कैसे फिजिक्स में तनाव (tension) की गणना करें

सहयोगी लेखक द्वारा Bess Ruff, MA

भौतिक विज्ञान में, तनाव (tension) एक रस्सी, धागा, केबल, या समान एक या अधिक वस्तुओं पर लगाया गया बल है। किसी भी खींची हुई, लटकी हुई, सपोर्ट दी हुई, या रस्सी, तार, केबल आदि से झूलती हुई वस्तु इत्यादि पर तनाव का बल लगता है। ^{[१]
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रिसर्च सोर्स} सभी बलों की तरह, तनाव वस्तुओं की गति को तेज कर सकता है या उन्हें ख़राब कर सकता है। तनाव की गणना करने में सक्षम होना न केवल भौतिकी के छात्रों के लिए, बल्कि इंजीनियरों और आर्किटेक्ट के लिए भी एक ख़ास हुनर है, जो सुरक्षित इमारतों का निर्माण करते हैं, उन्हें यह पता होना चाहिए कि कोई भी रस्सी या केबल तनाव पर बचने या टूटने से पहले वस्तु के वजन के कारण खिंचाव का सामना कर सकता है या नहीं। कई फिजिकल सिस्टम्स में तनाव की गणना करने के तरीके जानने के लिए चरण 1 देखें।

विधि 1

विधि 1 का 2:

एक सिंगल धागे (Single Strand) पर तनाव निकालना

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1
धागे के प्रत्येक छोर पर तनाव को निकालें: किसी दिए धागे या रस्सी में तनाव रस्सी के दोनों सिरों पर लगने वाले बल का नतीजा होता है। याद रखने के लिए, बल = द्रव्यमान × त्वरण होता है। मान लीजिए कि रस्सी को कसकर खींचा जाता है, रस्सी के त्वरण या द्रव्यमान में कोई भी परिवर्तन रस्सी में तनाव में बदलाव कर देगा। गुरुत्वाकर्षण के कारण निरंतर त्वरण (constant acceleration) को न भूलें - भले ही एक सिस्टम रुका हुआ हो, लेकिन इसके घटकों पर यह बल लगता है। हम किसी दी गई रस्सी में तनाव T = (m × g) + (m × a) के रूप में सोच सकते हैं, जहां "g" रस्सी से बंधी हुई किसी वस्तु के गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है और "a" रस्सी से बंधी हुई किसी भी दूसरी वस्तु का त्वरण है। ^{[२]
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रिसर्च सोर्स}
- फिजिक्स के ज्यादातर सवालों के लिए, हम आदर्श तार मानते हैं - दूसरे शब्दों में, कि हमारी रस्सी, केबल, आदि पतली, भारहीन (massless) है, और इसे खींचा या तोड़ा नहीं जा सकता है।
- एक उदाहरण के रूप में, आइए एक सिस्टम को मानते हैं जहां एक वजन एक लकड़ी के बीम से एक रस्सी (चित्र देखें) के द्वारा लटका हुआ है। न तो वजन और न ही रस्सी हिल रही है - पूरी सिस्टम रुका हुआ है। इस कारण से, हम जानते हैं कि, वजन को संतुलन में रखने के लिए, तनाव बल को वजन पर गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, तनाव (F _t ) = गुरुत्वाकर्षण बल (F _g ) = m × g।
  - मान लीजिए कि एक वजन 10 kg है, तब तनाव बल 10 kg × 9.8 m/s ² = 98 न्यूटन है।
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2
बलों को निकालने के बाद त्वरण निकालना: गुरुत्वाकर्षण ही सिर्फ अकेला बल नहीं है जो रस्सी में तनाव पर असर करता है बल्कि रस्सी में बंधी वस्तु के त्वरण से संबंधित कोई भी बल कर सकता है। यदि उदाहरण के लिए, एक रस्सी या केबल से लटकी हुई वस्तु को एक बल से त्वरित (accelerate) कर रही है, तो त्वरण बल (acceleration force) (mass × acceleration) वस्तु के वजन द्वारा लगने वाले त्वरण में जुड़ जाता है।
- मान लीजिए कि, हमारे उदाहरण में 10 kg की वस्तु एक रस्सी से लटकी हुई है, जिसे एक लकड़ी के बीम से जोड़ने की वजाय, वजन को 1 m/s ² के त्वरण से रस्सी द्वारा खींचा जा रहा है। इस मामले में, हमें वजन पर त्वरण के साथ-साथ गुरुत्वाकर्षण बल भी इस प्रकार हल करके निकालना चाहिए:
  - F _t = F _g + m × a
  - F _t = 98 + 10 kg × 1 m/s ²
  - F _t = 108 न्यूटन ।
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3
घूर्णन त्वरण (rotational acceleration) निकालना: एक वस्तु को केंद्रीय बिंदु के चारों ओर एक रस्सी द्वारा (एक पेंडुलम की तरह) घुमाया जा रहा है, जो सेंट्रीपीटल बल द्वारा रस्सी पर तनाव डालती है। सेंट्रीपीटल बल रस्सी पर डाला गया तनाव बल है जो रस्सी पर वस्तु को भीतर की ओर "खींचकर" इसे आर्क में घुमाता है न कि एक सीधी रेखा में। वस्तु जितनी तेजी से चलती है, सेंट्रीपीटल बल उतना ही ज्यादा होता है। सेंट्रीपीटल बल (F _c ) m &times के बराबर होता है; v ² /r जहाँ "m" द्रव्यमान, "v" वेग, और "r" उस वृत्त की त्रिज्या है जिस आर्क में वस्तु घूमती है। ^{[३]
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रिसर्च सोर्स}
- चूंकि सेंट्रीपीटल बल की दिशा और मात्रा रस्सी पर चाल के अनुसार बदल जाती है और गति बदल जाती है, इसलिए रस्सी में कुल तनाव, जो हमेशा रस्सी के समानांतर केंद्रीय बिंदु की ओर खींचता है। यह भी याद रखें कि गुरुत्वाकर्षण बल लगातार वस्तु पर नीचे की ओर लग रहा है। इसलिए, यदि कोई वस्तु तेजी से घूमती या झूलती है, तो आर्क के तली (bottom) में कुल तनाव सबसे ज्यादा होता है (एक पेंडुलम के लिए, इसे संतुलन बिंदु (equilibrium point) कहा जाता है) जब वस्तु सबसे तेज चलती है और आर्क के शीर्ष (टॉप) पर सबसे कम होता है जब वस्तु सबसे धीमी गति से चलती है। ^{[४]
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  रिसर्च सोर्स}
