Descargar el PDF
Descargar el PDF
Un polinomio contiene una variable (x) elevada a una potencia (conocida como grado) y varios términos o constantes. Factorizar un polinomio significa descomponer la expresión a una más pequeña con términos que se multipliquen entre sí. La factorización es una habilidad de álgebra I o superior y por lo tanto te podría ser difícil de entender si tus habilidades en matemáticas no están a ese nivel.
Pasos
-
Escribe la expresión. La forma estándar de una ecuación cuadrática es:
ax 2 + bx + c = 0
Empieza ordenando los términos de la ecuación desde la potencia más grande hasta la más pequeña, al igual que en el formato anterior. Por ejemplo:
6 + 6x 2 + 13x = 0
Reordenemos la expresión para trabajar con mayor facilidad organizando los términos:
6x 2 + 13x + 6 = 0 -
Busca la forma factorizada utilizando uno de los métodos expuestos a continuación. Al factorizar el polinomio se obtienen dos expresiones más pequeñas que se multiplican para producir el polinomio original:
6x 2 + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)
En este ejemplo, (2x +3) y (3x + 2) son factores de la expresión original, 6x 2 + 13x + 6. -
¡Revisa tu trabajo! Multiplica los factores de la expresión. Luego suma los términos similares y comprueba. Empieza con:
(2x + 3)(3x + 2)
Vamos a comprobarlo, multiplicando los términos en el siguiente orden, primero por el primero, primero por el segundo, segundo por el primero, y segundo por el segundo, lo cual nos da:
6x 2 + 4x + 9x + 6
A partir de aquí, podemos sumar 4x y 9x, ya que son términos similares. Sabemos que los factores son correctos porque al operar obtenemos la ecuación inicial:
6x 2 + 13x + 6 Anuncio
-Step-1-Version-3.jpg)
-Step-2-Version-3.jpg)
-Step-3-Version-3.jpg)
Si tienes un polinomio bastante simple, tal vez puedas descubrir sus factores con solo un vistazo. Por ejemplo, con un poco de práctica, muchos matemáticos saben que la expresión 4x 2
+ 4x + 1
tiene factores de (2x + 1) y (2x + 1) solo porque ya la han visto muchas veces (evidentemente no es algo tan fácil con polinomios más complicados). Para este ejemplo, utilicemos una expresión menos común:
-
Enumera los factores del término a y c . Utilizando el formato ax 2 + bx + c = 0 , identifica los términos a y c y enumera sus factores. Para 3x 2 + 2x - 8, eso significa:
a = 3 y tiene un solo conjunto de factores: 1 * 3
c = -8 y tiene cuatro conjuntos de factores: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, y -1 * 8. -
Escribe dos conjuntos de paréntesis con un espacio en blanco. En el espacio en blanco pondrás las constantes de cada expresión.
( x )( x ) -
Llena los espacios en blanco con un par de posibles factores del valor a . Para el término a de nuestro ejemplo (3x 2 ), solo hay una posibilidad:
(3x )(1x ) -
Llena los espacios en blanco frente a la x con un par de factores para las constantes. Supongamos que escogimos 8 y 1. Escribimos:
(3x 8 )(x 1 ) -
Decide qué signo (más o menos) debe ir en medio de las x y los números. Basándose en los signos de la expresión original, es posible descubrir qué signos deben tener las constantes. Llamemos a las dos constantes de nuestros factores k y h :
Si ax 2 + bx + c entonces (x + h)(x + k)
Si ax 2 - bx - c o ax 2 + bx - c entonces (x - h)(x + k)
Si ax 2 - bx + c entonces (x - h)(x - k) Para nuestro ejemplo, 3x 2 + 2x - 8, los signos deben ser:(x - h)(x + k), lo cual nos da los factores:
(3x + 8) y (x - 1) -
Comprueba el ejercicio resolviendo la multiplicación. Una prueba rápida para comprobar es ver si el término medio tiene el valor correcto. Si no es así, tal vez hayas escogido los factores equivocados de c . Comprobemos el ejercicio:
(3x + 8)(x - 1)
Multiplicando, obtenemos que:
3x 2 - 3x + 8x - 8
Simplificando esta expresión al sumar los términos semejantes (-3x) y (8x) obtenemos:
3x 2 - 3x + 8x - 8 = 3x 2 + 5x - 8
Ahora sabemos que utilizamos los factores equivocados:
3x 2 + 5x - 8 ≠ 3x 2 + 2x - 8 -
Cambia tu respuesta si es necesario. Siguiendo con nuestro ejemplo, vamos a probar 2 y 4 en lugar de 1 y 8:
(3x + 2)(x - 4)
Ahora nuestro término c es -8, pero el producto de (3x * -4) y (2 * x) es -12x y 2x, lo cual sumando no nos da el término correcto de b (+2x).
