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ऐसा माना जाता है कि गणित एक कठिन विषय है। क्या सचमुच! कभी-कभी एेसा भी होता है कि आप गणित के नये फार्मूले तथा तरीके याद करते समय आसान से सिद्धांत भी भूल जाते हैं। क्या भिन्न (fractions) को सरल करते समय आपको भी कोई कठिनाई होती है? इस लेख को पढ़कर आप सीख सकते हैं कि कैसे आप भिन्न (fractions) को सरल कर सकते हैं।
चरण
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गुणक (factors) ज्ञात करें: सबसे पहले अपने भिन्न के अंश (numerator) तथा हर (denominator) के सभी गुणक लिखें। किसी भी संख्या के गुणक वो संख्याएँ होती हैं जिन्हें आपस में गुणा करने पर वही संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 3 तथा 4, 12 की गुणक होती हैं क्योंकि इन दोनों को आपस में गुणा करने पर 12 ही प्राप्त होता है। किसी संख्या के गुणक लिखने के लिए आप उन सभी संख्याओं को लिखें जिन्हें गुणा करने पर वह संख्या प्राप्त होगी। या फिर यह भी कहा जा सकता है कि इन सभी गुणकों से वह संख्या पूर्ण भाग होगी।
- किसी संख्या के गुणकों को लिखने के लिए छोटे से शुरु करते हुए बड़ते क्रम का पालन करें। इस क्रम में 1 तथा वास्तविक संख्या को भी शामिल करें। उदाहरण के लिए, भिन्न 24/32 के अंश तथा हर के गुणकों को नीचे दिए गए तरीके से लिखा जा सकता है:
- 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32
- किसी संख्या के गुणकों को लिखने के लिए छोटे से शुरु करते हुए बड़ते क्रम का पालन करें। इस क्रम में 1 तथा वास्तविक संख्या को भी शामिल करें। उदाहरण के लिए, भिन्न 24/32 के अंश तथा हर के गुणकों को नीचे दिए गए तरीके से लिखा जा सकता है:
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अंश तथा हर के महत्तम समापवर्तक (GCF) लिखें: GCF वह बड़ी-से-बड़ी संख्या होती है जो दो या दो से अधिक संख्याओं को समान रूप से विभाजित करती है। जब आप दोनों संख्याओं के गुणकों को क्रम में लिख लेते हैं तो इनमें से वह बड़ी-से-बड़ी संख्या पता करें जो कि दोनों लिस्ट में हो।
- 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8 , 12, 24.
- 32: 1, 2, 4, 8 , 16, 32.
- 24 तथा 32 का GCF 8 है, क्योंकि 8 वह बड़ी संख्या है जो दोनों 24 तथा 32 को विभाजित करेगी।
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अंश तथा हर को GCF से भाग करें: अब जब आपने अंश तथा हर का GCF पता कर लिया है तो आपको इन दोनों को GCF से भाग करना है जिससे यें दोनों विभाजित होकर छोटी संख्या में बदल जायें अर्थात् आपका भिन्न सरल हो जाये। नीचे दिये हुए उदाहरण से आप इसे और बेहतर समझ सकते हैं:
- 24/8 = 3
- 32/8 = 4
- 3/4 सरलतम भिन्न है।
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अपने उत्तर की जाँच करें: यदि आप यह जानना चाहते हैं कि भिन्न को आपने सही तरह से सरल किया है अर्थात् आपका उत्तर सही है तो इस सरलतम भिन्न के अंश तथा हर को GCF से गुणा करें। यदि ऐसा करने से आपको वास्तविक भिन्न प्राप्त होता है तो आपका उत्तर सही है। नीचे दिये गये उदाहरण से आप इसे और अच्छी तरह से समझ सकते हैं:
- 3 * 8 = 24
- 4 * 8 = 32
- आपको पुनः वास्तविक भिन्न 24/32 प्राप्त हुआ अर्थात् आपका उत्तर सही है।
- आप एक अन्य तरीके से भी यह जाँच सकते हैं कि आपका सरलतम भिन्न, जो कि हमारे इस उदाहरण में 3/4 है, और अधिक सरल किया जा सकता है या नहीं। 3/4 में अंश 3 क्योंकि एक प्राकृत संख्या है इसलिए यह केवल 1 तथा स्वयं अपने अतिरिक्त किसी और से विभाजित नहीं होगी। दूसरी ओर हर (4) भी 3 से विभाजित नहीं होगा अर्थात् आपका भिन्न इससे अधिक सरल नहीं किया जा सकता है और आपका उत्तर सही है।