- मान लीजिये कि हमारे उदाहरण में हमारी वस्तु ऊपर की ओर बिल्कुल भी नहीं बढ़ रही है बल्कि एक पेंडुलम की तरह झूल रही है। हम कहेंगे कि हमारी रस्सी 1.5 meters (4.9 ft) लंबी है और हमारा वजन 2 m/s से घूम रहा है जब यह अपनी स्विंग की तली से गुजरती है। यदि हम आर्क की तली (bottom) में तनाव की गणना करना चाहते हैं जब यह सबसे ज्यादा है, तो हम सबसे पहले यह पता करेंगे कि इस बिंदु पर गुरुत्व के कारण तनाव बराबर -98 न्यूटन है जब वजन को गतिहीन (motionless) रखा गया था। अतिरिक्त सेंट्रीपीटल बल को निकालने के लिए, हम इस प्रकार हल करेंगे:
  - F _c = m × v ² /r
  - F _c = 10 × 2 ² /1.5
  - F _c =10 × 2.67 = 26.7 Newtons.
  - इसलिए, हमारा कुल तनाव (total tension) 98 + 26.7 = 124.7 न्यूटन होगा।
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4
समझें कि एक झूलती हुई वस्तु के पूरे आर्क में गुरुत्व के कारण तनाव बदलता है: जैसा कि ऊपर बताया गया है, कि एक वस्तु के झूलने पर सेंट्रीपीटल बल की दिशा और मात्रा दोनों बदलते हैं। हालांकि, गुरुत्वाकर्षण बल स्थिर रहता है, लेकिन गुरुत्व से उत्पन्न तनाव भी बदल जाता है। जब एक झूलती हुई वस्तु अपने आर्क (उसके संतुलन बिंदु) के तल पर 'नहीं' होती है, तो गुरुत्वाकर्षण सीधे नीचे की ओर लग रहा है, लेकिन तनाव एक कोण पर लग रहा है। इस कारण, तनाव को इसमें जुड़ने के बजाय गुरुत्व के कारण लगने वाले बल का संतुलन करना पड़ता है।
- गुरुत्वाकर्षण बल को दो वैक्टर में तोड़ने से आपको इस सिद्धांत को समझने में मदद मिल सकती है। एक उर्ध्वाधर (vertical) झूलती हुई वस्तु के आर्क में किसी भी बिंदु पर, रस्सी संतुलन बिंदु और रोटेशन के केंद्रीय बिंदु के साथ एक कोण "θ" बनाती है। जैसे ही पेंडुलम झूलता है, गुरुत्वाकर्षण बल (m × g) को दो वेक्टर में तोड़ा जा सकता है - संतुलन बिंदु की दिशा में आर्क के टैंजेंट पर लगता mgsin(θ) और तनाव बल की विपरीत दिशा में सामानांतर लगता mgcos(θ)। तनाव को केवल इसके विपरीत लगने वाले बल mgcos(θ) को संतुलित करना पड़ता है - न कि पूरे गुरुत्वाकर्षण बल को (संतुलन बिंदु के अलावा, जहाँ ये बराबर हैं)।
- मान लीजिए जब हमारा पेंडुलम उर्ध्वाधर (vertical) से 15 degrees का कोण बनाते हुए, यह 1.5 m/s से घूम रहा है. तो हम तनाव को इस प्रकार हल करेंगे:
  - गुरुत्व के कारण तनाव (T _g ) = 98cos(15) = 98(0.96) = 94.08 न्यूटन
  - सेंट्रीपीटल बल (F _c ) = 10 × 1.5 ² /1.5 = 10 × 1.5 = 15 न्यूटन
  - कुल तनाव = T _g + F _c = 94.08 + 15 = 109.08 न्यूटन
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5
घर्षण (friction) को निकालना: किसी भी वस्तु को रस्सी द्वारा खींचे जाने पर वह घर्षण से दूसरी वस्तु (या तरल पदार्थ) के विरुद्ध "खींच" बल का अनुभव करती है, जो कि इस बल को रस्सी में तनाव के लिए ट्रान्सफर करती है। दो वस्तुओं के बीच घर्षण से बल की गणना की जाती है जैसे किसी अन्य स्थिति में निम्न समीकरण द्वारा की जाएगी: घर्षण के कारण बल (अक्सर F _r लिखा जाता है) = (mu)N, जहाँ mu दो वस्तुओं के बीच का घर्षण गुणांक (friction coefficient) और N दो वस्तुओं के बीच का सामान्य बल है, या वह बल जिससे वे एक दूसरे को दबा रहे हैं। स्थैतिक घर्षण (static friction) को नोट करें - वह घर्षण जो किसी रुकी हुई वस्तु को गति में लाने पर लगता है - यह गतिज घर्षण (kinetic friction) से अलग होता है - वह घर्षण जो किसी चलती हुई वस्तु को गति में रखने पर लगता है।
- मान लीजिए कि हमारा 10 किलो वजन अब झूल नहीं रहा है, लेकिन अब इसे हमारी रस्सी द्वारा जमीन के साथ क्षैतिज रूप से (horizontally) खींचा जा रहा है। मान लीजिए कि जमीन का गतिज घर्षण गुणांक 0.5 है और हमारा वजन स्थिर गति से बढ़ रहा है, लेकिन हम इसे 1 m/s ² पर गति देना चाहते हैं। इस नयी समस्या में दो ख़ास बदलाव दिखते हैं - पहला, हमें गुरुत्व के कारण तनाव की गणना करने की जरूरत नहीं है क्योंकि हमारी रस्सी वजन को इसके बल के विरुद्ध सपोर्ट नहीं कर रही है। दूसरा, हमें घर्षण के साथ साथ वजन के द्रव्यमान को त्वरित (accelerate) करने से उत्पन्न तनाव पर ध्यान देना होगा. हम इसे इस प्रकार हल करेंगे:
  - सामान्य बल (N) = 10 kg × 9.8 (गुरुत्व से त्वरण) = 98 N
  - गतिज घर्षण से बल (F _r ) = 0.5 × 98 N = 49 न्यूटन
  - त्वरण से बल (F _a ) = 10 kg × 1 m/s ² = 10 न्यूटन
  - कुल तनाव = F _r + F _a = 49 + 10 = 59 न्यूटन ।

