이차방정식의 근 구하는 법

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이차방정식은 ax 2 + bx + c = 0 의 형태를 가진 a ≠ 0인 모든 식을 의미한다. 그냥 "이차방정식의 근을 구하라"는 문장을 보면 어려워보이지만 사실 "근을 찾으라"는 말은 x의 값을 구하라는 말과 같다. 그리고 이차방정식에는 근의 공식이라는 것이 있어 주어진 값만 넣으면 x의 값이 바로 나오게 되어 있다: x = (-b +/-√(b 2 - 4ac))/2a . 이 글에서는 이 공식과 공식의 사용법을 배우고 식의 형태에 따라 근을 구하기 위해 어떤 요령을 사용해야 하는지를 익힐 수 있다.

방법 1
방법 1 의 2:

근의 공식 사용하기

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  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/23\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-1-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-1-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/23\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-1-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-1-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    이차방정식은 변수 x 가 제곱이며 x 제곱의 계수인 a가 0이 아닌( a ≠ 0) 방정식을 의미한다. [1] 간단히 풀어보자면 이 말은 한 변수(보통 x)의 최고차항이 2 인 방정식을 의미한다. 그리고 일반형은 다음과 같이 표현된다: ax 2 + bx + c = 0
    • 주어진 방정식을 일반형으로 바꾸기 위해서는 = 부호를 기준으로 한 모든 변수와 상수를 한 쪽으로 몰아넣어 반대편이 0 이 되게 해야 한다. 예를 들어 식 2x 2 + 8x = -5x 2 - 11 을 일반형으로 바꾸려면 아래처럼 풀어야 한다:
    • 2x 2 + 8x = -5x 2 + 11
    • 2x 2 + 5x 2 + 8x = + 11
    • 2x 2 + 5x 2 + 8x - 11 = 0
    • 7x 2 + 8x - 11 = 0 . 이를 살펴보면 위에서 언급한 일반형인 ax 2 + bx + c = 0 와 같은 형태를 띄고 있는 것을 알 수 있다.
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/38\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-2-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-2-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/38\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-2-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-2-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    이차방정식의 근을 구하는 것은 근의 공식을 사용함녀 매우 쉽다. 그냥 a, b, c를 공식에 대입하고 계산하기만 하면 된다. 일반형으로 정리된 이차방정식이 ax 2 + bx + c = 0임을 생각하면 a, b, c는 각 항의 계수가 된다. x 2 의 계수가 a, x의 계수가 b, 나머지 상수항이 c가 된다.
    • 다시 예시로 돌아가보자. 7x 2 + 8x - 11 = 0 이므로 a = 7, b = 8, c = -11 가 된다.
    • 이 값을 공식에 대입하면 다음처럼 된다. x = (-8 +/-√(8 2 - 4(7)(-11)))/2(7)
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d9\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-3-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-3-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d9\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-3-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-3-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    a, b, c 값을 공식에 대입하면 +/- 부호를 제외한 나머지를 쉽게 계산할 수 있다. 이 부호 문제는 다음 단계에서 해결할 것이다.
