कैसे दो संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य या LCM पता करें (Find the Least Common Multiple of Two Numbers)

सहयोगी लेखक द्वारा Grace Imson, MA

संख्या को किसी पूर्णांक से गुणा करने पर गुणज या मल्टीपल (multiple) मिलता है। संख्याओं के समूह का लघुतम समापवर्त्य (ल. स.) या LCM वह सबसे छोटी संख्या है जो समूह में मौजूद सभी संख्याओं का गुणज (multiple) है। लघुतम समापवर्त्य (LCM) निकालने के लिए, जिन संख्याओं का LCM निकालना है सर्वप्रथम उन संख्याओं के गुणनखंड (factor) लिखने की आवश्यकता होगी। विभिन्न विधियों का इस्तेमाल करके आप लघुतम समापवर्त्य (LCM) निकाल सकते हैं। दो से अधिक संख्याओं का LCM निकालने के लिए भी थोड़े बदलाव के साथ इन्हीं मेथड्स का इस्तेमाल किया जा सकता है। दो संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य या LCM कैसे निकालते हैं यह सीखने के लिए विकिहाउ के इस आर्टिकल को पढ़ें।

विधि 1

विधि 1 का 4:

संख्याओं के गुणज या मल्टीपल्स लिखना (Listing all Multiples)

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1
जिन संख्याओं का LCM निकालना है उनका आंकलन करें: 10 से छोटी दो संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य या LCM निकालने के लिए इस विधि का इस्तेमाल करना उचित है। यदि आप बड़ी संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य (LCM) निकालना चाहते हैं, तो अन्य विधि का इस्तेमाल करना उचित रहेगा।
- उदाहरण के लिए, आपको संख्या 5 और 8 का लघुतम समापवर्त्य (LCM) निकालना है। चूंकि यह संख्याएं 10 से छोटी है, यहाँ गुणज लिखने वाली मेथड का इस्तेमाल करना सही विचार है।
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2
पहली संख्या के कई सारे गुणज लिखें: किसी दो संख्याओं को गुणा करने पर मिलने वाली संख्या या उत्तर को गुणज (multiple) कहते हैं। ^{[१]
X
रिसर्च सोर्स} दूसरे शब्दों में कहा जाएं तो, यह वहीं संख्याएं है जो पहाडे यानि मल्टीप्लिकेशन टेबल (multiplication table) में दिखाई देते हैं।
- उदाहरण के लिए, संख्या 5 के कुछ गुणज इस प्रकार है 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, और 40।
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3
दूसरी संख्या के भी कुछ गुणज लिखें: इन्हें पहली संख्या के गुणज के ठीक नीचे लिखें, ताकि दोनों संख्याओं के गुणज की आसानी से तुलना की जा सकें।
- उदाहरण के लिए, संख्या 8 के कुछ गुणज इस प्रकार है 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, और 64।
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4
दोनों संख्याओं के गुणजों में से सबसे छोटे सार्व गुणज (common multiple) को ढूँढें: आपको गुणको की सूची को तब तक एक्सटेंड करने की आवश्यकता हो सकती है जब तक कि आपको दोनों संख्याओं के गुणजों में से एक कॉमन संख्या न मिल जाएं। यही संख्या दी गई दो संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य (LCM) है। ^{[२]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, संख्या 5 और 8 के गुणजों में 40 कॉमन है, इसलिए संख्या 5 और 8 का लघुतम समापवर्त्य (LCM) 40 है।

विधि 2

विधि 2 का 4:

अभाज्य गुणनखंड विधि का इस्तेमाल करना (Using Prime Factorization)

