تنزيل المقال
تنزيل المقال
يُعرَّف "التوتُّر" في علم الفيزياء بأنه قوة رد الفعل الناشئة في حبلٍ مشدود (أو خيط أو سلك أو شيء مشابه) والتي تؤثر في عكس اتجاه القوة المسببة للشد. فأي جسم مشدود أو مُعلق أو مُتدلٍ من حبل أو ما شابه، يتعرض لقوى التوتر. ومثل أنوع القوى المختلفة، فإن التوتر قد يؤدي إلى تسارع جسم ما أو إلى تغير خواصه الشكلية. والقدرة على حساب التوتر هي مهارة ضرورية لا لطلاب علم الفيزياء فحسب، بل للمهندسين والمعماريين كذلك، الذين يجب عليهم - من أجل تشييد مبانٍ آمنة - إجراء الحسابات الدقيقة لمعرفة إن كانت الأسلاك في المبنى ستتحمل قوى الشد الواقعة عليها أم لا. لتتعلم كيفية حساب التوتر، ابدأ الآن من الخطوة الأولى.
الخطوات
-
قم بتحديد القوى المؤثرة على طرفي الخيط أو الحبل. فالتوتر مُساوٍ دائماً لمجموع القوى الجاذبة لأحد طرفي الخيط. والقوة - كما هو معروف - تساوي '"حاصل ضرب الكتلة في التسارع، أو العجلة'". فإن افترضنا أن الخيط مشدود بإحكام، فإن أي تغيير يحدث في كتلة أو تسارع الأجسام التي يحملها الخيط، سيؤدي حتماً إلى التأثير على التوتر الناشئ فيه. ولا تنسَ إدخال تسارع الجاذبية الأرضية الثابت في الحساب، حتى إن كان النظام يبدو في حالة استقرار. يمكننا إذن اعتبار أن التوتر الناشئ في خيطٍ ما يساوي (كتلة الأجسام التي يحملها الخيط مضروبةً في تسارع الجاذبية الأرضية) + (نفس الكتلة مضروبةً في أي تسارعٍ آخر يطرأ على الأجسام التي يحملها الخيط).
- في معظم حسابات الفيزياء، نفترض وجود "الخيط المثالي" وهو الخيط أو الحبل الذي يمكن إهمال كتلته الخاصة، ويمكن افتراض عدم تعرضه للتمدد أو القطع.
- ولنفترض مثلاً وجود نظام فيه لوح خشبي معلق بحبل مفرد (انظر الصورة). ولنفترض أن هذا النظام في حالة استقرار، أي أن الحبل والكتلة المعلقة فيه لا يبدوان في حالة حركة. فإذا كانت الكتلة في حالة التوازن تلك، فلا بد من أن قوى التوتر مساوية لقوى الجاذبية الأرضية المؤثرة على الكتلة. أي أن قوى التوتر = قوى الجاذبية الأرضية = الكتلة * تسارع الجاذبية الأرضية.
- وإذا كانت الكتلة عشرة كيلوجرامات على سبيل المثال، فإن قوى التوتر = 10 كيلوجرام * 9.8 متر/ثانية 2 = '"98 نيوتن'".
-
أدخِل التسارع في حساباتك. فقوى الجاذبية الأرضية ليست هي القوى الوحيدة التي يمكن لها أن تؤثر في قوى التوتر في حبلٍ ما. فالتسارع المؤثر على أي جسم يحمله الحبل يؤدي كذلك إلى التأثير في التوتر. فإذا كان هناك تسارع مؤثر على جسم معلق من حبل، فإن قوى التسارع (كتلة الجسم * التسارع) تضاف إلى قوى التوتر التي يسببها وزن ذلك الجسم.
- ولنفترض في مثالنا السابق أن الحبل - المعلق فيه لوح خشبي كتلته 10 كيلوجرامات - يستخدم هنا لرفع هذه الكتلة إلى الأعلى بتسارع قدره 1 متر/ثانية 2
. في تلك الحالة يجب أن نُدخل قوى التسارع إلى المعادلة بالإضافة إلى قوى الجاذبية الأرضية، كالتالي:
- قوى التوتر = قوى الجاذبية الأرضية + (الكتلة * التسارع)
- قوى التوتر = 98 + (10 كيلوجرام * 1 متر/ثانية 2 )
- قوى التوتر = '"108 نيوتن.'"
