Skip to Content

Вход/Регистрация

Как делить логарифмы

Загрузить PDF

Соавтор(ы): Grace Imson, MA

Загрузить PDF

Действия с логарифмами могут показаться довольно сложными, но, как и со степенными функциями или многочленами, необходимо просто знать основные правила. Их совсем немного: чтобы поделить логарифмы с одинаковым основанием или разложить логарифм частного, достаточно использовать пару основных свойств логарифмов.

Метод 1

Метод 1 из 2:

Как делить логарифмы вручную

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2f\/Divide-Logarithms-Step-1-Version-3.jpg\/v4-460px-Divide-Logarithms-Step-1-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2f\/Divide-Logarithms-Step-1-Version-3.jpg\/v4-728px-Divide-Logarithms-Step-1-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Проверьте, не стоят ли под знаком логарифма отрицательные числа или единица. Данный метод применим к выражениям вида ${\frac {\log _{{b}}(x)}{\log _{{b}}(a)}}$ . Однако он не годится для некоторых особых случаев: ^{[1]
X
Источник информации}
- Логарифм отрицательного числа не определен при любом основании (например, $\log(-3)$ или $\log _{{4}}(-5)$ ). В этом случае напишите "нет решения".
- Логарифм нуля по любому основанию также не определен. Если вам попался $\ln(0)$ , запишите "нет решения".
- Логарифм единицы по любому основанию ( $\log(1)$ ) всегда равен нулю, поскольку $x^{{0}}=1$ для всех значений x . Запишите вместо такого логарифма 1 и не используйте приведенный ниже метод.
- Если логарифмы имеют разные основания, например ${\frac {log_{{3}}(x)}{log_{{4}}(a)}}$ , и не сводятся к целым числам, значение выражения нельзя найти вручную.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/25\/Divide-Logarithms-Step-2-Version-3.jpg\/v4-460px-Divide-Logarithms-Step-2-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/25\/Divide-Logarithms-Step-2-Version-3.jpg\/v4-728px-Divide-Logarithms-Step-2-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Преобразуйте выражение в один логарифм. Если выражение не относится к приведенным выше особым случаям, его можно представить в виде одного логарифма. Используйте для этого следующую формулу: ${\frac {\log _{{b}}(x)}{\log _{{b}}(a)}}=\log _{{a}}(x)$ .
- Пример 1: рассмотрим выражение ${\frac {\log {16}}{\log {2}}}$ .
  Для начала представим выражение в виде одного логарифма с помощью приведенной выше формулы: ${\frac {\log {16}}{\log {2}}}=\log _{{2}}(16)$ .
- Эта формула "замены основания" логарифма выводится из основных свойств логарифмов.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2a\/Divide-Logarithms-Step-3-Version-3.jpg\/v4-460px-Divide-Logarithms-Step-3-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2a\/Divide-Logarithms-Step-3-Version-3.jpg\/v4-728px-Divide-Logarithms-Step-3-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
При возможности вычислите значение выражения вручную. Чтобы найти $\log _{{a}}(x)$ , представьте себе выражение " $a^{{?}}=x$ ", то есть задайтесь следующим вопросом: "В какую степень необходимо возвести a , чтобы получить x ?". Для ответа на этот вопрос может потребоваться калькулятор, но если вам повезет, вы сможете найти его вручную.
- Пример 1 (продолжение): Перепишите $\log _{{2}}(16)$ в виде $2^{{?}}=16$ . Необходимо найти, какое число должно стоять вместо знака "?". Это можно сделать методом проб и ошибок:
  $2^{{2}}=2*2=4$
  $2^{{3}}=4*2=8$
  $2^{{4}}=8*2=16$
  Итак, искомым числом является 4: $\log _{{2}}(16)$ = 4 .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/08\/Divide-Logarithms-Step-4-Version-3.jpg\/v4-460px-Divide-Logarithms-Step-4-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/08\/Divide-Logarithms-Step-4-Version-3.jpg\/v4-728px-Divide-Logarithms-Step-4-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Оставьте ответ в логарифмической форме, если вам не удается упростить его. Многие логарифмы очень сложно вычислить вручную. В этом случае, чтобы получить точный ответ, вам потребуется калькулятор. Однако если вы решаете задание на уроке, то учителя, скорее всего, удовлетворит ответ в логарифмическом виде. Ниже рассматриваемый метод использован для решения более сложного примера:
- пример 2: чему равно ${\frac {\log _{{3}}(58)}{\log _{{3}}(7)}}$ ?
- Преобразуем данное выражение в один логарифм: ${\frac {\log _{{3}}(58)}{\log _{{3}}(7)}}=\log _{{7}}(58)$ . Обратите внимание, что общее для обоих логарифмов основание ₃ исчезает; это справедливо для любого основания.
- Перепишем выражение в виде $7^{{?}}=58$ и попробуем найти значение ?:
  $7^{{2}}=7*7=49$
  $7^{{3}}=49*7=343$
  Поскольку 58 находится между этими двумя числами, $\log _{{7}}(58)$ не выражается целым числом.
- Оставляем ответ в логарифмическом виде: $\log _{{7}}(58)$ .
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 2:

Как находить логарифмы частного

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/36\/Divide-Logarithms-Step-5-Version-3.jpg\/v4-460px-Divide-Logarithms-Step-5-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/36\/Divide-Logarithms-Step-5-Version-3.jpg\/v4-728px-Divide-Logarithms-Step-5-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Рассмотрим случай, когда под знаком логарифма стоит частное (дробь). Данный раздел посвящен выражениям вида $\log _{{a}}({\frac {x}{y}})$ .
- Предположим, необходимо решить следующее задание:
  "Найдите n, при котором $\log _{{3}}({\frac {27}{6n}})=-6-\log _{{3}}(6)$ ".
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/86\/Divide-Logarithms-Step-6-Version-3.jpg\/v4-460px-Divide-Logarithms-Step-6-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/86\/Divide-Logarithms-Step-6-Version-3.jpg\/v4-728px-Divide-Logarithms-Step-6-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Проверьте, нет ли под знаком логарифма отрицательных чисел. Логарифм отрицательного числа не определен. Если x или y отрицательны, убедитесь в том, что задача имеет решение, прежде чем приступать к его поиску:
- Если x или y меньше нуля, задача не имеет решения.
- Если оба числа x и y отрицательны, сократите знак минус: ${\frac {-x}{-y}}={\frac {x}{y}}$ .
- В приведенном выше примере под знаком логарифма нет отрицательных чисел, поэтому можно перейти к следующему шагу.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/56\/Divide-Logarithms-Step-7-Version-3.jpg\/v4-460px-Divide-Logarithms-Step-7-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/56\/Divide-Logarithms-Step-7-Version-3.jpg\/v4-728px-Divide-Logarithms-Step-7-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Разложите логарифм частного на два логарифма. Еще одно полезное свойство логарифмов описывается следующей формулой: $\log _{{a}}({\frac {x}{y}})=\log _{{a}}(x)-\log _{{a}}(y)$ . Иными словами, логарифм частного всегда равен разности логарифмов делимого и делителя. ^{[2]
X
Источник информации}
- Используем эту формулу, чтобы разложить левую часть равенства:
  $\log _{{3}}({\frac {27}{6n}})=\log _{{3}}(27)-\log _{{3}}(6n)$
- Подставим полученное выражение в наше равенство:
  $\log _{{3}}({\frac {27}{6n}})=-6-\log _{{3}}(6)$
  →
  $\log _{{3}}(27)-\log _{{3}}(6n)=-6-\log _{{3}}(6)$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/21\/Divide-Logarithms-Step-8-Version-3.jpg\/v4-460px-Divide-Logarithms-Step-8-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/21\/Divide-Logarithms-Step-8-Version-3.jpg\/v4-728px-Divide-Logarithms-Step-8-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
По возможности упростите выражение. Если получившиеся логарифмы представляются целыми числами, можно упростить выражение.
- В нашем примере появился новый член: $\log _{{3}}(27)$ . Поскольку 3 ³ = 27, вместо $\log _{{3}}(27)$ можно подставить 3 .
- В результате получаем следующее выражение:
  $3-\log _{{3}}(6n)=-6-\log _{{3}}(6)$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a7\/Divide-Logarithms-Step-9-Version-3.jpg\/v4-460px-Divide-Logarithms-Step-9-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a7\/Divide-Logarithms-Step-9-Version-3.jpg\/v4-728px-Divide-Logarithms-Step-9-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Отделим неизвестную величину. Как и при решении других алгебраических уравнений, рекомендуется перенести искомую величину в одну сторону, а все остальные члены — в другую сторону уравнения. При этом объединяйте подобные члены, чтобы упростить уравнение.
- $3-\log _{{3}}(6n)=-6-\log _{{3}}(6)$
  $9-\log _{{3}}(6n)=-\log _{{3}}(6)$
  $\log _{{3}}(6n)=9+\log _{{3}}(6)$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/af\/Divide-Logarithms-Step-10-Version-3.jpg\/v4-460px-Divide-Logarithms-Step-10-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/af\/Divide-Logarithms-Step-10-Version-3.jpg\/v4-728px-Divide-Logarithms-Step-10-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