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1
संख्याओं का आंकलन करें: यदि दोनों संख्याएं जिनका लघुतम समापवर्त्य (LCM) निकालना है, 10 से बड़ी है, तो लघुतम समापवर्त्य निकालने के लिए इस विधि को प्रयोग में लाना उत्तम विचार है। यदि आपको छोटी संख्याओं का LCM निकालना है, तो जल्द से जल्द LCM निकालने के लिए आप अन्य किसी मेथड का इस्तेमाल कर सकते हैं।
- उदाहरण के लिए, यदि आपको 20 और 84 का लघुतम समापवर्त्य (LCM) निकालना है, तो इस अभाज्य गुणनखंड विधि का इस्तेमाल करें।
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2
पहली संख्या के गुणनखंड निकालें: आपको संख्या के अभाज्य गुणनखंड (prime factors) निकालने की आवश्यकता होगी; अर्थात आपको ऐसे अभाज्य गुणनखंड ढूँढने है जिन्हें एकसाथ गुणा करने पर दी गई संख्या मिल सकें। अभाज्य गुणनखंड निकालने का एक तरीका हैं फैक्टर ट्री या गुणनखंड पेड़ बनाना। एक बार जब आप गुणनखंड निकाल लेंगे, तब सारे अभाज्य गुणनखंडों को इक्वेशन के फॉर्म में लिखें।
- उदाहरण के लिए, $\mathbf {2} \times 10=20$ और $\mathbf {2} \times \mathbf {5} =10$ , इसलिए संख्या 20 के अभाज्य गुणनखंड 2, 2, और 5 है। इसे इक्वेशन फॉर्म में दोबारा $20=2\times 2\times 5$ इस प्रकार लिखें।
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3
दूसरी संख्या के गुणनखंड निकालें: दूसरी संख्या के भी अभाज्य गुणनखंड (prime factors) पहली संख्या के गुणनखंड की तरह ही निकालें। आपको इस संख्या के भी अभाज्य गुणनखंड ढूँढने है जिन्हें एकसाथ गुणा करने पर दी गई संख्या मिल सकें।
- उदाहरण के लिए, $\mathbf {2} \times 42=84$ , $\mathbf {7} \times 6=42$ , और $\mathbf {3} \times \mathbf {2} =6$ , इसलिए 84 के अभाज्य गुणनखंड 2, 7, 3, और 2 है। इसे इक्वेशन के फॉर्म में दोबारा $84=2\times 7\times 3\times 2$ इस प्रकार लिखें।
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4
हर संख्या के फैक्टर को एक दूसरे के नीचे लिखें: फैक्टर्स को मल्टिप्लिकेशन सेंटेस की तरह लिखें। दोनों संख्या के अभाज्य गुणनखंड को लिखने के बाद, दोनों संख्या की लिस्ट में मौजूद समान सार्व गुणज को काट दें।
- उदाहरण के लिए, दोनों संख्याओं में 2 एक सार्व गुणज है, इसलिए गुणनखंड $2\times$ लिखने के बाद दोनों संख्या के गुणनखंड लिस्ट में से उन्हें काट लें।
- हर संख्या में फिर से एक और 2 सार्व गुणज है, इसलिए मल्टिप्लिकेशन सेंटेस $2\times 2$ इस प्रकार है और इसलिए दोनों संख्याओं में से सार्व गुणज 2 को काट लें।
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5
बचे हुए गुणनखंडो को मिल्टिप्लिकेशन लिस्ट में लिखें: दो संख्याओं के गुणनखंडों की तुलना करते समय इन गुणनखंडों को काटने की आवश्यकता नहीं है। इसका अर्थ यह है कि यह गुणनखंड या फैक्टर दोनों संख्याओं के सार्व गुणज नहीं है। ^{[३]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, $20=2\times 2\times 5$ समीकरण में, आपको दोनों 2 को काटने की आवश्यकता होगी, क्योंकि यह गुणनखंड दूसरी संख्या की अभाज्य गुणनखंड की लिस्ट में भी मौजूद है। इस संख्या में एक और गुणनखंड 5 बचा है, इसे भी समीकरण में जोड़ दें, अब आपका समीकरण इस प्रकार है: $2\times 2\times 5$
- दूसरी संख्या के गुणनखंड = $84=2\times 7\times 3\times 2$ है। इस समीकरण में भी आपको दोनों 2 को काटने की आवश्यकता होगी। इसमें गुणनखंड 7 और 3 बचे है, जिन्हें मल्टिप्लिकेशन सेंटेस में जोड़ दें, अब आपका समीकरण इस प्रकार है: $2\times 2\times 5\times 7\times 3$ ।
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6
लघुतम समापवर्त्य (LCM) कैलकुलेट करें: ऐसा करने के लिए, आपको मल्टिप्लिकेशन सेंटस में मौजूद सारे गुणनखंड या फैक्टर्स को एक साथ गुणा करने की आवश्यकता होगी।
- उदाहरण के लिए, $2\times 2\times 5\times 7\times 3=420$ है। इसलिए 20 और 84 का लघुतम समापवर्त्य या LCM 420 है।