-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x -
Invierte el orden si es necesario. Probemos moviendo el 2 y el 4:
(3x + 4)(x - 2)
Ahora, nuestro término c (4 * 2 = 8) sigue siendo correcto, pero el resto de la multiplicación nos da como resultado -6x y 4x. Si los sumamos:
-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x
Estuvimos muy cerca al 2x de b , pero tiene el signo equivocado. -
Revisa nuevamente los signos si es necesario. Vamos a utilizar los números en el mismo orden, pero vamos a cambiar el signo de menos:
(3x - 4)(x + 2)
Ahora, nuestro término c sigue siendo correcto, pero el resto de la multiplicación nos da como resultado (6x) y (-4x). Ya que:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Ahora encontramos el 2x de la ecuación original. Estos deben ser los factores correctos.Anuncio
-Step-4-Version-3.jpg)
-Step-5-Version-3.jpg)
-Step-6-Version-3.jpg)
-Step-7-Version-3.jpg)
-Step-8-Version-3.jpg)
-Step-9-Version-3.jpg)
-Step-10-Version-3.jpg)
-Step-11-Version-3.jpg)
-Step-12-Version-3.jpg)
Este método identifica todos los factores posibles de los términos a
y c
y los utiliza para descubrir cuáles deben ser los factores correctos. Si trabajas con números muy grandes o si otros métodos de tipo conjetura te parecen muy largos, utiliza este método. Vamos a utilizar el siguiente ejemplo:
-
Multiplica el término a por el término c . En nuestro ejemplo, a es 6 y c también es 6.
6 * 6 = 36 -
Obtén el término de b factorizando y haciendo pruebas. Buscamos dos números que sean factores del producto a * c y que sumados nos den el término b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13 -
Reemplaza los dos números en la ecuación como la suma del término b . Utilicemos h y k para representar los dos números que obtuvimos, 4 y 9:
ax 2 + kx + hx + c
6x 2 + 4x + 9x + 6 -
Factoriza el polinomio por agrupación. Organiza la ecuación de forma que puedas factorizar el máximo común divisor (MCD) de los dos primeros y dos últimos términos. Los dos términos factorizados deben ser iguales. Suma el MCD y enciérralos en paréntesis al lado del grupo de factorización; el resultado será tus dos factores:
6x 2 + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3)(3x + 2) Anuncio
-Step-13-Version-3.jpg)
-Step-14-Version-3.jpg)
-Step-15-Version-3.jpg)
-Step-16-Version-3.jpg)
Similar al método de descomposición, el método de partida triple examina los posibles factores del producto de los términos a
y c
para averiguar el posible valor de b
. Consideremos la siguiente ecuación como ejemplo:
-
Multiplica el término a por el término c . Al igual que en el método de descomposición, esto nos ayudará a identificar los posibles valores del término b . En este ejemplo, a es 8 y c es 2.
8 * 2 = 16 -
Busca dos números cuyo producto sea igual a este número y cuya suma sea igual al término b . Este paso es idéntico al del método de descomposición, probamos y descartamos números para las constantes. El producto de los términos a y c es 16, mientras que su suma es igual a 10:
2 * 8 = 16 8 + 2 = 10 -
Toma los dos números y reemplázalos en la fórmula de la partida triple. Toma los dos números del paso anterior (vamos a llamarlos h y k ) y reemplázalos en la expresión:
((ax + h)(ax + k))/ a
De esta forma, obtenemos:
((8x + 8)(8x + 2)) / 8 -
Observa cuál de los dos términos en el numerador es perfectamente divisible entre a . En este ejemplo, vamos a probar si (8x + 8) o (8x + 2) se pueden dividir entre 8. (8x + 8) es divisible entre 8, así que dividimos ese término entre a y dejamos el otro intacto.
(8x + 8) = 8(x + 1)
El término que vamos a utilizar es el que queda después de dividir entre el término a :(x + 1) -
Halla el máximo común divisor (MCD) de uno o ambos términos. En este ejemplo, el segundo término tiene un MCD de 2, ya que 8x + 2 = 2(4x + 1). Une la respuesta con el término que has identificado en el paso anterior. Estos son los factores de la ecuación.
2(x + 1)(4x + 1) Anuncio
-Step-17-Version-3.jpg)
-Step-18-Version-3.jpg)
-Step-19-Version-3.jpg)
-Step-20-Version-3.jpg)
-Step-21-Version-3.jpg)
Algunos coeficientes de los polinomios se identifican como “cuadrados” o como el producto de dos números. Identificar los cuadrados permite factorizar algunos polinomios mucho más rápido. Observemos la ecuación:
-
Si es posible, factoriza el máximo común divisor. En este caso, observamos que tanto 27 como 12 son divisibles entre 3, así que lo factorizamos:
27x 2 - 12 = 3(9x 2 - 4) -
Determina si los coeficientes de la ecuación son números cuadrados. Para utilizar este método debes poder aplicar la raíz cuadrada a ambos términos y obtener un número entero (ten en cuenta que hemos dejado por fuera los signos negativos, pues como los números están al cuadrado pueden ser resultado del producto de dos números positivos o negativos).