- ولنفترض في مثالنا السابق أن الحبل - المعلق فيه لوح خشبي كتلته 10 كيلوجرامات - يستخدم هنا لرفع هذه الكتلة إلى الأعلى بتسارع قدره 1 متر/ثانية 2
. في تلك الحالة يجب أن نُدخل قوى التسارع إلى المعادلة بالإضافة إلى قوى الجاذبية الأرضية، كالتالي:
-
أدخل تسارع الدوران في حساباتك. الأجسام التي تدور حول نقطة مركزية بواسطة حبل (كالبندول مثلاً) تؤثر في التوتر الناشئ في الحبل بسبب قوى الجذب المركزية. قوى الجذب المركزية هي إضافة لقوى التوتر الناشئ في الحبل بسبب "الجذب" الذي يقوم به لإبقاء الجسم المتحرك في مداره بدلاً من انطلاقه بعيدًا في خطٍ مستقيم. وكلما زادت سرعة دوران الجسم، زادت قوى الجذب المركزية. قوى الجذب المركزية تساوي كتلة الجسم * مربع سرعته/نصف قطر مداره.
- وبما أن مقدار واتجاه قوى الجذب المركزية يتغير باستمرار مع تغير حركة وسرعة الجسم وهو يدور، فإن التوتر الكلي الناشئ في الحبل يتغير كذلك، لكنه ثابت في جذبه المُوازي للحبل نحو النقطة المركزية. تذكر أيضاً أن قوى الجاذبية الأرضية تجذب الجسم دائماً إلى أسفل باتجاه الأرض، لذا فعند دوران جسمٍ ما بشكل رأسي، تصبح قوى التوتر أعلى ما تكون في الجزء الأسفل من مداره حينما يبلغ سرعته القصوى - في حالة البندول تسمى تلك النقطة بنقطة الاتزان - وتصبح أدنى ما يكون في أعلى مداره حين يتحرك بأبطأ سرعةٍ له.
- ولنفترض في مثالنا أن اللوح الخشبي لم يعد يُرفع إلى الأعلى، وإنما صار يتأرجح كبندول، ولنفترض أن طول الحبل هو متر ونصف، وأن اللوح الخشبي يتحرك بسرعة 2 متر/ثانية لحظة مروره بأسفل نقطة في مداره. فإن أردنا حساب التوتر الناشئ عند أسفل المدار، فعلينا أولاً أن نعلم أن مقدار التوتر الذي تسببه الجاذبية في تلك النقطة هو نفسه عندما كان اللوح الخشبي في حالة الثبات: 98 نيوتن. ولإضافة قوى الجذب المركزية إلى المعادلة سنقوم بالحسابات التالية:
- قوى الجذب المركزية = الكتلة * مربع السرعة/نصف قطر المدار
- قوى الجذب المركزية = 10 * 2 2 /1.5
- قوى الجذب المركزية = 10 * 2.67 = 26.7 نيوتن.
- وبذلك، فإن قوى التوتر الكلية = 98 + 26.7 = '"124.7 نيوتن.'"
-
علينا أن ندرك أن مقدار التوتر الناشئ بسبب الجاذبية يتغير مع تغير موقع الجسم في مداره. فمقدار واتجاه قوى الجذب المركزية - كما ذكرنا بالأعلى - يتغيران أثناء دوران الجسم. وبالرغم من أن قوى الجاذبية ثابتة، إلا أن "قوى التوتر الناشئة بسبب الجاذبية" تتغير. فعندما لا يكون الجسم المتأرجح في أسفل نقطة من مداره (نقطة الاتزان) فإن قوى الجاذبية تجذبه بشكل مباشر إلى الأسفل، لكن قوى التوتر تشده إلى الأعلى بزاوية ما. ولذلك فإن قوى التوتر في هذه الحالة تعادل قدراً معيناً من قوى الجاذبية، ولا تعادلها بالكامل.