विधि 3

विधि 3 का 4:

ग्रिड या लैडर विधि का इस्तेमाल करना (Using the Grid or Ladder Method)

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1
टिक-टैक-टो ग्रिड ड्रा करें: एक टिक-टैक-टो ग्रिड में दो समानांतर रेखाएं (parallel lines) मौजूद होते हैं जो एक दूसरे को लंबवत (perpendicularly) रूप से काटते हैं। इन रेखाओं से तीन रो और तीन कॉलम बनते हैं, जो फोन या कीबोर्ड में मौजूद पाउंड की (#) की तरह ही दिखाई देते हैं। ग्रिड में ऊपरी तरफ मौजूद मध्य वर्ग में पहली संख्या लिखें। दूसरी संख्या को ग्रिड के ऊपरी-दाएं तरफ मौजूद वर्ग में लिखें। ^{[४]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, यदि आपको 18 और 30 का लघुतम समापवर्त्य निकालना है, तो ग्रिड की ऊपरी तरफ मौजूद मध्य वर्ग में 18 लिखें और ग्रिड के ऊपरी-दाएं तरफ मौजूद वर्ग में 30 लिखें।
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2
ऐसे फैक्टर को देखें जो दोनों संख्याओं में कॉमन है: इस संख्या को ग्रिड की ऊपरी-बाईं तरफ के वर्ग में लिखें। LCM निकालने के लिए अभाज्य गुणनखंड का इस्तेमाल करना मददगार साबित होता है, लेकिन ऐसा करना आवश्यक नहीं है।
- उदाहरण के लिए, 18 और 30 दोनों ही सम संख्याएं है, इसलिए दोनों ही संख्याएं 2 से विभाजित की जा सकती है अर्थात संख्या 2 दोनों ही संख्याओं का सार्व गुणज या कॉमन फैक्टर है। इसलिए 2 को ग्रिड की ऊपरी-बाईं तरफ के वर्ग में लिखें।
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3
प्रत्येक संख्या को कॉमन फेक्टर से विभाजित करें: विभाजित करने पर जो भी भागफल (quotient) मिलें उसे संख्या के नीचे मौजूद वर्ग में लिखें। विभाजन विधि में मिलने वाले उत्तर को ही भागफल या क्वोशन्ट कहते हैं।
- उदाहरण के लिए, $18\div 2=9$ , इसलिए ग्रिड में 18 के नीचे वाले वर्ग में 9 लिखें।
- $30\div 2=15$ , इसलिए 15 को 30 के नीचे मौजूद वर्ग में लिखें।
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4
दोनों भागफल को विभाजित करने वाली संख्या या अभाज्य गुणनखंड का पता लगाएं: यदि दोनों संख्याओं को विभाजित करने वाला कॉमन फैक्टर नहीं मिल रहा है, तो आपको इस चरण को स्किप करके अगले स्टेप की तरफ बढ़ना होगा। और यदि आपको कॉमन फैक्टर मिल जाएं, तो उसे ग्रिड में बाईं तरफ बीच वाले वर्ग में लिखें।
- उदाहरण के लिए, 9 और 15 को 3 से विभाजित किया जा सकता है, इसलिए 3 को ग्रिड में बाईं तरफ बीच में मौजूद वर्ग में लिखें।
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5
प्रत्येक भागफल को इस नए गुणनखंड या फैक्टर से विभाजित करें: नए भागफल को पुराने भागफल के नीचे मौजूद वर्ग में लिखें।
- उदाहरण के लिए, $9\div 3=3$ , इसलिए 3 को 9 के नीचे मौजूद वर्ग में लिखें।
- $15\div 3=5$ , इसलिए 5 को 15 के नीचे मौजूद वर्ग में लिखें।
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इस प्रक्रिया को तब तक दोहराएं जब तक आप उस पॉइंट तक नहीं पहुंच जाते जहां भागफल के अंतिम सेट का कोई सार्व गुणनखंड नहीं है अर्थात भागफल के अंतिम सेट में केवल अभाज्य गुणनखंड ही मौजूद है।
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7
पहले कॉलम और अंतिम रो की संख्याओं के चारों तरफ एक वृत्त बनाएं: आप “लघुतम समापवर्त्य (LCM)” दर्शाने के लिए एक “L“ आकार की आकृति बना सकते हैं। फिर इस आकृति में समाएं गुणनखंडो का इस्तेमाल करके एक मल्टिप्लिकेशन सेंटेस लिखें। ^{[५]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, 2 और 3 ग्रिड के पहले कॉलम में मौजूद है, और 3 और 5 ग्रिड की आखिरी रो में मौजूद है, इसलिए आप निम्नलिखित तरीके से मल्टिप्लिकेशन सेंटेस लिख सकते हैं: $2\times 3\times 3\times 5$ ।
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8
सारी संख्याओं को गुणा करें: जब आप सारे गुणनखंडों को गुणा करेंगे, तब जो उत्तर प्राप्त होगा वही आपके दी गई संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य या LCM है। ^{[६]
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रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, $2\times 3\times 3\times 5=90$ , इसलिए, संख्या 18 और 30 का लघुतम समापवर्त्य या LCM 90 है।