6
При необходимости используйте другие свойства логарифмов. В нашем случае неизвестная величина стоит под знаком логарифма. Чтобы отделить ее от других членов, следует использовать другие свойства логарифмов .
- В нашем примере n входит в состав слагаемого $\log _{{3}}(6n)$ .
  Чтобы отделить n , используем следующее свойство логарифмов: $\log _{{a}}(bc)=\log _{{a}}(b)+\log {a}(c)$
  $\log _{{3}}(6n)=\log _{{3}}(6)+\log _{{3}}(n)$
- Подставим эту сумму логарифмов в наше выражение:
  $\log _{{3}}(6n)=9+\log _{{3}}(6)$
  $\log _{{3}}(6)+\log _{{3}}(n)=9+\log _{{3}}(6)$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/5c\/Divide-Logarithms-Step-11-Version-3.jpg\/v4-460px-Divide-Logarithms-Step-11-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/5c\/Divide-Logarithms-Step-11-Version-3.jpg\/v4-728px-Divide-Logarithms-Step-11-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

7
Продолжайте упрощать выражение, пока не получите ответ. Используйте для этого правила алгебры и свойства логарифмов. Если ответ не выражается целым числом, используйте калькулятор и округлите результат до ближайшей значимой цифры .
- $\log _{{3}}(6)+\log _{{3}}(n)=9+\log _{{3}}(6)$
  $\log _{{3}}(n)=9$
  Так как 3 ⁹ = 19683, n =19683 .
Реклама

Дополнительные статьи

Реклама

Источники

Об этой статье

Соавтор(ы): :

Grace Imson, MA

Преподаватель математики

Соавтор(ы): Grace Imson, MA . Грейс Имсон — преподаватель математики с более чем 40 годами опыта. В настоящее время преподает математику в Городском колледже Сан-Франциско, ранее работала на кафедре математики в Сент-Луисском университете. Преподавала математику на уровне начальной, средней и старшей школы, а также колледжа. Имеет магистерскую степень по педагогике со специализацией на руководстве и контроле, полученную в Сент-Луисском университете. Количество просмотров этой статьи: 31 969.

Категории: Математика

На других языках

Английский

Испанский

Итальянский

Нидерландский

Немецкий

Французский

Печать

Эту страницу просматривали 31 969 раз.

Была ли эта статья полезной?

Реклама

-

-

3702

.mwimg a.image{display:none}#header_logo{display:none}#cse-search-box{display:none}#cse-search-box-noscript{display:block !important}#cse-search-box-noscript .cse_q{color:#FFF;background-color:#B3CE9C}.wh_search .cse_q{width:88%}#mw-mf-main-menu-button{display:none;visibility:hidden}.header .search{display:none}#search_footer .cse_sa{background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/white_mag.png);background-size:22px}.related_box{display:block;background:#EEE;border:5px solid #FFF;vertical-align:bottom;width:127px;background-size:180px;float:left;height:120px;position:relative}.related_box p{line-height:15px !important;font-size:13px;background-color:rgba(67,95,44,.4);color:#FFF;font-weight:bold;padding:8px;margin:0 !important;position:absolute;bottom:0}#noscript_header_logo{display:table-cell;vertical-align:middle;background-position:50% 77%;background-repeat:no-repeat;background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/wikihow_logo_230.png);background-size:105px;width:auto;height:51px;padding:0 14px}.articleinfo{display:none}#iorg_free_data{z-index:50;width:100%;position:fixed}#ara_recommendations{display:none}

Design a Mobile Website

View Site in Mobile | Classic

Share by: