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दो भिन्न समतुल्य होते हैं यदि उनका मूल्य सामान होता है। भिन्न को समतुल्य बनाने की विधि को जानना गणित का एक आवश्यक कौशल है जो सामान्य बीजगणित से प्रगतिशील अंकगणित तक उपयोग में लाया जाता है। इस लेख में समतुल्य भिन्न की गणना की अनेकों विधियों का समावेश है, जिनमे सामान्य गुणन, विभाजन तथा जटिल विधियों द्वारा समतुल्य भिन्न को हल करने की विधि बताई गयी है।
चरण
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हर तथा अंश को समान संख्या से गुणा कीजिये: परिभाषा के अनुसार, दो असमान किन्तु समतुल्य भिन्न के हर तथा अंश एक दूसरे के गुणज होते हैं। दूसरे शब्दों में, भिन्न के हर तथा अंश को समान संख्या से गुणा करने पर समतुल्य भिन्न की प्राप्ति होती है। यद्यपि इस नए भिन्न में प्राप्त संख्या अलग होगी लेकिन भिन्न का मान समान होगा।
- उदाहरण के लिए, यदि हम भीं 4/8 लें तथा इसके हर तथा अंश दोनों को 2 से गुणा करें, तो हमें (4×2)/(8×2) = 8/16. ये दोनों भिन्न समतुल्य होंगे।
- (4×2)/(8×2) मौलिक रूप से 4/8 × 2/2 के समान है, ध्यान रखिये कि दोनों भिन्नों को गुणा करते वक्त हमें हर को हर से तथा अंश को अंश से गुणा करना है।
- भाग देने पर 2/2 संख्या 1 के बराबर होता है। इसलिए 4/8 तथा 8/16 समतुल्य हैं, तथा यह कहना उचित है कि 4/8 = 8/16
- किसी दिए गए भिन्न के असंख्य समतुल्य भिन्न होते हैं: आप हर तथा अंश को किसी भी पूर्ण संख्या से गुणा कर सकते हैं।
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हर तथा अंश को समान अंक से विभाजित कीजिये: गुणा की तरह भाग द्वारा भी हम समतुल्य भिन्न प्राप्त कर सकते हैं, जो शुरुआती भिन्न का समतुल्य होता हैं। समतुल्य भिन्न प्राप्त करने के लिए दिए गए भिन्न के हर तथा अंश को समान संख्या से विभाजित कीजिये। इस विधि की एक खास चेतावनी है—प्राप्त हुए भिन्न के हर तथा अंश में पूर्ण संख्या होनी चाहिए।
- उदाहरण के लिए, 4/8 पर पुनः गौर करते हैं। यदि गुणा के बजाय हम भिन्न के हर तथा अंश दोनों को 2 से विभाजित करें, तो (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4 प्राप्त होगा। 2 तथा 4 दोनों पूर्ण संख्या है, इसलिए यह समतुल्य भिन्न वैध होगा।
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छोटे हर को बड़े हर में रूपांतरित करने के लिए उपयुक्त संख्या निर्धारित करें: भिन्न से संबंधित कई सवाल में यह निर्धारित किया जाता है कि भिन्न समतुल्य हैं या नहीं। इस संख्या को निर्धारित करने पर आप भिन्न की समतुल्यता को सही सही जाँच सकेंगे।
- उदाहरण के लिए, पुनः भिन्न 4/8 तथा 8/16 पर गौर कीजिये। छोटा हर 8 है तथा हमें इस संख्या को 2 से गुणा करने की आवश्यकता है जिससे हमें बड़ा हर 16 प्राप्त होगा। इसलिए इस उदाहरण में वह संख्या 2 है।
- ज्यादा बड़ी संख्या के लिए, आप बड़े हर को छोटे हर से विभाजित कर सकते हैं। इस अवस्था में, 16 को 8 से विभाजित किया जाएगा, जिससे हमें 2 प्राप्त होगा।
- यह संख्या हमेशा पूर्णांक नहीं होगी। उदाहरण के तौर पर, यदि हर 2 तथा 7 हैं तो वह संख्या 3.5 होगी।
