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Logarithmen dividieren

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unter Mitarbeit von Grace Imson, MA

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Auf den ersten Blick könnten Logarithmen so aussehen, als seien sie schwierig zu berechnen. Allerdings gilt hierbei das gleiche wie bei Exponenten oder Polynomen: Du brauchst nur die richtige Technik. Dazu musst du lediglich einige Grundeigenschaften kennen, um zwei Logarithmen zur selben Basis zu dividieren oder einen Logarithmus mit einem Quotienten zu erweitern.

Methode 1

Methode 1 von 2:

Logarithmen händisch dividieren

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1
Achte auf negative Zahlen und Einser. Mit dieser Methode können Aufgaben der Form ${\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}$ gelöst werden. Allerdings funktioniert sie nicht bei einigen Spezialfällen: ^{[1]
X
Forschungsquelle}
- Der Logarithmus einer negativen Zahl (beispielsweise $\log(-3)$ oder $\log _{4}(-5)$ ) ist nicht definiert. Dies gilt für jede beliebige Basis. Schreibe in diesem Fall "keine Lösung".
- Auch der Logarithmus von Null ist zur jeden beliebigen Basis nicht definiert. Sobald du einen Term wie $\ln(0)$ siehst, kannst du "keine Lösung" schreiben.
- Der Logarithmus von eins ( $\log(1)$ ) ergibt zu jeder Basis immer Null, da $x^{0}=1$ für alle Werte von x gilt. Anstatt also die unten beschriebene Methode zu verwenden, kannst du diesen Logarithmus durch 0 ersetzen.
- Wenn zwei Logarithmen unterschiedliche Basen, wie zum Beispiel ${\frac {log_{3}(x)}{log_{4}(a)}}$ , haben und du keinen von beiden zu einer ganzen Zahl vereinfachen kannst, kann die Aufgabe nicht per Hand gelöst werden.
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2
Schreibe den Ausdruck zu einem einzigen Logarithmus um. Angenommen du hast keinen der oben beschriebenen Fälle, dann kannst du die Aufgabe zu einem einzigen Logarithmus vereinfachen. Dazu solltest du die Formel ${\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}=\log _{a}(x)$ verwenden. ^{[2]
X
Forschungsquelle}
- Beispiel 1: Berechne ${\frac {\log {16}}{\log {2}}}$ .
  Zuerst solltest du es zu einem Logarithmus mit der oben aufgeführten Formel umformen: ${\frac {\log {16}}{\log {2}}}=\log _{2}(16)$ .
- Diese Formel wird für den "Basiswechsel" verwendet und ergibt sich aus den Grundeigenschaften vom Logarithmus.
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3
Berechne wenn möglich per Hand. Um Aufgaben wie $\log _{a}(x)$ zu lösen, solltest du dir Folgendes überlegen: " $a^{?}=x$ " oder "Mit welchen Exponenten kann ich a potenzieren, um x zu erhalten?" Solche Aufgaben lassen sich nicht immer ohne Taschenrechner lösen. Wenn du aber Glück hast, kannst du deinen Logarithmus-Ausdruck stark vereinfachen. ^{[3]
X
Forschungsquelle}
- Fortsetzung von Beispiel 1: Schreibe $\log _{2}(16)$ in $2^{?}=16$ um. Die Lösung der Aufgabe entspricht dem Wert von "?". Du könntest ihn beispielsweise durch Rumprobieren finden:
  $2^{2}=2*2=4$
  $2^{3}=4*2=8$
  $2^{4}=8*2=16$
  Die Gesuchte Zahl ist also 16, sodass folgt: $\log _{2}(16)$ = 4 .
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4
Wenn du das Ergebnis nicht weiter vereinfachen kannst, solltest du den Logarithmus stehen lassen. Manche Logarithmen lassen sich nur sehr schwer per Hand lösen und du bräuchtest einen Taschenrechner, wenn du das Ergebnis für praktische Zwecke berechnest. Wenn du die Aufgabe aber im Matheunterricht löst, wird dein Lehrer höchstwahrscheinlich erwarten, dass du das Ergebnis als Logarithmus angibst. Hier kommt ein weiteres Beispiel, wie man diese Methode in etwas komplexeren Aufgaben anwendet: ^{[4]
X
Forschungsquelle}
- Beispiel 2: Was ist das Ergebnis von ${\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}$ ?
- Schreibe den Ausdruck in einen einzigen Logarithmus um: ${\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}=\log _{7}(58)$ . (Beachte, dass ₃ in jedem Ausgangslogarithmus verschwindet. Dies gilt für jede beliebige Basis.)
- Schreibe um in: $7^{?}=58$ und überprüfe die möglichen Werte von ?:
  $7^{2}=7*7=49$
  $7^{3}=49*7=343$
  Da 58 zwischen diesen beiden Zahlen liegt, ist $\log _{7}(58)$ keine ganze Zahl.
- Lass das Ergebnis als $\log _{7}(58)$ .
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Methode 2

Methode 2 von 2:

