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किसी गणितीय फंक्शन (function) का शून्य, x का वह मान होता है जिसको समीकरण में रखने पर फंक्शन शून्य हो जाता है। आप सामान्यतः किसी भी बहुपदीय समीकरण (polynomial equation) का उत्तर जानने के लिए फंक्शन का शून्य जानने का प्रयत्न करते हैं। उदाहरण के लिए x 2 + 4x +3 = 0। इस लेख में बताये गये अलग-अलग तरीकों को सीख कर आप फंक्शन के शून्य ज्ञात कर सकते हैं।
चरण
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अपने समीकरण को इस तरह लिखें x 2 + 5x + 4: सबसे बड़े पद से शुरु करते हुए अगले पदों पर तब तक बढ़िए जब तक आप स्थिरांक (constant) पर न पहुँच जायें। आप अपने इस बहुपदीय समीकरण को इस प्रकार लिखें कि पहला पद x 2 हो। धीरे-धीरे आगे बढ़ते हुए आप अंतिम पद पर पहुँचे जो कि एक अकेली संख्या होगी जैसे कि 8 या फिर 4। समीकरण के अंत में बराबर का निशान (equals sign) तथा एक शून्य लिखें।
- बहुपद के पद जो सही तरीके से व्यवस्थित किये गये हैं:
- x 2 + 5x + 6 = 0
- x 2 - 2x – 3 = 0
- बहुपद के पद जो सही तरीके से व्यवस्थित नहीं किये गये हैं:
- 5x + 6 = -x 2
- x 2 = 2x + 3
- बहुपद के पद जो सही तरीके से व्यवस्थित किये गये हैं:
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अपने समीकरण में पदों के साथ संख्याएँ " a ", " b ", और " c " जोड़ें: इन्हें लिखने में किसी तरह का गणित शामिल नहीं है। ऐसा करने से आप अपने समीकरण के गुणक आसानी से ज्ञात कर पायेंगे। अपने समीकरण के दिये हुए प्रारूप (format) को समझें। इसका प्रारूप इस प्रकार है: a x 2 ± b x ± c = 0। आपको बस इस समीकरण में a , b , और c का मान ज्ञात करना है। इसके लिए हम कुछ उदाहरण आपको बता रहे हैं:
- x 2
+ 5x + 6 = 0
- a = 1 (क्योंकि "x" = 1 के आगे कोई संख्या नहीं है तथा केवल एक "x" है)
- b = 5
- c = 6
- x 2
- 2x – 3 = 0
- a = 1 (क्योंकि "x" = 1 के आगे कोई संख्या नहीं है तथा केवल एक "x" है)
- b = -2
- c = -3
- x 2
+ 5x + 6 = 0
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" c " के मान के सभी गुणक जोड़ों (factor pairs) को लिखें: एक गुणक जोड़े में ऐसी दो संख्याएँ होती हैं जिन्हें आपस में गुणा करने पर वास्तविक संख्या प्राप्त होती है। नेगेटिव संख्याओं का विशेष ध्यान रखें। दो नेगेटिव संख्याएँ आपस में गुणा करने पर एक पॉजिटिव संख्या बनाती हैं। यहाँ पर यह ध्यान देना आवश्यक है कि गुणक जोड़े की दोनों संख्याओं का क्रम कुछ भी हो सकता है। ("1 x 4" तथा "4 x 1" आपस में एक जैसे ही हैं तथा दोनों को हल करने पर एक ही उत्तर प्राप्त होगा।)
- समीकरण: x 2
+ 5x + 6 = 0
- 6 का गुणक जोड़ा, या c
:
- 1 x 6 = 6
- -1 x -6 = 6
- 2 x 3 = 6
- -2 x -3 = 6
- समीकरण: x 2
+ 5x + 6 = 0
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एक ऐसा गुणक जोड़ा ढूंढे जो आपस में जोड़ने पर " b " के बराबर हो: अपने समीकरण में b का मान देखें और ऐसा गुणक जोड़ा पता करें जिन्हें आपस में जोड़ने पर वही संख्या प्राप्त हो।
- * b का मान = 5
- गुणक जोड़ा जिन्हें आपस में जोड़ने पर 5 प्राप्त हो = 2 और 3
- 2 + 3 = 5
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इस गुणक जोड़े को दो द्विपद (binomial) में लिखें: एक द्विपद (x ± संख्या)(x ± संख्या) होता है। आप यह कैसे पता करेंगे कि आपके द्विपद में जमा का या फिर घटा का निशान हो? आप अपने गुणक जोड़े को देखें: पॉजिटिव संख्या = जमा का निशान, तथा नेगेटिव संख्या = घटा का निशान। इस उदाहरण में हमने नीचे दिये गये गुणक जोड़े से द्विपद बनाया है:
- (x + 2)(x + 3) = 0