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छोटी संख्या चुनें: इस तरीके से अपने प्रश्न का हल जानने के लिए आप कोई छोटी संख्या चुनें जैसे 2, 3, 4, 5, या 7। अपने भिन्न के अंश तथा हर को देखें और यह सुनिश्चित करें कि कि ये दोनों आपकी चुनी हुई छोटी संख्या से कम-से-कम एक बार विभाजित हों। उदाहरण के लिए यदि आपका भिन्न 24/108 है तो इसको भाग करने के लिए छोटी संख्या 5 न चुनें क्योंकि इससे अंश तथा हर दोनों ही विभाजित नहीं होंगे। जबकि यदि आपका भिन्न 25/60 है तो 5 एक अच्छी संख्या हो सकती है क्योंकि ये दोनों अंश तथा हर को पूर्णतः विभाजित करेगी।
- भिन्न 24/32 के लिए संख्या 2 चुनना बेहतर होगा क्योंकि अंश (24) तथा हर (32) दोनों सम (even) संख्याएँ हैं और ये 2 से पूर्णतः विभाजित होंगी।
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भिन्न के अंश तथा हर को चुनी हुई छोटी संख्या से भाग करें: 24/32 को 2 से भाग करने पर आपको नई भिन्न के अंश तथा हर प्राप्त होंगे। देखिए यह कैसे होगा:
- 24/2 = 12
- 32/2 = 16
- अापकी नई भिन्न 12/16 है।
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पुनः दोहरायें: अपनी भिन्न को भाग करना जारी रखें। क्योंकि आपकी नई भिन्न के अंश तथा हर अभी भी सम संख्याएँ हैं इसलिए इन्हें अभी भी 2 से विभाजित किया जा सकता है। यदि कभी भी आपको भिन्न में विषम संख्या प्राप्त होती है तो आप 2 के स्थान पर कोई नई संख्या चुन सकते हैं। आईये देखते हैं कि भिन्न 12/16 को पुनः भाग करने पर आप कैसे आगे बढ़ेंगे:
- 12/2 = 6
- 16/2 = 8
- अापकी नई भिन्न 6/8 होगी।
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भाग करना जारी रखें: प्रत्येक बार प्राप्त नई भिन्न को अपनी चुनी हुई संख्या से तब तक भाग करना जारी रखें जब तक कि आप ऐसी भिन्न पर न पहुँच जायें जिसे और आगे विभाजित नहीं किया जा सकता। हमारे इस उदाहरण में प्राप्त भिन्न के अंश तथा हर अभी भी सम संख्याएँ हैं अर्थात् इन्हें अभी भी 2 से विभाजित किया जा सकता है। तो आईये देखते हैं कैसे:
- 6/2 = 3
- 8/2 = 4
- आपका प्राप्त उत्तर है 3/4।
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सुनिश्चित करें कि आपकी भिन्न को इससे अधिक सरल नहीं किया जा सकता है: भिन्न 3/4 में 3 एक प्राकृत संख्या है इसलिए इसको केवल 1 तथा स्वयं 3 से ही भाग किया जा सकता है। 4 को भी 3 से विभाजित नहीं किया जा सकता है। इसका अर्थ यह है कि भिन्न को इससे अधिक सरल नहीं किया जा सकता है। हाँलांकि यहाँ पर यह भी समझना जरुरी है कि यदि अंश तथा हर आपकी चुनी हुई संख्या से अब और विभाजित नहीं हो रहे हैं तो इसका मतलब यह नहीं है कि आपको उत्तर प्राप्त हो गया है। अब अाप अपने भिन्न को भाग करने के लिए एक दूसरी संख्या चुन सकते हैं।
- उदाहरण के लिए यदि आपने भिन्न 10/40 चुनी है तो अंश तथा हर दोनों को 5 से भाग करने पर आपको 2/8 प्राप्त होगा। 2/8 को अब आप पुनः 5 से भाग नहीं कर सकते हैं। इसका मतलब यह नहीं है कि आपको उत्तर मिल गया है। 2/8 को पुनः 2 से भाग करें। अब आपको 1/4 प्राप्त होगा। इससे आगे यह किसी भी संख्या से भाग नहीं होगा।
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अपने उत्तर की जाँच करें: वापिस 3/4 को 2/2 से तीन बार गुणा करें। एेसा करने पर आपको 24/32 प्राप्त होगा अर्थात् आपकी वास्तविक भिन्न जिसे आपने सरल किया था। आईये देखें कि ये आपने कैसे किया:
- 3/4 * 2/2 = 6/8
- 6/8 * 2/2 = 12/16
- 12/16 * 2/2 = 24/32.