विधि 2

विधि 2 का 2:

कई धागों (multiple strands) पर तनाव की गणना करना

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1
एक पुली का उपयोग करके समानांतर ऊर्ध्वाधर भार (parallel vertical loads) उठाएं: पुली एक लटकी हुई डिस्क वाली सरल मशीन हैं जो एक रस्सी में तनाव बल को दिशा बदलने देती है। एक साधारण पुली में, रस्सी या केबल एक लटके हुए वजन से पुली तक जाती है, फिर दूसरे तरफ नीचे जाकर, 2 लम्बाई की रस्सी या केबल बनाती हैं। हालांकि, रस्सी के दोनों सेक्शन में तनाव बराबर है, भले ही रस्सी के दोनों छोर अलग-अलग मात्रा के बलों द्वारा खींचे जा रहे हैं। एक उर्ध्वाधर पुली (vertical pulley) से लटके दो वजनों के सिस्टम में, तनाव 2g(m ₁ )(m ₂ )/(m ₂ +m ₁ ) बराबर होता है, जहाँ "g" गुरुत्व का त्वरण, "m ₁ " वस्तु 1 का द्रव्यमान, और "m ₂ " वस्तु 2 का द्रव्यमान है। ^{[५]
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रिसर्च सोर्स}
- नोट करें, फिजिक्स के ज्यादातर सवालों में, हम आदर्श पुली - भारहीन (motionless), घर्षणहीन पुली जिसे तोड़ा, बिगाड़ा नहीं जा सकता है या छत, रस्सी इत्यादि से अलग हो जाती है जो इन्हें सहारा देते हैं।
- मान लीजिए कि हमारे पास समानांतर धागों में पुली से दो वजन उर्ध्वाधर (vertically) लटके हुए हैं। वजन 1 का द्रव्यमान 10 किलो है, जबकि वजन 2 का द्रव्यमान 5 किलोग्राम है। इस मामले में, हम तनाव निम्नानुसार पाएंगे:
  - T = 2g(m ₁ )(m ₂ )/(m ₂ +m ₁ )
  - T = 2(9.8)(10)(5)/(5 + 10)
  - T = 19.6(50)/(15)
  - T = 980/15
  - T = 65.33 न्यूटन
- नोट करें, क्योंकि एक वजन दूसरे से ज्यादा भारी है, सभी दूसरी चीजों के समान होने पर, 10 kg के नीचे जाने और 5 kg वजन के ऊपर जाने पर यह सिस्टम त्वरित होना (accelerate) शुरू हो जायेगा।
2
गैर-समानांतर (non-parallel) ऊर्ध्वाधर धागों से एक पुली का उपयोग करके वजन उठायें: पुली का उपयोग अक्सर तनाव को ऊपर या नीचे के अलावा अलग दिशा में डालने के लिए किया जाता है। यदि, उदाहरण के लिए, एक वजन रस्सी के एक छोर से उर्ध्वाधर (vertically) लटका हुआ है, जबकि दूसरा छोर पर दूसरा वजन एक विकर्ण ढलान (diagonal slope) पर लटका हुआ है, तो गैर-समानांतर पुली सिस्टम पहले वजन, दूसरे वजन और पुली के साथ त्रिकोण का आकार लेता है। इस मामले में, रस्सी पर तनाव वजन पर गुरुत्व बल और खींचने वाले बल के घटक द्वारा प्रभावित होता है जो रस्सी के विकर्ण खंड (diagonal section) के समानांतर होता है। ^{[६]
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रिसर्च सोर्स}
- मान लीजिए कि हमारे पास 10 kg वजन का सिस्टम (m ₁ ) उर्ध्वाधर लटकते हुए एक पुली से एक 5 kg के वजन (m ₂ ) से 60 degree से रैंप पर रखा हुआ है (मानिये कि रैंप घर्षणहीन है) रस्सी में तनाव पता करने के लिए, पहले वजन को त्वरित करने वाले बलों को पता करना सबसे आसान है। इस तरह निकालें:
  - लटकता हुआ वजन भारी है और हम घर्षण के साथ काम नहीं कर रहे हैं, इसलिए हमें पता है कि यह नीचे की तरफ त्वरित होगा। हालाँकि रस्सी का तनाव इसे ऊपर की ओर खींच रहा है, इसलिए यह शुद्ध बल F = m ₁ (g) - T, or 10(9.8) - T = 98 - T के कारण त्वरित हो रहा है।