Arbeite mit dem Logarithmus eines Quotienten

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1
Beginne mit einer Division innerhalb des Logarithmus. In diesem Abschnitt lernst du, wie man Aufgaben der Form $\log _{a}({\frac {x}{y}})$ löst. ^{[5]
X
Forschungsquelle}
- Beginne Beispielsweise mit der Aufgabe:
  "Bestimme n für $\log _{3}({\frac {27}{6n}})=-6-\log _{3}(6)$ ."
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2
Überprüfe auf negative Zahlen. Der Logarithmus einer negativen Zahl ist nicht definiert. Wenn x oder y also negative Zahlen sind, solltest du überprüfen, ob die Aufgabe überhaupt eine Lösung hat, bevor du die Berechnung beginnst: ^{[6]
X
Forschungsquelle}
- Wenn entweder x oder y negativ ist, gibt es keine Lösung.
- Wenn sowohl x als auch y negativ sind, solltest du die negativen Vorzeichen entfernen, indem du ${\frac {-x}{-y}}={\frac {x}{y}}$ anwendest.
- Da in dieser Aufgabe keine Logarithmen von negativen Zahlen auftreten, kannst du mit dem nächsten Schritt fortfahren.
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3
Teile den Quotienten auf zwei Logarithmen auf. Eine nützliche Eigenschaft von Logarithmen wird durch $\log _{a}({\frac {x}{y}})=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$ beschrieben. Anders formuliert entspricht der Logarithmus eines Quotienten immer dem Logarithmus des Zählers minus dem Logarithmus des Nenners. ^{[7]
X
Forschungsquelle}
- Schreibe damit die linke Seite im Beispiel um:
  $\log _{3}({\frac {27}{6n}})=\log _{3}(27)-\log _{3}(6n)$
- Setze das Ergebnis zurück in die ursprüngliche Gleichung ein:
  $\log _{3}({\frac {27}{6n}})=-6-\log _{3}(6)$
  →
  $\log _{3}(27)-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)$
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4
Vereinfache die Logarithmen, wenn möglich. Wenn die neuen Logarithmen in der Gleichung eine ganzzahlige Lösung haben, solltest du sie jetzt vereinfachen.
- Die Beispielaufgabe hat einen Ausdruck der Form $\log _{3}(27)$ . Da 3 ³ = 27, wird $\log _{3}(27)$ zu 3 vereinfacht.
- Insgesamt ergibt sich nun die Gleichung zu:
  $3-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)$ .
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5
Forme nach der Variablen um. Wie auch in jedem anderen algebraischen Problem ist es hilfreich, die Variable auf eine Seite der Gleichung zu bringen. Fasse gleiche Terme wenn möglich zusammen, um die Gleichung zu vereinfachen.
- $3-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)$
  $9-\log _{3}(6n)=-\log _{3}(6)$
  $\log _{3}(6n)=9+\log _{3}(6)$ .
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6
Verwende wenn nötig weitere Eigenschaften von Logarithmen. Um die Variable von anderen Termen im selben Logarithmus zu isolieren, kannst du den Term über andere Eigenschaften von Logarithmen umschreiben .
- In der Beispielaufgabe ist das n noch immer im Term $\log _{3}(6n)$ gefangen.
  Um das n zu isolieren, solltest du die Produkteigenschaft vom Logarithmus ausnutzen: $\log _{a}(bc)=\log _{a}(b)+\log {a}(c)$
  $\log _{3}(6n)=\log _{3}(6)+\log _{3}(n)$ .
- Setze es zurück in die Gesamtgleichung ein:
  $\log _{3}(6n)=9+\log _{3}(6)$
  $\log _{3}(6)+\log _{3}(n)=9+\log _{3}(6)$ .
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7
Vereinfache weiter, bis du auf die Lösung kommst. Wiederhole die gleichen algebraischen und logarithmischen Rechnungen, um die Aufgabe zu lösen. Wenn es keine ganzzahlige Lösung gibt, kannst du auch einen Taschenrechner benutzen und das Ergebnis auf die nächste signifikante Zahl runden.
- $\log _{3}(6)+\log _{3}(n)=9+\log _{3}(6)$
  $\log _{3}(n)=9$
  Weil 3 ⁹ = 19683, n =19683
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Referenzen

Über dieses wikiHow

unter Mitarbeit von :

Grace Imson, MA

Mathelehrerin

Dieser Artikel wurde unter Mitarbeit von Grace Imson, MA erstellt. Grace Imson ist eine Mathelehrerin mit mehr als 40 Jahren Unterrichtserfahrung. Grace ist derzeit Mathelehrerin am City College of San Francisco und war vorher am Math Department an der Saint Louis University tätig. Sie hat Mathematik auf der Ebene von Grundschulen, Sekundarschulen und Hochschulen unterrichtet. Sie hat einen Master in Erziehungswissenschaften mit dem Schwerpunkt auf Verwaltung und Betreuung von der Saint Louis University. Dieser Artikel wurde 6.260 Mal aufgerufen.

Kategorien: Mathematik

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