विधि 4

विधि 4 का 4:

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का इस्तेमाल करना (Using Euclid’s Algorithm)

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1
विभाजन में इस्तेमाल होने वाले पदों को समझें: विभाजित होनी वाली संख्या को भाज्य (dividend) कहते हैं। और जिस संख्या से भाज्य को विभाजित करते हैं उसे भाजक (divisor) कहते हैं। विभाजन के बाद मिलने वाले उत्तर को भागफल (quotient) और विभाजन के बाद यदि कुछ शेष बच जाएं, तो उसे शेषफल (remainder) कहते हैं। ^{[७]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, समीकरण $15\div 6=2\;{\text{remainder}}\;3$ :
  15 भाज्य है
  6 भाजक है
  2 भागफल है
  3 शेषफल है।
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2
भागफल-शेषफल के रूप में फॉर्मूला सेट करें: यह फॉर्मूला इस प्रकार है: ${\text{dividend}}={\text{divisor}}\times {\text{quotient}}+{\text{remainder}}$ । ^{[८]
X
रिसर्च सोर्स} आपको दो संख्याओं का महत्तम समापवर्त्य निकालने के लिए यूक्लिड एल्गोरिथम के इस फॉर्मूला का ही इस्तेमाल करने की आवश्यकता होगी।
- उदाहरण के लिए, $15=6\times 2+3$ है।
- सबसे बड़ा भाजक या गुणनखंड या फैक्टर जो दो संख्याओं में कॉमन है, वहीं संख्या का महत्तम सार्व भाजक (greatest common divisor) कहलाता है। ^{[९]
  X
  रिसर्च सोर्स}
- इस मेथड में, आपको सर्वप्रथम महत्तम सार्व भाजक या महत्तम समापवर्त्य (HCF) कैलकुलेट करने की आवश्यकता है, और फिर इसका इस्तेमाल करके आप लघुतम समापवर्त्य या LCM निकाल सकते हैं।
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3
दो संख्याओं में सबसे बड़ी संख्या को भाज्य (dividend) मान लें: छोटी संख्या को भाजक (divisor) की तरह इस्तेमाल करें। अब भाजक और भाज्य का इस्तेमाल करके भागफल-शेषफल के रूप में एक समीकरण लिखें।
- उदाहरण के लिए, यदि आपको 210 और 45 का लघुतम समापवर्त्य या LCM निकालना है, तो आपको $210=45\times 4+30$ इस प्रकार समीकरण लिखने की आवश्यकता होगी।
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4
ओरिजनल भाजक (divisor) को नया भाज्य (dividend) मानें: शेषफल को नए भाजक की तरह इस्तेमाल करें। फिर से नए भाजक और भाज्य का इस्तेमाल करके भागफल-शेषफल के रूप में एक समीकरण लिखें।
- उदाहरण के लिए, $45=30\times 1+15$ ।
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5
शेषफल 0 मिलने तक यही प्रक्रिया दोहराएं: हर नए समीकरण के लिए, पिछले समीकरण में इस्तेमाल हुए भाजक (divisor) को नया भाज्य (dividend) बनाएं और पिछले शेषफल (remainder) को नया भाजक (divisor) बनाएं। ^{[१०]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, $30=15\times 2+0$ । चूंकि इस समीकरण में शेषफल = 0 प्राप्त हो रहा है, आपको आगे विभाजन करने की आवश्यकता नहीं है।
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6
अंतिम भाजक (divisor) को देखें: अंतिम समीकरण में मौजूद भाजक ही दो संख्याओं का महत्तम समापवर्त्य या महत्तम सार्व भाजक है। ^{[११]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, $30=15\times 2+0$ यह अंतिम समीकरण है। इस समीकरण में मौजूद भाजक 15 है, और इसलिए संख्या 210 और 45 का महत्तम समापवर्त्य (HCF) या महत्तम सार्व भाजक 15 है।
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7
दी गई संख्याओं को गुणा करें: जो भी गुणनफल है उसे महत्तम सार्व भाजक या महत्तम समापवर्त्य (HCF) से विभाजित करें। ऐसा करने पर आपको दो संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य मिल जाएगा। ^{[१२]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, $210\times 45=9450$ है। इस संख्या को महत्तम समापवर्त्य (HCF) जो आपने कैलकुलेट किया है, उससे विभाजित करें, आपको ${\frac {9450}{15}}=630$ मिलेगा। इसलिए, संख्या 210 और 45 का लघुतम समापवर्त्य या LCM 630 है।