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छोटी संख्या में दर्शाए गए भिन्नों के हर तथा अंश को पहले चरण में दर्शायी गयी विधि द्वारा गुणा कीजिये: दो भिन्न जो कि अलग किन्तु समतुल्य हों, परिभाषा के अनुसार उनके, हर तथा अंश एक दूसरे के गुणज होते हैं . दूसरे शब्दों में, किसी भिन्न के हर तथा अंश को समान संख्या से गुणा करने पर हमें समतुल्य भिन्न प्राप्त होता है। [१] X रिसर्च सोर्स
- उदाहरण के तौर पर, यदि हम भिन्न 4/8 में हर तथा अंश दोनों को पूर्व-निर्धारित संख्या 2 से गुणा करें, तो हमें (4×2)/(8×2) = 8/16 प्राप्त होगा। जिससे यह सिद्ध होता है कि दोनों भिन्न समतुल्य हैं।
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सभी दिए गए भिन्नों को दशमलव अंकों के रूप में दर्शाएँ: साधारण चरांक-रहित भिन्न को आप दशमलव संख्या में परिवर्तित कर के समतुल्यता निर्धारित कर सकते हैं। चूँकि हर भिन्न एक विभाजन प्रक्रिया होती है, इससे यह समतुल्यता निर्धारित करने का सबसे आसान तरीका है।
- उदाहरण के तौर पर, हम भिन्न 4/8 लेते हैं। भिन्न 4/8 का मतलब है कि 4 को 8 से विभाजित किया गया है। जोकि 4/8 = 0.5 है। आप इसी तरह दूसरे सवाल भी हल कर सकते हैं, जोकि 8/16 = 0.5 है। दोनों भिन्नों के हर तथा अंशों में अलग-अलग संख्या होने के बावजूद भी दोनों उत्तर दशमलव में परिवर्तित करने पर समान हैं।
- समतुल्यता स्पष्ट न होने पर दशमलव के कई अंकों तक हल करने की आवश्यकता है। उदाहरण के तौर पर, 1/3 = 0.333 में दशमलव के पश्चात् 3 की पुनरावृत्ति होती है इसलिए 3/10 = 0.3 लिख सकते हैं। एक से अधिक अंक लिखने पर हम पायेंगे कि ये भिन्न समतुल्य नहीं हैं।
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भिन्न के हर तथा अंश को समान संख्या से विभाजित कर के समतुल्य भिन्न प्राप्त करें: ज्यादा जटिल भिन्नों के लिए भाग विधि में अतिरिक्त चरण का समावेश होता है। गुणन विधि की ही तरह समतुल्य भिन्न प्राप्त करने के लिए इसमें भिन्न के हर तथा अंश को समान संख्या से विभाजित करना होता है। इस प्रक्रिया को जांचने की एक कसौटी होती है। प्राप्त हुए समतुल्य भिन्न को वैध होने के लिए हर तथा अंश में पूर्ण संख्या प्राप्त होनी चाहिए।
- उदाहरण के रूप में, पुनः 4/8 पर विचार करते हुए, हम हर तथा अंश दोनों को 2 से विभाजित करते हैं, तो हमें (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4 प्राप्त होता है। 2 तथा 4 दोनों पूर्ण संख्या हैं, इसलिए यह समतुल्य भिन्न वैध है।
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भिन्न को इसके न्यूनतम मान तक ले आइये: अधिकतर भिन्नों को उनके न्यूनतम रूप में दर्शाया जाता है, और आप भिन्नों को उनके सरल रूप में उनके महत्तम सामान्य विभाजक (म.सा.वि.) से विभाजित कर के प्राप्त कर सकते हैं। इस चरण में, समतुल्य भिन्न को समान हर में रूपांतरित करने की ही तरह किया जाता है, लेकिन इस विधि में भिन्न को उनके न्यूनतम रूप में रूपांतरित करने की आवश्यकता है।