- لتبسيط المفهوم السابق، سنقوم بتقسيم قوى الجاذبية إلى مُتَّجِهَيْن. في أي نقطة في مدار جسم متأرجح كالبندول، يقوم الحبل بتشكيل زاوية "ثيتا" مع الخط المار بنقطة الاتزان ونقطة الدوران المركزية. ومع حركة البندول، نجد أن قوى الجاذبية (الكتلة * تسارع الجاذبية) يمكن أن تنقسم إلى متجهين اثنين: يؤثر أحدهما - ويساوي الكتلة * تسارع الجاذبية * جيب الزاوية ثيتا - كمماس للمدار وفي اتجاه نقطة الاتزان، ويؤثر الآخر - ويساوي الكتلة * تسارع الجاذبية * جيب تمام الزاوية ثيتا - بشكلٍ موازٍ لقوى التوتر، في الاتجاه العكسي. وقوى التوتر في هذه الحالة ستعاكس فقط المتجه الثاني (الخاص بجيب تمام الزاوية) الذي يؤثر بشكل مضاد لها، ولن تعاكس مجمل قوى الجاذبية (إلا عند نقطة الاتزان).
- ولنفترض أن حركة البندول تصنع زاوية مقدارها 15 درجة مع الخط الرأسي، وأن سرعة البندول 1.5 متر/ثانية، فيمكننا عندئذٍ حساب قوى التوتر كما يلي:
- التوتر الناشئ عن الجاذبية = 98 * جيب تمام زاوية 15 = 98 * 0.96 = 94.08 نيوتن.
- قوى الجذب المركزية = 10 * 1.5 2 /1.5 = 10 * 1.5 = 15 نيوتن.
- إجمالي قوى التوتر = التوتر الناشئ عن الجاذبية + قوى الجذب المركزية = 94.08 + 15 = '"109 نيوتن.'"
-
أدخِل الاحتكاك في حساباتك. عند شد جسم ما بواسطة حبل، تتولد قوى احتكاك تُضاف إلى قوى التوتر في الحبل. ويتم حساب قوى الاحتكاك بين جسمين بواسطة هذه المعادلة: قوى الاحتكاك = معامل الاحتكاك بين الجسمين * القوة العمودية بينهما. لاحظ أن الاحتكاك الساكن (قوى الاحتكاك الناشئة عند محاولة تحريك جسم ساكن) يختلف عن الاحتكاك المتحرك (قوى الاحتكاك الناشئة عند محاولة إبقاء الجسم المتحرك في حركته).
- ولنفترض أن الجسم الذي كتلته 10 كيلوجرامات لم يعد معلَّقاً، بل صارت هناك الآن محاولة لسحبه على الأرض باستخدام الحبل. ولنقل أن معامل الاحتكاك الحركي بالنسبة للأرضية هو 0.5 وأن سرعة اللوح الخشبي كانت ثابتة، ولكننا أردنا زيادة السرعة بمعدل 1 متر/ثانية 2
. لدينا الآن اختلافان مهمان، أولاً: لم نعد نحتاج إلى حساب التوتر الناشئ بسبب الجاذبية، فلم يعد الحبل الآن يشد الجسم عكس اتجاه الجاذبية، وثانياً: صرنا نحتاج إلى حساب التوتر الناشئ بسبب الاحتكاك، والتوتر الناشئ بسبب التسارع. وستصبح الحسابات كالتالي:
- القوى العمودية = 10 كيلوجرام * 9.8 (تسارع الجاذبية الأرضية) = 98 نيوتن.
- قوى الاحتكاك المتحرك = 0.5 * 98 نيوتن = 49 نيوتن.
- القوى الناشئة بسبب التسارع = 10 كيلوجرام * 1 متر/ثانية 2 = 10 نيوتن.
- إجمالي قوى التوتر = قوى الاحتكاك المتحرك + القوى الناشئة بسبب التسارع = 49 + 10 = "'59 نيوتن.'"