सलाह

यदि आपको दो से अधिक संख्याओं का LCM निकालना है, तो आप ऊपर दिए गए विधियों में ही थोड़ा बदलाव लाकर उन्हें इस्तेमाल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपको 16, 20 और 32 का लघुतम समापवर्त्य (LCM) निकालना है, तो आपको सर्वप्रथम 16 और 20 का LCM निकालने की आवश्यकता होगी (जो कि 80 है), और फिर 80 और 32 का LCM निकालना होगा, जो आपको 160 मिलेगा।
LCM निकालने के कई सारे उपयोग हैं। सबसे आम उपयोग यह है कि, जब आप किसी भिन्न का योग निकालते हैं या उन्हें घटाते हैं, तब उनके हर या डिनोमिनेटर (denominator) समान होने चाहिए; यदि भिन्न के हर समान नहीं है, तो आपको प्रत्येक भिन्न को समतुल्य भिन्न (equivalent fraction) में परिवर्तित करने की आवश्यकता होगी, ताकि उनके हर (denominator) समान हो सकें। ऐसा करने का बेहतरीन तरीका है हर की संख्या का लघुतम सार्व हर या लोवेस्ट कॉमन डिनोमिनेटर निकालना – अर्थात हर का लघुतम समापवर्त्य (LCM) निकालना।

[१]

[२]

[३]

[४]

[५]

[६]

[७]

[८]

[९]

[१०]

[११]

[१२]

लॉग इन

कैसे दो संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य या LCM पता करें (Find the Least Common Multiple of Two Numbers)

चरण

संख्याओं के गुणज या मल्टीपल्स लिखना (Listing all Multiples)

अभाज्य गुणनखंड विधि का इस्तेमाल करना (Using Prime Factorization)

ग्रिड या लैडर विधि का इस्तेमाल करना (Using the Grid or Ladder Method)

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का इस्तेमाल करना (Using Euclid’s Algorithm)

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