- जब भिन्न न्यूनतम रूप में होता है, इसके हर तथा अंश सबसे छोटे होते हैं। इन्हें किसी भी संख्या से विभाजित कर के और छोटे रूप में प्राप्त नहीं किया जा सकता। इसमें हम भिन्न को उसके हर तथा अंश के “महत्तम सामान्य विभाजक” (म.सा.वि.) से विभाजित करते हैं।
- हर तथा अंश का महत्तम सामान्य विभाजक (म.सा.वि.) वो सबसे बड़ी संख्या होती है जो कि दोनों को पूर्ण संख्या में विभाजित करती है। इसलिए, हमारे 4/8 के उदाहरण में, चूँकि 4 वो बड़ी संख्या है जो कि 4 तथा 8 दोनों को विभाजित कर के भिन्न का न्यूनतम रूप में परिवर्तित करता है। (4 ÷ 4)/(8 ÷ 4) = 1/2 . दिए गए हमारे उदाहरण 8/16 में, (म.सा.वि.) 8 है, जिससे हमारा भिन्न 1/2 के सरल रूप में परिवर्तित हो जाता है।
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दोनों भिन्नों को बराबर चिन्ह के दोनों ओर लिखिए: जब हमें पता हो कि भिन्न समतुल्य हैं तो हम तिरछे गुणन प्रक्रिया का उपयोग करते हैं लेकिन इसमें एक संख्या चरांक (साधारणतया x) के रूप में दी गयी होती है जिसका मान ज्ञात करना होता है। इस रूप में, जब हमें पता है कि दोनों भिन्न समतुल्य हैं क्योंकि वे बराबर चिन्ह के दोनों तरफ स्थित हैं। इन भिन्नों को तिरछे गुणन विधि द्वारा आसानी से हल किया जा सकता है। [२] X रिसर्च सोर्स
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दोनों भिन्नों को बराबर के दोनों ओर "X" के रूप में गुणा कीजिये: दूसरे शब्दों में, आप पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के हर से तथा दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के हर से गुणा करें, फिर इन उत्तरों को बराबर चिन्ह के दोनों ओर लिखिए। [३] X रिसर्च सोर्स
- हमारे दो उदाहरण 4/8 तथा 8/16 पर गौर कीजिये। यद्यपि इन दोनों भिन्नों में चरांक नहीं हैं, लेकिन हम इस संकल्पना को सिद्ध कर सकते हैं क्योंकि हमें पता है कि ये समतुल्य हैं। तिरछे गुणन द्वारा हमें 4 x 16 = 8 x 8, या 64 = 64, जो कि पूर्ण रूप से सत्य है। यदि ये दो संख्या समान न हो तो दोनों भिन्न समान नहीं होंगे।
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एक चरांक प्रस्तावित करें: चूँकि, तिरछा गुणन समतुल्य भिन्न को निर्धारित करने का सबसे आसान तरीका है, इसमें चरांक प्रस्तावित करने की आवश्यकता है।
- उदाहरण के तौर पर, समीकरण 2/x = 10/13 पर गौर कीजिये। तिरछा गुणन करने के लिए, हम 2 को 13 से गुणा करेंगे तथा 10 को x से गुणा करेंगे, फिर इन दोनों उत्तरों को बराबर चिन्ह के दोनों ओर लिखिए:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. यहाँ से हमारे चरांक का उत्तर प्राप्त करना एक साधारण बीजगणित है। x = 26/10 = 2.6 , जिससे शुरुआती समतुल्य भिन्न 2/2.6 = 10/13 होगा।
- उदाहरण के तौर पर, समीकरण 2/x = 10/13 पर गौर कीजिये। तिरछा गुणन करने के लिए, हम 2 को 13 से गुणा करेंगे तथा 10 को x से गुणा करेंगे, फिर इन दोनों उत्तरों को बराबर चिन्ह के दोनों ओर लिखिए:
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बहु चरांक वाले समीकरण के लिए तिरछे गुणन विधि का उपयोग करें: तिरछे गुणन विधि की एक विशेष बात यह है कि इसे सरल भिन्न (उपर की तरह) या ज्यादा जटिल भिन्न दोनों के लिए समान रूप से प्रयोग में लाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि दोनों भिन्नों में चरांक है, तो आपको हल करने की प्रक्रिया में दोनों चरांक को हटाने की आवश्यकता है। इसी तरह से, यदि किसी भिन्न के हर तथा अंश में चरांक है (जैसे कि x + 1), तो इसे साधारण रूप से ही हल कीजिये। [४] X रिसर्च सोर्स
- उदाहरण के तौर पर, समीकरण ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4) पर गौर कीजिये। इस हाल में, ऊपर की ही तरह, हम तिरछे गुणन द्वारा हल करेंगे:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, हम इस समीकरण को हल करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों से 2x घटाएंगे।
- 2 = 2x + 12, फिर हम समीकरण के दोनों पक्षों से 12 घटाकर चरांक को हटाएँगे।
- -10 = 2x, फिर 2 से विभाजित कर के x का मान ज्ञात कीजिये।
- -5 = x
- उदाहरण के तौर पर, समीकरण ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4) पर गौर कीजिये। इस हाल में, ऊपर की ही तरह, हम तिरछे गुणन द्वारा हल करेंगे:
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दोनों भिन्नों का तिरछा गुणन कीजिये: समतुल्यता के सवाल जिनमे वर्ग समीकरण सूत्रों की आवश्यकता है, उन्हें भी हम तिरछे गुणन द्वारा हल करते हैं। फिर भी तिरछे गुणन द्वारा चरांक के गुणन द्वारा प्राप्त समीकरण को साधारण बीजगणित द्वारा हल करना आसान नहीं है। इस तरह के समीकरण में, आपको गुणनखंड तथा वर्ग समीकरण विधि द्वारा हल करने की आवश्यकता है। [५] X रिसर्च सोर्स
- उदाहरण के लिए, समीकरण ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)) पर गौर कीजिये। पहले तिरछा गुणन करने पर:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x 2 + 2x -2x - 2 = 2x 2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x 2 - 2 = 12.
- उदाहरण के लिए, समीकरण ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)) पर गौर कीजिये। पहले तिरछा गुणन करने पर:
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इस समीकरण को वर्ग समीकरण में दर्शाइये: इस बिंदु पर, हम इस समीकरण को वर्ग समीकरण (ax 2 + bx + c = 0) के रूप में दर्शाएँगे, जिसमे हम इस समीकरण को शून्य के बराबर दिखाएंगे। इस सन्दर्भ में, समीकरण के दोनों पक्षों से 12 घटाने पर हमें 2x 2 - 14 = 0 प्राप्त होगा।
- कुछ मान 0 के बराबर हो सकते हैं। जबकि 2x 2 - 14 = 0 हमारे समीकरण का सबसे सरल रूप है, फिर भी सही समीकरण 2x 2 + 0x + (-14) = 0 है।
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वर्ग सूत्र में वर्ग समीकरण के अंको को भरिये: वर्ग समीकरण सूत्र (x = (-b +/- √(b 2 - 4ac))/2a) द्वारा हमें x का मान ज्ञात करने में मदद मिलेगी। [६] X रिसर्च सोर्स इस सूत्र की लम्बाई से घबराइए नहीं। आप इस चरण में सिर्फ वर्ग समीकरण से मान लेकर वर्ग समीकरण सूत्र में भर रहे हैं।
- x = (-b +/- √(b 2 - 4ac))/2a. In our equation, 2x 2 - 14 = 0, a = 2, b = 0, and c = -14.
