _{{\pi /4}}^{{\pi /3}}(2\cos x+\tan ^{{2}}x-6){\mathrm {d}}x\\&=\int _{{\pi /4}}^{{\pi /3}}(2\cos x+\sec ^{{2}}x-7){\mathrm {d}}x\\&=(2\sin x+\tan x-7x){\Big |}_{{\pi /4}}^{{\pi /3}}\\&=\left(2\sin {\frac {\pi }{3}}+\tan {\frac {\pi }{3}}-{\frac {7\pi }{3}}\right)-\left(2\sin {\frac {\pi }{4}}+\tan {\frac {\pi }{4}}-{\frac {7\pi }{4}}\right)\\&=2{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}-1-{\frac {7\pi }{12}}\end{aligned}}$
- يمكنك استخدام آلة حاسبة إذا أردت تقريبًا عشريًا. هنا $2{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}-1-{\frac {7\pi }{12}}\approx -0.7827.$

جزء 5

جزء 5 من 7:

تكامل الدوال المتماثلة

تنزيل المقال

1
احسب قيمة التكامل لدالة زوجية. الدوال الزوجية هي دوال لها خاصية $f(-x)=f(x).$ بعبارة أخرى يجب أن تتمكن من استبدال كل $x$ بـ $-x$ والحصول على الدالة ذاتها. مثال على الدالة الزوجية $x^{{2}}.$ ودالة cos مثال آخر. جميع الدوال الزوجية متماثلة حول محور y.
- $\int _{{-1}}^{{1}}(\cos x+x^{{4}}){\mathrm {d}}x$
- كم التكامل زوجيٌ. يمكننا إجراء التكامل فورًا باستخدام النظرية الأساسية لعلم التفاضل والتكامل لكن إذا نظرنا بحرص أكبر سنرى أن الحدود متماثلة حول $x=0.$ ما يعني أن التكامل من -1 إلى 0 سيعطي نفس القيمة التي يعطيها التكامل من 0 إلى 1. لذا ما يمكننا فعله هو تغيير الحدود إلى 0 و1 والضرب في 2.
  - $\int _{{-1}}^{{1}}(\cos x+x^{{4}}){\mathrm {d}}x=2\int _{{0}}^{{1}}(\cos x+x^{{4}}){\mathrm {d}}x$
- قد لا يبدو فعل ذلك بالأمر الصعب لكننا سنرى أن عملنا قد تبسط على الفور. لاحظ أنه بعد إيجاد المشتق العكسي سيكون علينا حساب قيمته عند $x=1.$ فقط. لن يضاف المشتق العكسي عند $x=0$ إلى التكامل.
  - $2\int _{{0}}^{{1}}(\cos x+x^{{4}}){\mathrm {d}}x=2\sin 1+{\frac {2}{5}}$
- عليك أن تقوم بعمل هذا التبسيط في العموم لتقليل الأخطاء الحسابية متى رأيت دالة زوجية متماثلة الحدود.
  - $\int _{{-a}}^{{a}}f(x){\mathrm {d}}x=2\int _{{0}}^{{a}}f(x){\mathrm {d}}x,\ \ f(x)\ {\mathrm {even}}$
2
احسب تكامل دالة فردية. الدوال الفردية هي دوال لها خاصية $f(-x)=-f(x).$ بعبارة أخرى يجب أن تتمكن من استبدال كل $x$ ب $-x$ ثم الحصول على الدالة الأصلية بإشارة معاكسة . خذ $x^{{3}}.$ كمثال على الدالة الفردية. كذلك فإن دوال الsine والدوال المماسية فردية أيضًا. جميع الدوال الفردية متماثلة حول نقطة الأصل (تخيل تدوير الجزء السالب من الدالة 180ْ وسيصبح حينها فوق الجزء الموجب). سيصبح التكامل مساويًا للصفر إذا كانت الحدود متماثلة.
- $\int _{{-\pi /2}}^{{\pi /2}}(2x^{{3}}+2\sin x){\mathrm {d}}x$
- يمكننا حساب ناتج هذا التكامل مباشرة أو يمكننا أن نعرف أنه فردي. كذلك فإن الحدود متماثلة حول نقطة الأصل، لذلك فإن التكامل بصفر. لماذا حدث هذا؟ لأن المشتق العكسي زوجي. تتسم الدال الزوجية بخاصية $f(-x)=f(x),$ لذا فعند حساب قيمة التكامل عند الحدود $-a$ و $a,$ فإن $F(-a)=F(a)$ تستلزم فورًا أن يكون $F(a)-F(-a)=0.$
  - $\int _{{-\pi /2}}^{{\pi /2}}(2x^{{3}}+2\sin x){\mathrm {d}}x=0$
- خصائص الدوال هذه شديدة الفعالية في تبسيط التكاملات لكن لابد أن تكون الحدود متماثلة. عدا عن ذلك سيكون عليك اتباع الطريقة القديمة.
  - $\int _{{-a}}^{{a}}f(x){\mathrm {d}}x=0,\ \ f(x)\ {\mathrm {odd}}$