9x 2 = 3x * 3x y 4 = 2 * 2 -
Con las raíces cuadradas que acabas de identificar, escribe los factores. Tomamos los valores de a y c del paso anterior; a = 9 y c = 4, luego aplicamos raíz cuadrada, √ a = 3 y √ c = 2. Estos son los coeficientes para las expresiones factorizadas:
27x 2 - 12 = 3(9x 2 - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2) Anuncio
-Step-22-Version-3.jpg)
-Step-23-Version-3.jpg)
-Step-24-Version-3.jpg)
Si nada funciona y no puedes factorizar la ecuación, utiliza la fórmula cuadrática. Observa el siguiente ejemplo:
-
Reemplazando los valores correspondientes en la fórmula cuadrática:
x = -b ± √(b 2 - 4ac) ---------------------
2a
Obtenemos la expresión:
x = -4 ± √(4 2 - 4•1•1) / 2 -
Resuelve para hallar x. Al final obtienes dos valores de x. Como puede observarse, se obtienen dos respuestas:
x = -2 + √(3) or x = -2 - √(3) -
Utiliza el valor de x para hallar los factores. Reemplaza los valores que has obtenido de x como las constantes en dos expresiones polinómicas. Estos serán los factores. Si llamamos los dos valores de x como h y k , escribimos los factores de la siguiente manera:
(x - h)(x - k)
En este caso, la respuesta final es:
(x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3)) = (x + 2 - √(3))(x + 2 + √(3)) Anuncio
-Step-25-Version-3.jpg)
-Step-26-Version-3.jpg)
-Step-27-Version-3.jpg)
Si te permiten utilizarla, una calculadora gráfica simplifica mucho el proceso de factorización, especialmente en las pruebas estándar. Estas instrucciones son para una calculadora gráfica TI (fabricada por la empresa Texas Instruments). Utilizaremos la siguiente ecuación como ejemplo:
-
Digita la ecuación en la calculadora. Utilizarás la resolución de ecuaciones, también conocida como la pantalla [Y = ].
-
Grafica la ecuación utilizando la calculadora. Una vez introducida la ecuación, presiona la tecla [GRAPH] y aparecerá un arco suave que representa la ecuación (debe ser un arco, porque trabajamos con polinomios).
-
Busca el punto en el que el arco intersecta el eje x. Ya que las ecuaciones polinómicas se escriben normalmente de la forma ax 2 + bx + c = 0, estos son los dos valores de x que causan que la expresión sea igual a 0:
(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2 - Si no puedes identificar a simple vista el punto donde la gráfica toca el eje x, presiona [2nd] y luego [TRACE]. Presiona [2] o selecciona “cero”. Desliza el cursor a la izquierda de un intersecto y presiona [ENTER]. Desliza el cursor a la derecha de un intersecto y presiona [ENTER]. Desliza el cursor lo más cerca posible del intersecto y presiona [ENTER]. La calculadora hallará el valor de x. Haz lo mismo para hallar el otro intersecto.
-
Reemplaza los valores que has obtenido de x en el paso anterior en dos expresiones factoriales. Si llamamos los dos valores de x como h y k , la expresión que utilizaremos será:
(x - h)(x - k) = 0
Por lo tanto, los dos factores deben ser:
(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2) Anuncio
-Step-28-Version-2.jpg)
-Step-29-Version-2.jpg)
-Step-30-Version-2.jpg)
-Step-31-Version-2.jpg)
Consejos
- Si tienes una calculadora TI-84 (gráfica), existe un programa llamado SOLVER para resolver ecuaciones cuadráticas. También sirve para resolver polinomios de cualquier otro grado.
- Si un término no existe, el coeficiente es 0. Es útil reescribir la ecuación si se presenta esa situación, por ejemplo, x 2 + 6 = x 2 + 0x + 6.
- Si has factorizado el polinomio utilizando la fórmula cuadrática y has obtenido la respuesta en radicales, puedes convertir los valores de x en fracciones para poder realizar la comprobación con mayor facilidad.
- Si el término no tiene coeficiente escrito, el coeficiente es 1, por ejemplo, x 2 = 1x 2 .
- Con algo de práctica, podrás factorizar polinomios mentalmente. Pero hasta entonces, asegúrate de escribir siempre la respuesta.
Anuncio
Advertencias
- Si vas a aprender el concepto de factorización en tu clase de matemáticas, presta atención a lo que diga el profesor y no utilices solo tu método favorito. Tu profesor podría pedirte que utilices un método específico en el examen o podría no permitir el uso de calculadoras gráficas.
Anuncio
Cosas que necesitarás
- lápiz;
- papel;
- ecuación cuadrática (o polinomio de segundo grado);
- calculadora gráfica (opcional).
Acerca de este wikiHow
Esta página ha recibido 195 409 visitas.
Anuncio
¡Suscríbete al boletín gratuito de wikiHow!
Encontrarás instructivos útiles en tu bandeja de entrada cada semana.
¡Suscríbeme!