- x = (-0 +/- √(0 2 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- √( 0 - -112))/2(2)
- x = (+/- √(112))/2(2)
- x = (+/- 10.58/4)
- x = +/- 2.64
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वर्ग समीकरण में x का मान भरकर अपने उत्तर को जाँच लें: x का प्राप्त किया हुआ मान पुनः वर्ग समीकरण में भरकर, आप आसानी से यह पता लगा सकते हैं कि आपका उत्तर सही है या नहीं। [७] X रिसर्च सोर्स इस उदाहरण में, आप वर्ग समीकरण में 2.64 तथा -2.64 दोनों मान भरेंगे।
सलाह
- भिन्न को समतुल्य रूप में रूपांतरित करना वास्तविक रूप से उन्हें 1 से गुणा करने की तरह है। ½ को 2/4 में रूपांतरित करने में, हर तथा अंश दोनों को 2 से गुणा करना 1/2 को 2/2 या 1 से गुणा करने के समान है।
- मिश्रित भिन्न को सामान्य भिन्न में रूपांतरित करने पर यह प्रक्रिया आसान हो जाती है। स्पष्टतः हर भिन्न उपर दिए उदाहरण 4/8 की तरह आसान नहीं होगा। उदाहरण के तौर पर, मिश्रित भिन्न ( 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, इत्यादि) रूपांतरण प्रक्रिया को और जटिल कर सकते हैं। यदि आपको मिश्रित भिन्न को समतुल्य भिन्न में रूपांतरित करने की आवश्यकता है, तो आप इसे दो तरीकों से कर सकते हैं: मिश्रित भिन्न को सामान्य भिन्न में रूपांतरित कर के साधारण प्रक्रिया द्वारा, या
मिश्रित भिन्न को उसी प्रकार रखते हुए उसी रूप में उत्तर प्राप्त करना।
- सामान्य भिन्न में परिवर्तित करे के लिए, मिश्रित भिन्न की पूर्ण संख्या को भिन्न घटक के हर से गुणा कीजिये तथा गुणनफल को अंश से जोड़ दीजिये। उदाहरण के लिए, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. फिर, आवश्यकतानुसार आप इसे परिवर्तित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 5/3 × 2/2 = 10/6 , जो कि 1 2/3 के बराबर होगा।
- जबकि हमें उपर बताई गयी विधि से सामान्य भिन्न में परिवर्तित नहीं करना है। यदि हम इस चरण को नहीं करते, तो हम मिश्रित भिन्न के पूर्णांक घटक को न ध्यान देकर सिर्फ भिन्न घटक को ही रूपांतरित करते हैं, फिर पूर्णांक को बिना बदले जोड़ देते हैं। उदाहरण के लिए, 3 4/16 में, हम सिर्फ 4/16 पर गौर करते हैं। 4/16 ÷ 4/4 = ¼, इस प्रकार, पुनः पूर्णांक को जोड़ने पर हमें मिश्रित भिन्न 3 1/4 प्राप्त होता है।
चेतावनी
- समतुल्य भिन्न प्राप्त करने के लिए गुणन तथा विभाजन का प्रयोग किया जाता है, क्योंकि गुणन तथा विभाजन द्वारा हम भिन्न को बिना बदले संख्या 1 के रूप में (2/2, 3/3, इत्यादि) लिख सकते हैं। जोड़ तथा घटाने द्वारा यह संभव नहीं है।
- भिन्न को गुणा करते समय आप इसके हर तथा अंश दोनों का गुणन करते हैं, इसी तरह भिन्नों के जोड़ तथा घटाव में हर को जोड़ा या घटाया नहीं जाता।
- उदाहरण के लिए, उपर दिए हुए भिन्न में, हम पाते हैं कि 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. यदि हमने 4/4 जोड़ा होता तो पूर्ण रूप से अलग उत्तर प्राप्त हुआ होता। 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 या 3/2 , जो कि 4/8 से सर्वथा भिन्न है।
रेफरेन्स
- ↑ http://www.themathpage.com/arith/equivalent-fractions.htm
- ↑ http://www.helpwithfractions.com/math-homework-helper/equivalent-fractions/
- ↑ http://www.helpwithfractions.com/math-homework-helper/equivalent-fractions/
- ↑ http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U3/S22/S22_print.html
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/solvquad4.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/solvquad4.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/solvquad4.htm