    • 예시 문제를 게속 풀어보자:
    • x = (-8 +/-√(8 2 - 4(7)(-11)))/2(7)
    • x = (-8 +/-√(64 - (28)(-11)))/(14)
    • x = (-8 +/-√(64 - (-308)))/(14)
    • x = (-8 +/-√(372))/(14)
    • x = (-8 +/- 19.29/(14) . 일단 지금은 여기서 멈추도록 한다.
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/5e\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/5e\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    의 최종 답안을 얻기 위해 더하고 빼기. 이차방정식의 근을 찾을 때 까다로운 점 중 하나가 바로 이것이다. 답이 두 개 이기 때문이다(학교 숙제로 이차방정식을 풀고 있다면 근 두 개를 다 써야 정답이 되니 이를 잊지 말자!). 두 근을 두하기 위해서는 한 번은 값을 더하고 한 번은 값을 빼어 두 개의 다른 답을 구하면 된다.
    • + 부호를 넣고 값을 더하면:
    • x = (-8 + 19.29)/(14)
    • x = 11.29/14
    • x = 0.81
    • - 부호를 넣고 값을 빼면 :
    • x = (-8 - 19.29)/(14)
    • x = (-27.29)/(14)
    • x = -1.95 .
    • 따라서 답(근)은 0.81과 -1.95 가 된다.
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/43\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-5.jpg\/v4-460px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/43\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-5.jpg\/v4-728px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    시간이 있다면 근의 공식으로 구한 두 개의 근을 이차방정식에 넣어 검산해보는 것이 좋다. 근의 공식이 복잡하다보니 쉽게 실수를 할 수도 있기 때문이다. 검산법은 아주 쉬우니 아래를 참고해 해보는 것이 좋다.
    • 가장 빠르고 쉽게 답이 맞는지 확인하는 법은 a, b, c의 값을 이차방정식 계산기에 넣는 것이다. 인터넷에 검색만 해도 바로 나오며 이 계산기 를 사용해볼 수도 있다(출처: mathisfun.com). [2]
  6. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/0c\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-6.jpg\/v4-460px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-6.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/0c\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-6.jpg\/v4-728px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-6.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    인터넷 계산기로 값을 확인할 수 있는 상황이 아니어도 비교적 쉽게 구한 답이 맞는지 확인이 가능하다. 바로 구한 근을 원래 방정식의 x에 대입하는 것이다. 그렇게 계산해 좌변이 우변처럼 0으로(또는 0과 매우 근접하게) 나왔다면 올바른 근을 구한 것이다.
    • 7x 2 + 8x - 11 = 0에 답을 넣어 구한 근이 맞는지 확인해보자:
    • 7(-1.95) 2 + 8(-1.95) - 11
    • 26.62 - 15.6 - 11
    • 26.62 - 26.5 = 0.02 . 이는 거의 0에 가깝다. 반올림을 하면 0이 나오므로 맞는 답을 구했다 볼 수 있다.
    • 7(0.81) 2 + 8(0.81) - 11
    • 4.59 + 6.48 - 11 = 0.07 . 위와 마찬가지로 0과 근접한 답이 나왔으니 맞았을 확률이 높다.
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방법 2
방법 2 의 2:

인수분해로 근 구하기

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"A" 값을 1로 놓고 인수분해 하기

  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/6a\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-7.jpg\/v4-460px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-7.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/6a\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-7.jpg\/v4-728px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-7.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    위에서 설명한 근의 공식이 유용하기는 하지만 이는 이차방정식의 근을 구하는 한 가지 방법일 뿐이다. 일부 이차방정식은 인수분해 가 가능하며 이를 통해 전혀 다른 식의 형태로 바꿔서 문제를 매우 간단하게 풀어볼 수도 있다. 일단은 주어진 이차방정식을 일반형: ax 2 + bx + c = 0으로 바꾸도록 하자.
    • 다만 이 글에서는 정리한 이차방정식의 x 2 의 계수가 1인 경우만을 가정해서 풀도록 하겠다. 계수 a가 1이 아닐 때는 과정이 좀 더 복잡해진다(아래의 글 참고). 이번에는 예문으로 x 2 + 7x + 12 = 0 를 풀어보도록 하겠다. 그리고 단계를 진행하면서 인수분해를 하고 근을 구해볼 것이다.
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/28\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-8.jpg\/v4-460px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-8.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/28\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-8.jpg\/v4-728px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-8.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    "인수분해"라는 것은 "결과물이 나오게 하는 두 요소를 찾는 것"을 의미한다. 여기서는 곱해서 주어진 이차방정식이 나오게 하는 두 식을 찾을 것이다. 일단 가장 높은 차수가 x 2 의 2이므로 (x + _)(x + _) = 0와 같이 인수분해의 틀을 잡아볼 수 있다.
    • 단계를 진행하면서 이 빈칸을 채워 완전한 인수분해를 수행할 것이다.
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    이제 곱해서 상수항 C를 만들 수 있는 모든 두 수의 조합을 생각해보도록 한다. 이를 인수라고 부른다.
    • 주어진 식 (x 2 + 7x + 12 = 0)에서는 12가 c가 된다. 이 숫자는 1과 12, 2와 6, 3과 4를 곱해 만들 수 있다. 즉, 12의 인수는 1, 2, 3, 4, 6, 12 가 된다.
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    서로 곱해 C를 만들 수 있는 인수의 쌍들을 구했다면 이제 이 두 수를 더해서 b가 나오는 조합을 찾아보도록 하자. 여기서는 b의 인수를 찾는 것이 아니라 c의 인수를 더해 b가 나오는 것을 찾아야 한다.
    • 우리 식 (x 2 + 7x + 12 = 0)에서는 b가 7이다. 그리고 c의 인수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이며 그중 3과 4 만이 더해서 7이 될 수 있다. 바로 이 두 숫자가 우리가 찾던 숫자다.
    • 만약 더해서 7이 되는 두 숫자가 없다면 주어진 이차방정식은 "정수항으로 인수분해할 수 없는" 식이라고 볼 수 있다. [3] 즉, 인수분해를 할 수 없기 때문에 근을 구하기 위해 다른 방법을 써야 한다는 뜻이다.
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7d\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-11.jpg\/v4-460px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-11.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/7d\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-11.jpg\/v4-728px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-11.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    이제 방금 구한 인수 두 개를 위의 빈칸이 있는 인수분해 식에 넣도록 한다. 그러면 주어졌던 이차방정식이 어떤 두 식의 곱셈으로 표현되는지 알 수 있게 된다.
    • 빈칸을 채우면 다음과 같이 된다: (x + 3)(x + 4) = 0.
  6. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/da\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-12.jpg\/v4-460px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-12.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/da\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-12.jpg\/v4-728px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-12.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    이제 좌변을 0으로 만들기 위해 x에 넣을 값들을 알아내야 한다. 어떤 값을 넣어야 x와 더했을 때 0이 되게 할 수 있을까? 곱하는 식이 두 개가 있으니 나오는 답도 두 개일 것이다. 0과 다른 식을 곱해봐야 0이 되기 때문이다.
    • 두 식이 (x + 3)과 (x + 4)이다. 이를 각각 0으로 만들려면 아래처럼 식을 풀면 된다.
    • x + 3 = 0: x = -3
    • x + 4 = 0: x = -4
    • 근의 공식을 썼어도 위와 같은 답이 나왔을 것이다.
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"A"가 1이 아닐 때 인수분해 하기