- ध्यान दें कि आपने 24/32 को 2 * 2 * 2 से भाग किया है जिसका अर्थ है कि आपने 8 से इन दोनों संख्याओं को भाग किया है। इसका मतलब यह है कि 8 वह बड़ी-से-बड़ी संख्या (GCF) है जिससे 24 तथा 32 को विभाजित किया गया।
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अपने भिन्न को लिखें: भिन्न के दाहिनी ओर कागज पर जगह छोड़ें। यहाँ पर आपको अंश तथा हर के गुणक लिखने होंगे।
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अंश तथा हर के गुणकों को क्रम में लिखें: इन दोनों की अलग-अलग लिस्ट बनायें। 1 से शुरु करते हुए इन्हें क्रमानुसार लिखें।
- उदाहरण के लिए यदि आपकी भिन्न 24/60 है तो पहले 24 से शुरु करते हैं।
इसके लिए आपको लिखना होगा: 24 -- 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 - इसी तरह 60 के गुणक लिखने होंगे।
आप इन्हें ऐसे लिख सकते हैं: 60 -- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
- उदाहरण के लिए यदि आपकी भिन्न 24/60 है तो पहले 24 से शुरु करते हैं।
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सबसे बड़े गुणक से भाग करें: किताबों में पढ़ते समय आपने इस बड़ी-से-बड़ी संख्या को GCF पढ़ा होगा। अपने भिन्न के अंश तथा हर में से ऐसी बड़ी कॉमन संख्या ढूंढे जो कि दोनों को भाग कर सके। इस संख्या से दोनों अंश तथा हर को भाग करें।
- हमारे लिए हुए उदाहरण में 12 ऐसी बड़ी संख्या है जो दोनों 24 तथा 60 का गुणक है। इसलिए हम 24/60 को 12 से भाग करेंगे जिससे 2/5 प्राप्त होगा जो कि हमारी भिन्न का सरलतम रूप है।
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अंश तथा हर के प्राकृत गुणक ज्ञात करें: एक प्राकृत संख्या वो होती है जो 1 से तथा स्वयं के अतिरिक्त किसी से पूर्ण भाग नहीं होती। 2, 3, 5, 7 और 11 प्राकृत संख्याअों के कुछ उदाहरण हैं।
- अंश से शुरु करें: 24 की दो शाखा 2 और 12 बनायें। क्योंकि 2 एक प्राकृत संख्या है अतः इस शाखा को हम आगे नहीं बढ़ा पायेंगे। अब 12 की पुनः दो शाखा 2 और 6 बनायें। दोबारा 2 वाली शाखा को यहीं रोककर 6 की दो नई शाखा 2 और 3 लिखें। अब चूंकि दोनों ही संख्याएँ प्राकृत बची हैं तो हम आगे नहीं बढ़ पायेंगे। अर्थात् हमें 2, 2, 2 और 3 प्राकृत संख्याएँ प्राप्त हुईं।
- हर को भी इसी तरह विभाजित करें: 60 को दो शाखाओं 2 तथा 30 में विभाजित करें। 2 वाली शाखा को यहीं रोकें। 30 को पुनः 2 तथा 15 में विभाजित करें। दोबारा 2 को यहीं रोकें तथा 15 को 3 तथा 5 में विभाजित करें। आपके पास 2, 2, 3 तथा 5 प्राकृत संख्याएँ हैं।
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अंश तथा हर के प्राकृत गुणक लिखें: गुणक लिखने के लिए प्राकृत संख्याओं को गुणा के निशान के साथ क्रमानुसार लिखें। ऐसा अंश तथा हर दोनों के लिए अलग-अलग करें। ध्यान रखें कि आपको इनको बस गुणा के निशान के साथ लिखना है, गुणा करना नहीं है।
- अतः 24 के लिए आप लिखेंगे 2 x 2 x 2 x 3 = 24
- 60 के लिए 2 x 2 x 3 x 5 = 60
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अब दोनों में से जो कॉमन गुणक हैं उन्हें हटा दें अर्थात् इन संख्याओं को आपको अलग करना है: हमारे उदाहरण में 2, 2 तथा 3 कॉमन गुणक हैं। इन्हें हटा दें।
- हमारे पास 2 तथा 5 बचे हैं अर्थात् 2/5। इस लेख में बताये गये अन्य तरीकों से भी यही उत्तर प्राप्त होगा।
सलाह
- आपको अपनी भिन्न को सरल करने में यदि कोई कठिनाई आ रही हो तो अपने अध्यापक से जरुर पूछें। आपको समझाने में उन्हें आनंद आयेगा।