جزء 6

جزء 6 من 7:

التكامل بالتعويض أو بتغيير المتغير

تنزيل المقال

1

شرح التكامل بالتعويض. التعويض بالـu هو طريقة تبدل المتغيرات لتسهيل التكامل. وهي مناظرة لقاعدة التسلسل الخاصة بالمشتقات كما سنرى.
2
احسب تكامل $e^{{ax}}$ . ماذا نفعل حين يكون هناك معامل للأس؟ نستخدم تعويض u لتبديل المتغيرات. نجد أن هذه الأنواع من التعويضات هي الأسهل وهي تتم كثيرًا ويتم تجاوز التعويض بالu. رغم ذلك سنوضح العملية بأكملها.
- $\int e^{{ax}}{\mathrm {d}}x$
3
اختر $u$ وجد ${\mathrm {d}}u$ . سنختار $u=ax$ بحيث نحصل على $e^{{u}}$ داخل علامة التكامل وهي دالة نعرف مشتقها العكسي. ثم لابد أن نستبدل ${\mathrm {d}}x$ ب ${\mathrm {d}}u,$ لكن علينا أن نحرص على ملاحظة الحدود. في هذا المثال ستكون ${\mathrm {d}}u=a{\mathrm {d}}x,$ لذا علينا قسمة التكامل بأكمله على $a$ للتعويض.
- $\int e^{{ax}}{\mathrm {d}}x={\frac {1}{a}}\int e^{{u}}{\mathrm {d}}u$
4
احسب ناتج التكامل وأعد كتابته بالنسبة للمتغير الأصلي. لابد أن تعيد كتابة التكاملات المحدودة بالنسبة للمتغير الأصلي.
- $\int e^{{ax}}{\mathrm {d}}x={\frac {1}{a}}e^{{ax}}+C$
5
احسب التكامل التالي بالحدود المعطاة. هذا تكامل محدود لذا علينا حساب المشتق العكسي عند الحدود. كما سنرى أن التعويض بال u هو حالة نحتاج فيها لعمل "تعويض عكسي".
- $\int _{{0}}^{{1}}x{\sqrt {2x+3}}{\mathrm {d}}x$
6
اختر $u$ وجد ${\mathrm {d}}u$ . احرص على تغيير الحدود أيضًا وفقًا لتعويضك. نختار $u=2x+3$ لتبسيط الجذر التربيعي. ثم ${\mathrm {d}}u=2{\mathrm {d}}x,$ وتتغير الحدود لتصبح من 3 إلى 5. لكن لازال لدينا $x$ داخل علامة التكامل بعد استبدال ${\mathrm {d}}x$ ب ${\mathrm {d}}u,$
- $\int _{{0}}^{{1}}x{\sqrt {2x+3}}{\mathrm {d}}x={\frac {1}{2}}\int _{{3}}^{{5}}x{\sqrt {u}}{\mathrm {d}}u$
7
أوجد قيمة $x$ بالنسبة ل $u$ وقم بالتعويض. هذا هو التعويض العكسي الذي سبق وتحدثنا عنه. لم يتخلص تعويضنا بالu من كل الحدود المحتوية على $x$ داخل التكامل لذا علينا أن نقوم بالتعويض العكسي للتخلص منها. سنجد أن $x={\frac {u-3}{2}}.$ وسنحصل على ما يلي بعد التبسيط.
- ${\frac {1}{2}}\int _{{3}}^{{5}}x{\sqrt {u}}{\mathrm {d}}u={\frac {1}{4}}\int _{{3}}^{{5}}(u-3){\sqrt {u}}{\mathrm {d}}u$
8
احسب الناتج. تتمثل ميزة التعامل مع التكاملات المحدودة في أنك لا تحتاج لإعادة كتابة المشتقات العكسية بالنسبة للمتغير الأصلي قبل حساب القيمة. فعل ذلك سيولد تعقيدات لا حاجة لها.
- ${\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\int _{{3}}^{{5}}(u-3){\sqrt {u}}{\mathrm {d}}u&={\frac {1}{4}}\int _{{3}}^{{5}}(u^{{3/2}}-3u^{{1/2}}){\mathrm {d}}u\\&={\frac {1}{4}}\left({\frac {2}{5}}u^{{5/2}}-3\cdot {\frac {2}{3}}u^{{3/2}}\right){\Bigg |}_{{3}}^{{5}}\\&={\frac {1}{4}}\left({\frac {2}{5}}(5)^{{5/2}}-2\cdot (5)^{{3/2}}-{\frac {2}{5}}(3)^{{5/2}}+2\cdot (3)^{{3/2}}\right)\\&={\frac {1}{4}}\left(-{\frac {6}{5}}\cdot 3^{{3/2}}+2\cdot 3^{{3/2}}\right)\\&={\frac {1}{4}}{\frac {4}{5}}3^{{3/2}}\\&={\frac {3{\sqrt {3}}}{5}}\end{aligned}}$

جزء 7

جزء 7 من 7:

التكامل بالتجزيء

تنزيل المقال

1
شرح كيفية التكامل بالتجزيء. صيغة التكامل بالتجزيء موضحة أدناه. الهدف الرئيسي من التكامل بالتجزيء هو حساب تكامل ناتج ضرب دالتين وهو مناظر لقاعدة ضرب المشتقات. تبسط هذه الطريقة التكامل ليصح حله أسهل.
- $\int u{\mathrm {d}}v=uv-\int v{\mathrm {d}}u$
2
احسب تكامل الدالة اللوغاريتمية. نعلم أن مشتقة $\ln x$ هي ${\frac {1}{x}},$ لكن لا نعلم مشتقها العكسي. لذا فإن هذا التكامل هو تطبيق بسيط للتكامل بالتجزيء.
- $\int \ln x{\mathrm {d}}x$
3
اختر $u$ و ${\mathrm {d}}v,$ وجد ${\mathrm {d}}u$ و $v$ . سنختار $u=\ln x$ لأن الاشتقاق جبري ولذا يسهل التلاعب به. ثم ${\mathrm {d}}v={\mathrm {d}}x.$ لذا ${\mathrm {d}}u={\frac {1}{x}}{\mathrm {d}}x$ و $v=x.$ . سنحصل على ما يلي بالتعويض بجميع هؤلاء في هذه المعادلة.
- $\int \ln x{\mathrm {d}}x=x\ln x-\int {\mathrm {d}}x$
- لقد حولنا تكامل اللوغاريتم إلى تكامل 1 التافه حسابه.
4
احسب قيمة التكامل.
- $\int \ln x{\mathrm {d}}x=x\ln x-x+C$

أفكار مفيدة

يمكن أن يعني $f(x_{{i}})$ عند حساب مجموع ريمان الجهة اليمنى أو اليسرى أو المنتصف من $f(x_{{i}})$ على الفترة $[x_{{i}},x_{{i}}+\Delta x].$ . ستعطي هذه التعريفات المختلفة نواتج جمع متباينة لمساحة المستطيلات لكن حين يقارب عدد المستطيلات اللانهاية سيقترب الخطأ بين أي تعريفين من الصفر وستقارب كل نواتج الجمع التكامل.
- هذا ما يوضحه الرسم في الخطوة 2، المستطيلات الزرقاء يمينة بينما الصفراء لليسار والعينة الحمراء هي الحد الأدنى في الفترة بينما العينة الزرقاء هي الحد الأقصى منها. يوضح الرسم الموجود بالمنتصف أن جميع هذه المساحات تقارب التكامل حين يقترب عدد المستطيلات من اللانهاية.

تسجيل الدخول

كيفية التكامل

الخطوات

الأساسيات

قاعدة الأسس

التكامل المحدود

المشتقات العكسية للدوال الشائعة

تكامل الدوال المتماثلة

التكامل بالتعويض أو بتغيير المتغير

التكامل بالتجزيء

أفكار مفيدة

مقالات ذات صلة في ويكي هاو

المزيد حول هذا المقال

هل ساعدك هذا المقال؟

مقالات ويكي هاو ذات صلة

تابعنا

Explore Categories