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    이차방정식의 x 2 의 계수 a가 1이 아니라면 인수분해가 조금 더 어려워지긴 하지만 완전히 불가능하지는 않다. 먼저 A를 인수로 나눠보도록 하자. 최고차항이 x 2 이기 때문에 두 인수에는 x가 들어가야 한다.
    • 여기선 2x 2 + 14x + 12 = 0 를 예문으로 사용할 것이다. 그리고 2x 2 를 보면 2가 소수이므로 계수의 인수가 2와 1뿐이라는 점을 알 수 있다. 즉 2x 2 의 인수는 2x와 x 가 된다.
    • 인수가 두 개 이상일 가능성도 있다. 만약 식의 최고차항이 8x 2 였다면 8x와 x, 그리고 2x와 4x로 조합이 두 개가 나왔을 것이다. 이 경우에는 두 조합을 모두 활용해 인수분해가 가능한지 각각 확인해봐야 한다.
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/91\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-14.jpg\/v4-460px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-14.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/91\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-14.jpg\/v4-728px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-14.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    이제 위에서 한 차례 설명한 것과 같은 방식으로 인수분해를 해야 한다. 대신 이번에는 x에 계수가 붙게 될 것이다(a의 값에 따라 양쪽 x 앞에 계수가 붙을 수도 있다). [4]
    • 예시 문제를 (2x + _)(x + _) 처럼 바꿔볼 수 있다.
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/63\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-15.jpg\/v4-460px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-15.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/63\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-15.jpg\/v4-728px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-15.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    이 과정은 위와 똑같다. 두 값을 곱해 c가 나오는 인수의 조합을 찾는 것이다.
    • 우리 식에서는 c가 12이기 때문에 인수도 똑같게 나온다: 1, 2, 3, 4, 6, 12 .
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/8f\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-16.jpg\/v4-460px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-16.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/8f\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-16.jpg\/v4-728px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-16.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    이 과정이 조금 어려울 수 있다. 여기서는 두 숫자를 골라 인수분해된 식에 넣고 식을 풀었을 때 나오는 상수항 값을 확인해야 한다. 참고로 두 x 모두에 계수가 붙을 수도 있고 x 하나에만 계수가 붙을 수도 있다는 점을 기억하도록 하자.
    • 우리 식에서는 b가 14x이다. 즉, 곱해서 c가 되는 인수의 조합들을 놓고 하나에는 2x를 곱하고 다른 하나에 x를 곱해 더했을 때 14x가 나오는 조합을 찾아야 한다는 뜻이다.
    • 3과 4에서부터 시작해보도록 하자. 3 × 2x = 6x, 4 × x = 4x. 4x + 6x = 10x이다. 14x가 아니므로 바꿔서 해본다. 4 × 2x = 8x, 3 × x = 3x. 8x + 3x = 11x. 그래도 14x가 나오지 않는다. 즉, 다른 인수 조합을 사용해야 한다는 뜻이다.
    • 6과 2를 써보자. 2. 6 × 2x = 12x, 2 × x = 2x. 12x + 2x = 14x. 나왔다! 이제 이 6과 2를 인수분해 식의 빈칸에 넣고 식을 완성시키기만 하면 된다.
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/17\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-17.jpg\/v4-460px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-17.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/17\/Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-17.jpg\/v4-728px-Find-the-Roots-of-a-Quadratic-Equation-Step-17.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    구한 두 인수를 빈칸에 넣어보도록 하자. 각각 올바른 위치에 넣어야 곱하고 더했을 때 b가 나온다는 점을 염두에 두어야 한다. 이후에는 각각의 괄호 안이 0이 되게 하는 x 값을 구하기만 하면 된다. 이전이랑 똑같다.
    • 빈칸을 채우면 우리 식이 (2x + 2)(x + 6) = 0 처럼 바뀐다. 이제 괄호 안을 아래처럼 0으로 만들어 x를 구해보자:
    • 2x + 2 = 0
    • 2x = -2 : x = -1
    • x + 6 = 0 : x = -6
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팁

  • 믿거나 말거나 인수분해와 근의 공식은 이차방정식을 풀기 위해 많은 과정을 요약은 풀이이다. 근의 공식 유도법을 찾아보도록 하자. 상당히 복잡하니 여유를 가지고 해석하는 것이 좋다.
  • 제곱근을 풀면 음수와 양수가 동시에 나오게 된다. 무조건반사로 양수만 써서 다 구한 답을 틀리지 않게 주의하자.
  • 일부 이차방정식은 이차방정식에 여러 조작을 가해 평방화시켜 풀 수도 있다. 이차방정식의 계수 a가 1이 아닐 때 푸는 방법에 대해 다양하게 찾아보도록 하자.
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출처

  1. ↑ http://education-portal.com/academy/lesson/what-is-a-quadratic-equation-definition-examples.html
  2. ↑ http://www.mathsisfun.com/quadratic-equation-solver.html
  3. ↑ http://www.purplemath.com/modules/factquad2.htm
  4. ↑ http://www.purplemath.com/modules/factquad2.htm

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