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Transponierte Matrix sind ein gängiges Werkzeug, um die Strukturen von Matrizen zu verstehen. Funktionen von Matrizen, die du vielleicht schon kennst, wie Rechtwinkligkeit und Symmetrie, wirken sich auf deutliche Weise auf die Transpositionsergebnisse aus. Transposition dient ebenfalls dazu, Vektoren als Matrizen zu formulieren oder die Produkte von Vektoren zu nehmen. [1] X Forschungsquelle Wenn du dich mit komplexen Matrizen beschäftigst, hilft dir das eng verwandte Konzept einer konjugierten Transponierung bei vielen Problemen.
Vorgehensweise
-
Beginne mit einer beliebigen Matrix. du kannst jede Matrix transponieren, unabhängig von ihrer Anzahl der Zeilen und Spalten. Quadratische Matrizen mit einer gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten werden am häufigsten transponiert. Daher verwenden wir eine einfache quadratische Matrix als Beispiel: [2] X Forschungsquelle
- Matrix A
=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
- Matrix A
=
-
Drehe die erste Reihe der Matrix in die erste Spalte ihrer Transponierten. Schreibe Zeile 1 der Matrix als Spalte neu:
- Transponierte von der Matrix A = A T
- Erste Spalte von A T
:
1
2
3
-
Wiederhole dies für die restlichen Zeilen. Die zweite Zeile der ursprünglichen Matrix wird zur zweiten Spalte ihrer Transponierten. Wiederhole dieses Muster, bis du aus jeder Zeile eine Spalte gebildet hast:
- A T
=
1 4 7
2 5 8
3 6 9
- A T
=
-
Übe auf einer nicht quadratischen Matrix. Die Transposition ist für eine nicht quadratische Matrix genau dieselbe. Du schreibst die erste Zeile als erste Spalte, die zweite Zeile als zweite Spalte und so weiter. Hier ein Beispiel mit Farbcodierung, um zu zeigen, wo die Elemente enden:
- Matrix Z
=
4 7 2 1
3 9 8 6 - Matrix Z T
=
4 3
7 9
2 8
1 6
- Matrix Z
=
-
Formuliere die Transposition mathematisch. Das Konzept ist sehr schlicht, aber es ist gut, es mathematisch beschreiben zu können. Über die grundlegende Matrixnotation hinaus ist keine Fachsprache erforderlich.
- Wenn Matrix B eine m x n Matrix (m Zeilen und n Spalten) ist, ist die transponierte Matrix B T eine n x m Matrix (n Zeilen und m Spalten). [3] X Forschungsquelle
- Für jedes Element b xy ( x th Zeile, y th Spalte) in B, hat die Matrix B T ein gleiches Element in b yx ( y th Zeile, x th Spalte).
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-
(M T )T = M. Die Transponierte einer Transponierten ist die Originalmatrix. [4] X Forschungsquelle Dies ist ziemlich intuitiv, da du nur die Zeilen und Spalten tauscht. Wenn du sie erneut tauscht, bist du wieder da, wo du angefangen hast.
-
Drehe quadratische Matrizen über die Hauptdiagonale. In einer quadratischen Matrix "kippt" die Transposition die Matrix über die Hauptdiagonale. Mit anderen Worten, die Elemente in einer diagonalen Linie von Element a 11 bis zur rechten unteren Ecke bleiben gleich. Die anderen Elemente bewegen sich über die Diagonale und enden im selben Abstand von der Diagonale auf der gegenüberliegenden Seite.
- Wenn du dir dies nicht vorstellen kannst, zeichne eine 4x4-Matrix auf ein Blatt Papier. Nun liegt die Falte über der Hauptdiagonale. Siehst du, wie sich Element a 14 und a 41 berühren? Sie tauschen ihre Plätze in der Transponierung, ebenso wie jedes Paar, das sich im gefalteten Zustand berührt.
-
Transponiere eine symmetrische Matrix. Eine symmetrische Matrix ist über der Hauptdiagonale symmetrisch. Wenn wir die obige "kipp" - oder "falten" -Beschreibung verwenden, können wir sofort sehen, dass sich nichts ändert. Alle Elementpaare, die ihre Orte tauschen, waren bereits identisch. [5] X Forschungsquelle Tatsächlich ist dies die Standardmethode zum Definieren einer symmetrischen Matrix. Wenn Matrix A = A T , dann ist Matrix A symmetrisch.Werbeanzeige
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Beginne mit einer komplexen Matrix. Komplexe Matrizen haben Elemente mit einer realen und imaginären Komponente. Während du eine normale Transponierung dieser Matrizen durchführen kannst, beziehen die meisten praktischen Berechnungen stattdessen die konjugierte Transponierung ein. [6] X Forschungsquelle
- Matrix C =
2+ i 3-2 i
0+ i 5+0 i
- Matrix C =
-
Nehme das komplexe Konjugat. Das komplexe Konjugat ändert das Vorzeichen der imaginären Komponenten, ohne die realen Komponenten zu verändern. Führe diesen Vorgang für alle Elemente der Matrix aus.
- Komplexes Konjugat von C =
2- i 3+2 i
0- i 5-0 i
- Komplexes Konjugat von C =
-
Transponiere die Ergebnisse. Nehme eine normale Umsetzung des Ergebnisses vor. Die Matrix, die du erhältst, ist die konjugierte Transponierung der Originalmatrix.
- Konjugierte Transponierte von C = C H
=
2- i 0- i
3+2 i 5-0 i
Werbeanzeige - Konjugierte Transponierte von C = C H
=
Tipps
- Dieser Artikel verwendet die Notation A T wenn es die Transponierte von Matrix A meint. Die Notationen A' oder à meinen dasselbe. [7] X Forschungsquelle
- Dieser Artikel bezieht sich auf die konjugierte Transponierung der Matrix A als A H , der häufigsten Notation in der linearen Algebra. Quantenphysiker benutzen stattdessen häufig A † . Ein* ist eine weitere Option, aber versuche es zu vermeiden, da einige Quellen dieses Symbol verwenden, um das komplexe Konjugat zu bezeichnen. [8] X Forschungsquelle
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Referenzen
- ↑ http://mathforum.org/library/drmath/view/71949.html
- ↑ https://chortle.ccsu.edu/VectorLessons/vmch13/vmch13_14.html
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/sigma-matrices2-2009-1.pdf
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix_transformations/matrix_transpose/v/linear-algebra-transpose-of-a-matrix
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/sigma-matrices2-2009-1.pdf
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/ConjugateTranspose.html
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/Transpose.html
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/ConjugateTranspose.html
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