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Ein Polynom enthält eine um eine Potenz, oder auch Grad, erhöhte Variable (x) und mehrere Terme und/oder Konstanten. Faktorisieren bedeutet, den Ausdruck in kleinere Ausdrücke aufzusplitten, die miteinander multipliziert werden. Diese Methoden gehören zu Algebra I und höher und sind eventuell schwierig zu verstehen, wenn deine Mathematikkenntnisse nicht auf diesem Niveau sind.
Vorgehensweise
-
Schreibe deine Gleichung auf. Die Ausgangsform deiner quadratischen Gleichung ist:
ax 2 + bx + c = 0
Beginne damit, dass du die Terme deiner Gleichung von der höchsten Potenz zur niedrigsten ordnest. Das ist in diesem Fall schon geschehen. Wenn wir aber z.B. folgenden Ausdruck haben:
6 + 6x 2 + 13x = 0
Ordnen wir ihn zunächst um, damit er leichter zu bearbeiten ist:
6x 2 + 13x + 6 = 0 -
Erhalte die faktorisierte Form mit einer der unten beschriebenen Methoden. Das Resultat der Faktorisierung dieses Polynoms sind zwei kleinere Ausdrücke, die ausmultipliziert das Ausgangspolynom ergeben:
6x 2 + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)
In diesem Beispiel sind (2x+3) und (3x+2) die Faktoren des Ausgangsausdrucks, x 2 + 13x + 6. -
Überprüfe dein Ergebnis! Multipliziere die Faktoren wieder aus. Dann kombiniere die Terme und du bist fertig. Beginne mit:
(2x + 3)(3x + 2)
Testen wir es; multipliziere die Terme aus:
6x 2 + 4x + 9x + 6
Jetzt können wir 4x und 9x zusammenzählen, weil sie gleiche Terme sind. Jetzt wissen wir, dass unsere Faktoren richtig waren, weil wir die Ausgangsgleichung bekommen:
6x 2 + 13x + 6 Werbeanzeige
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Wenn du ein einfaches Polynom hast, kannst du die Faktoren durch genaues Hinschauen bestimmen. Mit etwas Übung wissen z.B. viele Mathematiker, dass der Ausdruck 4x 2
+ 4x + 1
in die Faktoren (2x + 1) und (2x + 1) aufgeteilt werden kann, alleine schon, weil sie ihn so oft gesehen haben (bei komplizierteren Ausdrücken, ist das natürlich nicht so einfach). Für unser Beispiel verwenden wir den weniger üblichen Ausdruck:
-
Schreibe die Faktoren des a -Terms und des c -Terms aus. Verwende das Format ax 2 + bx + c = 0 , identifiziere den a und c Term und faktorisiere ihn. Für 3x 2 + 2x - 8 bedeutet das:
a = 3, mit einem Faktorenpaar: 1*3
c = -8 und hat 4 Faktorenpaare: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, und -1 * 8. -
Schreibe dir zwei Paare von Klammern mit freien Feldern auf. Du wirst später die Konstanten für jeden Ausdruck in die freien Felder schreiben:
( x )( x ) -
Fülle die Felder vor den x mit möglichen Werten für a . Für dem a-Term in unserem Beispiel, 3x 2 , gibt es nur eine Möglichkeit:
(3x )(1x ) -
Fülle die freien Felder nach den x mit einem Faktorenpaar für die Konstanten. Nehmen wir an, wir entscheiden uns für 8 und 1. Schreibe sie hinein:
(3x 8 )(x 1 ) -
Entscheide, welches Rechenzeichen (Plus oder Minus) du zwischen die x-Variable und die Konstante schreiben musst. Du kannst das Rechenzeichen von dem Rechenzeichen der Ausgangsgleichung ableiten. Nennen wir die zwei Konstanten für unsere zwei Faktoren h und k :
Wenn ax 2 + bx + c, dann (x + h)(x + k)
Wenn ax 2 - bx - c or ax 2 + bx - c, dann (x - h)(x + k)
Wenn ax 2 - bx + c, dann (x - h)(x – k)
Für unser Beispiel, 3x 2 + 2x - 8, sind die Rechenzeichen:(x - h)(x + k), damit haben wir als Faktoren:
(3x + 8) und (x - 1) -
Überprüfe deine Wahl. Als schnellen, ersten Test, überprüfen wir den mittleren Wert. Hat er den falschen Wert, hast du vielleicht einen falschen c Faktor gewählt. Überprüfen wir unser Ergebnis:
(3x + 8)(x – 1)
Durch Multiplikation kommen wir auf:
3x 2 - 3x + 8x – 8
Wir vereinfachen diesen Ausdruck, indem wir die Terme (-3x) und (8x) hinzufügen, und bekommen:
3x 2 - 3x + 8x - 8 = 3x 2 + 5x – 8
Damit wissen wir, dass wir uns für die falschen Faktoren entschieden haben:
3x 2 + 5x - 8 ≠ 3x 2 + 2x - 8 -
Ändere deine Wahl, falls notwendig. Für unser Beispiel versuchen wir es jetzt mit 2 und 4, statt mit 1 und 8:
(3x + 2)(x – 4)
Jetzt ist unser c -Term eine -8, aber unser äußeres/inneres Produkt (3x * -4) und (2 * x) ist -12x und 2x, was zusammen nicht den richtigen b -Term ergibt: +2x.