- ولنفترض أن الجسم الذي كتلته 10 كيلوجرامات لم يعد معلَّقاً، بل صارت هناك الآن محاولة لسحبه على الأرض باستخدام الحبل. ولنقل أن معامل الاحتكاك الحركي بالنسبة للأرضية هو 0.5 وأن سرعة اللوح الخشبي كانت ثابتة، ولكننا أردنا زيادة السرعة بمعدل 1 متر/ثانية 2
. لدينا الآن اختلافان مهمان، أولاً: لم نعد نحتاج إلى حساب التوتر الناشئ بسبب الجاذبية، فلم يعد الحبل الآن يشد الجسم عكس اتجاه الجاذبية، وثانياً: صرنا نحتاج إلى حساب التوتر الناشئ بسبب الاحتكاك، والتوتر الناشئ بسبب التسارع. وستصبح الحسابات كالتالي:
-
رفع أحمال متوازية رأسياً بواسطة البكرة. البكرات هي آلات بسيطة تتكون من قرص مُعلَّق يسمح لقوى التوتر في الحبل بتغيير اتجاهها. وفي حالة استخدام نموذج مبسط لنظام البكرة، فإن الحبل يمتد صاعداً من الجسم المعلق إلى البكرة، ثم يهبط إلى الأسفل، لينقسم الحبل بذلك إلى جزأين. مع ذلك، فإن قوى التوتر الناشئة في الجزأين متساوية، حتى إن تفاوتت مقادير القوى المؤثرة على طرفيّ الحبل. وفي نظام يحتوي على جسمين معلقين من بكرة رأسية، فإن التوتر الناشئ يساوي 2 * تسارع الجاذبية * (كتلة الجسم الأول) * (كتلة الجسم الثاني) / (كتلة الجسم الثاني + كتلة الجسم الأول).
- لاحظ أن البكرات المفترضة في مسائل الفيزياء هي "بكرات مثالية" أي أنها غير قابلة للكسر أو تغير الشكل، ويمكن إهمال كتلتها والاحتكاك الحادث فيها.
- ولنفترض وجود جسمين معلقين رأسياً من بكرة في حبلين متوازيين، وزن الجسم الأول 10 كيلوجرامات والثاني 5 كيلوجرامات. يمكن عندئذٍ حساب التوتر كما يلي:
- التوتر = 2 * تسارع الجاذبية * (كتلة الجسم الأول) * (كتلة الجسم الثاني) / (كتلة الجسم الثاني + كتلة الجسم الأول).
- التوتر = 2(9.8)(10)(5)/(5 + 10)
- التوتر = 19.6(50)/(15)
- التوتر = "'65.33 نيوتن.'"
- لاحظ هنا أن في حالة تساوي العوامل الأخرى، فإن كتلة أحد الأجسام أكبر من كتلة الآخر، مما يؤدي إلى حدوث تسارع، بهبوط الجسم الأثقل إلى أسفل وصعود الجسم الأخف إلى أعلى.
-
2رفع أحمال بواسطة بكرة باستخدام حبال غير متوازية. تُستخدم البكرات عادةً لتغيير اتجاه قوى التوتر إلى بحيث لا يصبح إلى الأعلى أو إلى الأسفل. فإذا تخيلنا جسماً معلقاً من أحد أطراف الحبل بشكل رأسي، والطرف الآخر موصول بجسم آخر على منحدرٍ مائل، وصار النظام على شكل مثلث أطرافه الجسم الأول والجسم الثاني والبكرة، فإن التوتر في تلك الحالة يتأثر بكلٍ من قوى الجاذبية ومُركبة قوى التوتر الموازية للجزء المائل من الحبل.
- ولنفترض أن لدينا نظاماً يتكون من جسم كتلته 10 كيلوجرامات معلق رأسياً وتربطه بكرة بجسم آخر كتلته 5 كيلوجرامات موضوع فوق منحدر زاويته 60 درجة (مع إهمال الاحتكاك في المنحدر). فسيكون من الأسهل أن نقوم أولاً بحساب القوى التي تؤدي إلى زيادة سرعة الجسمين، كما يلي:
- الجسم المعلق أثقل، ولا يوجد احتكاك هنا، لذا ستتزايد سرعة هبوطه إلى الأسفل، وبالتالي ستعمل قوى التوتر في الحبل على الجذب إلى أعلى، وفي هذه الحالة فإن محصلة القوى التي تؤدي إلى التسارع تساوي (كتلة الجسم الأول * تسارع الجاذبية) - (قوى التوتر)، أي 10 * 9.8 - (قوى التوتر)، أي 98 - (قوى التوتر).