  - हम जानते हैं कि रैंप पर वजन रैंप को त्वरित (accelerate) करेगा। चूंकि रैंप घर्षणहीन है, हम जानते हैं कि तनाव रैंप को ऊपर खींच रहा है और केवल स्वयं का वजन इसे नीचे खींच रहा है। रैंप को नीचे खींचने वाले बल के घटक को sin(θ) दिया जाता है, इसलिए, हमारे मामले में, हम कह सकते हैं कि यह रैंप को शुद्ध बल F = T - m ₂ (g)sin(60) = T - 5(9.8)(.87) = T - 42.63 के कारण तेज कर रहा है। ^{[७]
    X
    रिसर्च सोर्स}
  - दो वजनों का त्वरण एक सामान है, इसलिए हमारे पास (98 - T)/m ₁ = (T - 42.63) /m ₂ है. इस समीकरण को हल करने के थोड़े से मामूली काम के बाद, आखिर में हमारे पास T = 60.96 न्यूटन है।
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3
लटकती हुई वस्तु को सहारा देने के लिए कई धागों का उपयोग करें: अंत में, मान लीजिये कि एक वस्तु रस्सियों के "Y-आकार" सिस्टम से लटकी हुई है - दो रस्सियां छत से जुड़ी हुई हैं, जो एक केंद्रीय बिंदु पर मिलती हैं, जहां से एक तीसरी रस्सी से वजन लटका हुआ है। तीसरी रस्सी में तनाव स्पष्ट है - यह तनाव गुरुत्वाकर्षण बल या m(g) के कारण है। दूसरी दो रस्सियों में तनाव अलग-अलग हैं और ऊपर की ओर ऊर्ध्वाधर दिशा में गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर और क्षैतिज दिशा में शून्य के बराबर होना चाहिए, यह मानते हुए कि सिस्टम रुका हुआ है। रस्सियों में तनाव पर लटके हुए वजन के द्रव्यमान और कोण का असर होता है जिस पर प्रत्येक रस्सी छत से मिलती है। ^{[८]
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रिसर्च सोर्स}
- चलिए कहते हैं कि हमारे Y-आकार सिस्टम में जिसमें नीचे के वजन का द्रव्यमान 10 kg है और दो ऊपरी रस्सी क्रमशः 30 डिग्री और 60 डिग्री पर छत से मिलती हैं। यदि हम प्रत्येक ऊपरी रस्सी में तनाव ढूंढना चाहते हैं, तो हमें प्रत्येक तनाव के ऊर्ध्वाधर (vertical) और क्षैतिज (horizontal) घटकों पर विचार करना होगा। बहरहाल, इस उदाहरण में, दो रस्सियाँ एक दूसरे के लंबवत (perpendicular) होती हैं, जिससे त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं के अनुसार आसानी से गणना इस प्रकार की जाती है:
  - T ₁ या T ₂ और T = m(g) के बीच का अनुपात दोनों रस्सियों और छत के बीच के sine कोण के बराबर होता है। T ₁ के लिए, sin(30) = 0.5, जब कि T ₂ के लिए, sin(60) = 0.87 है।
  - T ₁ और T ₂ पता करने के लिए नीचे वाली रस्सी के तनाव (T = mg) को प्रत्येक कोण के sine से गुणा करें।
  - T ₁ = .5 × m(g) = .5 × 10(9.8) = 49 न्यूटन ।
  - T ₂ = .87 × m(g) = .87 × 10(9.8) = 85.26 न्यूटन ।

[१]

[२]

[३]

[४]

[५]

[६]

[७]

[८]

लॉग इन

कैसे फिजिक्स में तनाव (tension) की गणना करें

चरण

एक सिंगल धागे (Single Strand) पर तनाव निकालना

कई धागों (multiple strands) पर तनाव की गणना करना

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