-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x -
Tausche die Reihenfolge, falls notwendig. Vertauschen wir die 2 und die 4:
(3x + 4)(x – 2)
Jetzt ist unser c -Term (4*2=8) immer noch in Ordnung, aber das innere/äußere Produkt ist -6x und 4x. Wenn wir diese kombinieren:
-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Wir sind dem richtigen Wert von 2x schon ziemlich nahe, es ist nur noch das falsche Vorzeichen. -
Überprüfe deine Rechenzeichen, falls notwendig. Wir halten uns an die selbe Reihenfolge, vertauschen aber, welcher Wert das Minus als Vorzeichen hat:
(3x - 4)(x + 2)
Der c -Term ist immer noch in Ordnung und das äußere/innere Produkt ist jetzt (6x) und (-4x). Da:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Erkennen wir jetzt das positive 2x von unserer Ausgangsgleichung. Das müssen also die richtigen Faktoren sein.Werbeanzeige
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Die Methode identifiziert alle möglichen Faktoren der a
und c
Terme und benutzt diese, um die Faktoren zu bestimmen. Wenn die Zahlen sehr groß sind oder die Ratemethode zu lange dauert, verwende diese Methode. Verwenden wir dieses Beispiel:
-
Multipliziere den a -Term mit dem c -Term. a ist 6 und c ist ebenfalls 6, also:
6 * 6 = 36 -
Finde den b -Term durch Faktorisieren und Testen. Wir suchen nach zwei Zahlen, die Faktoren des a * c Produkts sind und zudem zusammen den b -Term (13) ergeben.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13 -
Setze die beiden Zahlen als Summe des b -Terms in die Gleichung ein. Wir verwenden wieder k und h für diese Zahlen:
ax 2 + kx + hx + c
6x 2 + 4x + 9x + 6 -
Faktorisiere das Polynom, indem du gruppierst. Schreibe die Gleichung so auf, dass du den größten gemeinsamen Teiler (GGT) der ersten zwei Terme und der letzten zwei Terme ausklammern kannst. Beide faktorisierten Gruppen sollten gleich sein. Addiere die GGT und umschließe sie mit Klammern. Schreibe sie neben die faktorisierten Gruppe. Das Ergebnis sind deine zwei Faktoren:
6x 2 + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3)(3x + 2) Werbeanzeige
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Ähnlich wie bei der Zerlegungsmethode, verwendet die „Dreifaches Spiel“ Methode die möglichen Faktoren für den a
und c
Term, um die Werte für b
zu bestimmen. Wir verwenden folgendes Beispiel:
-
Multipliziere den a-Term mit dem c-Term. Wir in der vorherigen Methode, hilft uns das dabei den Wert für den b -Term zu bestimmen. In diesem Beispiel ist a gleich 8 und c gleich 2.
8 * 2 = 16 -
Finde zwei Zahlen mit dieser Zahl als Produkt und der Summe gleich dem b -Term. Dieser Schritt ist der gleiche wie in der Zerlegungsmethode – wir testen und schließen Möglichkeiten für die Konstanten aus. Das Produkt der a und c -Terme ist 16 und der b -Term ist 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10 -
Nimm diese beiden Zahlen und setze sie in die „Dreifaches Spiel“ Formel ein. Nimm unsere Zahlen aus dem vorherigen Schritt – nennen wir sie wieder h und k – und setze sie in diese Formel ein:
((ax + h)(ax + k))/ a
Damit bekommen wir:
((8x + 8)(8x + 2)) / 8 -
Erkenne, welcher der beiden Klammerterme im Zähler sich durch a teilen lässt. In diesem Beispiel prüfen wir ob (8x + 8) oder (8x +2) sich durch 8 teilen lässt. (8x + 8) kann durch 8 geteilt werden, also teilen wir ihn durch a und lassen den anderen Term wie er ist:
(8x + 8) = 8(x + 1)
Wir merken uns den Term, der nach dem Teilen durch a übrig bleibt:(x + 1) -
Nimm den größten gemeinsamen Teiler (GGT) aus einem oder beiden Termen, sollte es einen geben. In diesem Beispiel hat der zweite Term einen GGT von 2, da 8x + 2 = 2(4x + 1). Kombiniere diese Antwort mit dem Term aus dem vorherigen Schritt. Das sind deine Faktoren:
2(x + 1)(4x + 1) Werbeanzeige
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Einige Koeffizienten in Polynomen kann man als Quadrate identifizieren, oder als das Produkt zweier Zahlen. Wenn du diese Quadrate identifizieren kannst, kannst du dein Polynom viel schneller faktorisieren. Nehmen wir folgende Gleichung:
-
Klammere, falls möglich, den größten gemeinsamen Teiler aus. In diesem Fall sind 27 und 12 durch 3 teilbar, also klammern wir aus:
27x 2 - 12 = 3(9x 2 - 4) -
Überprüfe, ob die Koeffizienten deiner Gleichung Quadrate sind. Für diese Methode musst du die Quadratwurzel aus beiden Termen ziehen können. (Beachte, dass wir das Minuszeichen weggelassen haben – da diese Zahlen Quadrate sind, können sie das Produkt aus positiven oder zwei negativen Zahlen sein).