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प्रत्येक गुणक में स्थिरांक को समीकरण के दूसरी तरफ ले जाकर हल करें: दोनों द्विपदों को इस प्रकार अलग-अलग लिखें — (x + 2) = 0 तथा (x + 3) = 0 — और तब जोड़कर या फिर घटाकर चर (variable) तथा स्थिरांक को अलग-अलग कर समीकरण को हल करें:
- (x + 2) = 0 बन जायेगा x = -2
- (x + 3) = 0 बन जायेगा x = -3
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अापका प्रश्न हल हो गया है: ये आपके फंक्शन के शून्य हैं।
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द्विघात सूत्र जानें: किसी समीकरण को हल करने के लिए द्विघात सूत्र इस प्रकार होता है:
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अपने समीकरण में संख्याएँ " a ", " b ", और " c " जोड़ें: इस तरह से लिखने में किसी प्रकार के गणित का प्रयोग नहीं किया गया है। इनका प्रयोग केवल इसलिए किया गया है जिससे आपके समीकरण को सरलता से हल किया जा सके। अपने समीकरण के प्रारूप को समझें। आपके समीकरण का प्रारूप इस प्रकार है: a x 2 ± b x ± c = 0। समीकरण से a , b , तथा c का मान पता करें।
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" a ", " b ", और " c " का मान पता करने के बाद इन्हें द्विघातीय समीकरण में रखें: अापके पास संख्याएँ भी हैं तथा द्विघातीय सूत्र भी आपके सामने है। अब इस समीकरण में जहाँ पर आप a देखें वहाँ पर a का मान रखें। इसी प्रकार " b का" और " c का" मान रखें।
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समीकरण को हल करें: द्विघातीय सूत्र को हल करते समय आपको पता होना चाहिये कि कैसे आपको भाग करना है, कैसे आपको वर्गमूल निकालना है तथा भिन्न को कैसे हल करना है। बाकी सब कुछ आसान है, बस आपको सभी मान समीकरण में सही तरीके से रखने हैं।
- द्विघातीय समीकरण को हल करने का एक दूसरा तरीका है वर्ग को पूरा करना। कुछ लोगों को द्विघात सूत्र की तुलना में यह तरीका ज्यादा आसान लगता है।
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ध्यान रखें कि द्विघात सूत्र द्वारा प्राप्त दो मान आपके फंक्शन के वे शून्य हैं जिन्हें आपको पता करना था: क्योंकि किसी संख्या का वर्गमूल इस प्रकार लिखा जायेगा: a ± संख्या (i.e. ±5), अतः आपके पास दो अलग-अलग भिन्न (fraction) होंगे। इन दोनों भिन्नों को हल करने पर अापके फंक्शन के शून्य प्राप्त होंगे।
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अपने फंक्शन को ग्राफिंग केलकुलेटर में रखिये: आपका समीकरण x 2 + 8x + 12 = 0 इस तरह होना चाहिये।
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ग्राफ के X-अक्ष (X-axis) पर वो दो बिंदु देखें जहाँ पर समीकरण आपस में काट रहे हों: ये दो बिंदु आपके फंक्शन के शून्य या फिर आपके उत्तर होंगे।
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इस ग्राफ तकनीक का प्रयोग अपने उत्तर को पुनः जाँचने के लिए अधिक करें न कि हमेशा अपने समीकरण को इस तरीके से हल करने के लिए: यदि आप अपने समीकरण के शून्य ग्राफ की सहायता से पता करना चाहते हैं और आपको कुछ कार्य दिखाना है, तो आप इस तरीके का प्रयोग अपने उत्तर को जाँचने के लिए दिखायें कि यह सही है या नहीं। अधिकांश अध्यापक सिर्फ उत्तर के लिए आपको अंक नहीं देगें तथा आपको कुछ करके तो दिखाना ही होगा।
सलाह
- आप अपने उत्तर को समीकरण में रखकर जाँच कर सकते हैं। इसके लिए अपने उत्तर को समीकरण में एक साथ न रखकर बल्कि बारी-बारी से रखें। यदि आपकी समीकरण में शून्य आ जाता है तो आपका उत्तर सही है।
रेफरेन्स
- http://www.mathwarehouse.com/algebra/factor/how-to-factor-trinomials-step-by-step.php
- http://www.purplemath.com/modules/quadform.htm
- http://www.regentsprep.org/Regents/math/ALGEBRA/AE5/LFacEq.htm
- http://www.cliffsnotes.com/study_guide/Graphing-Polynomial-Functions.topicArticleId-257309,articleId-257206.html