- وبعلمنا أن الجسم فوق المنحدر ستتزايد سرعته في اتجاه أعلى المنحدر، وبأن قوى الاحتكاك هنا يمكن إهمالها، فستكون قوى التوتر هنا هي التي تشده إلى أعلى المنحدر، وسيكون وزن الجسم هو "فقط" القوة التي تجذبه إلى الأسفل. ويمكن في تلك الحالة حساب مُركبة القوى الجاذبة إلى أسفل باستخدام جيب زاوية المنحدر. وعندئذٍ ستكون محصلة القوى التي تؤدي إلى التسارع في اتجاه أعلى المنحدر تساوي (قوى التوتر) - (كتلة الجسم الثاني * تسارع الجاذبية * جيب زاوية المنحدر)، أي (قوى التوتر) - (5 * 8.9 * 0.87)، أي (قوى التوتر) - 42.63
- وبما أن التسارع الحادث للجسمين هو نفسه، إذن فالمعادلة تصبح: 98 - (قوى التوتر)/كتلة الجسم الأول = (قوى التوتر) - 42.63/كتلة الجسم الثاني. وبعد إجراء بعض الحسابات البسيطة نجد أن قوى التوتر = "'79.54 نيوتن.'"
-
استخدام أكثر من حبل لتعليق جسمٍ ما. وأخيراً، سننظر في مسألة جسم معلق في منظومة من الحبال على شكل حرف "واي"، بحيث يكون هناك حبلان متصلان بالسقف يلتقيان في نقطة مركزية، والتي يتدلى منها حبل ثالث يحمل في طرفه الجسم المعلق. قوى التوتر في الحبل الثالث واضحة، وهي ببساطة قوى التوتر الناشئة بسبب الجاذبية الأرضية وتساوي كتلة الجسم * تسارع الجاذبية. أما قوى التوتر في الحبلين الآخرين فهي تختلف، ويجب أن يعادل مجموعها قوى الجاذبية الأرضية في الاتجاه الرأسي إلى أعلى، وأن تساوي صفراً في الاتجاهات الأفقية عندما يكون النظام مستقراً. وفي تلك الحالة فإن قوى التوتر تتأثر بكلٍ من كتلة الجسم المعلق، والزاوية التي يصنعها كل حبل مع السقف.
- ولنفترض أن منظومة الحبال على شكل حرف "واي" تحمل جسماً كتلته 10 كيلوجرامات، وأن الحبلين العلويين يلتقيان بالسقف ليصنعا معه زاوية 30 درجة و60 درجة على الترتيب. فإذا أردنا حساب التوتر في هذين الحبلين، يلزمنا أن نضع في الاعتبار المُركبات الرأسية والأفقية الخاصة بقوى التوتر. ومع ذلك فالحبلان المتعامدان في حالتنا هنا يسهلان إجراء الحسابات باستخدام الدوال المثلثية، كما يلي:
- النسبة بين قوى التوتر في الحبل الأول أو الثاني وقوى التوتر في الحبل الثالث (الكتلة * تسارع الجاذبية) تكافئ جيب الزاوية التي يصنعها الحبل مع السقف. ففي الحبل الأول جيب زاوية 30 = 0.5 وفي الحبل الثاني جيب زاوية 60 = 0.87
- ولحساب قوى التوتر في الحبل الأول وفي الحبل الثاني، يُضرب جيب الزاوية في قوى التوتر في الحبل الثالث.
- قوى التوتر في الحبل الأول = 0.5 * الكتلة * تسارع الجاذبية = 0.5 * 10 * 9,8 = "'49 نيوتن.'"
- قوى التوتر في الحبل الثاني = 0.87 * الكتلة * تسارع الجاذبية = 0.87 * 10 * 9,8 = "'85.26 نيوتن.'"