9x 2 = 3x * 3x and 4 = 2 * 2 -
Schreibe die Faktoren auf. Verwende die Quadratwurzeln, die du gefunden hast. Wir nehmen den a und c Wert aus dem oberen Schritt – a = 9 und c = 4, dann finden wir die Quadratwurzel - √ a = 3 und √ c = 2. Das sind die Koeffizienten für den faktorisierten Ausdruck:
27x 2 - 12 = 3(9x 2 - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2) Werbeanzeige
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Wenn alles andere nicht funktioniert, verwende die quadratische Formel. Nehmen wir folgendes Beispiel an:
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Setze die entsprechenden Werte in die quadratische Formel ein:
x = -b ± √(b 2 - 4ac)
2a
Wir bekommen den Ausdruck:
x = -4 ± √(4 2 - 4•1•1) / 2 -
Löse nach x auf. Du solltest zwei Werte für x bekommen. Wie oben gezeigt, bekommen wir zwei Antworten:
x = -2 + √(3) oder x = -2 - √(3) -
Verwende die x-Werte, um die Faktoren zu bestimmen. Setze die x-Werte in zwei Polynome als Konstante ein. Das sind deine Faktoren. Wenn wir unsere Antworten h und k nennen, schreiben wir unsere Faktoren so:
(x - h)(x – k)
In diesem Fall ist unsere Lösung:
(x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3)) = (x + 2 - √(3))(x + 2 + √(3)) Werbeanzeige
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Wenn du einen verwenden darfst, macht ein grafischer Taschenrechner die Faktorisierung um vieles leichter, besonders in standardisierten Tests. Diese Schritte sind für einen TI grafischen Taschenrechner. Wir verwenden diese Beispielgleichung:
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Gib die Gleichung in den Taschenrechner ein. Du verwendest den Gleichungslöser, oder auch als [Y =] Bildschirm bekannt.
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Zeichne deinen Graphen auf dem Taschenrechner. Nachdem du die Gleichung eingegeben hast, drücke [GRAPH] – du solltest einen glatten Bogen sehen, der deine Gleichung repräsentiert (und es ist ein Bogen, weil wir mit einem Polynom rechnen).
-
Finde den Punkt, an dem der Bogen die X-Achse schneidet. Da Polynome traditionell in der Form ax 2 + bx + c = 0 geschrieben werden, sind das die beiden x-Werte, die die Gleichung Null werden lassen:
(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2 - Wenn du nicht feststellen kannst, wo genau der Graph die X-Achse schneidet, drücke [2nd] und dann [TRACE]. Drücke [2] oder wähle Null . Schiebe den Cursor auf die linke Seite eines Schnittpunktes und drücke [ENTER]. Schiebe den Cursor auf die rechte Seite eines Schnittpunktes und drücke [ENTER]. Schiebe den Cursor so nah wie möglich an den Schnittpunktes und drücke [ENTER]. Der Taschenrechner berechnet den x-Wert. Mache dies genauso für den anderen Schnittpunkt.
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Setze die gefundenen x-Werte in zwei faktorisierte Ausdrücke ein. Wenn wir unsere beiden x-Werte als h und k bezeichnen, verwenden wir folgende Ausdrücke:
(x - h)(x - k) = 0
Unsere beiden Faktoren sind also:
(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2) Werbeanzeige
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Tipps
- Wenn du einen TI-84-Taschenrechner (grafisch) hast, gibt es ein Programm namens SOLVER, das quadratische Gleichungen löst. Es löst auch Gleichungen höheren Grades.
- Wenn ein Term nicht existiert, ist der Koeffizient 0. Es kann hilfreich sein die Gleichung noch einmal aufzuschreiben, wenn das vorkommt. Also z.B. x 2 + 6 = x 2 + 0x + 6.
- Wenn du dein Polynom mit der quadratischen Formel faktorisiert hast und ein Ergebnis mit einem Wurzelausdruck bekommst, kannst du eventuell die x-Werte in Brüche umwandeln, um es zu überprüfen.
- Wenn ein Term keinen expliziten Koeffizienten hat, dann ist er 1. Also z.B. x 2 = 1x 2 .
- Mit der Zeit wirst du die Faktoren in deinem Kopf berechnen können. Bis es soweit ist, schreibe sie besser auf.
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Warnungen
- Wenn du diese Konzepte im Mathematikunterricht lernst, höre gut zu was dein Lehrer sagt und benutze nicht einfach deine Lieblingsmethode. Dein Lehrer verlangt in der Klassenarbeit möglicherweise eine bestimmte Methode oder erlaubt keine grafischen Taschenrechner.
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Was du brauchst
- Bleistift
- Papier
- Quadratische Gleichung (auch Polynom zweiten Grades genannt)
- Grafischen Taschenrechner (optional)
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