PDF 다운로드
PDF 다운로드
직선과는 다르게 곡선의 기울기는 그래프를 따라 움직이며 계속 바뀝니다. 미적분을 이용하면 각 그래프 위 점에서의 기울기, 또는 "순간 변화율"을 구할 수 있습니다. 접선이란 그래프 위의 한 점을 지나며 그 점에서의 기울기를 갖는 직선입니다. 접선의 방정식을 구하려면, 기존 방정식을 미분할 줄 알아야 합니다.
단계
-
함수와 접선을 그리세요(그리는 걸 추천해요). 그래프는 문제를 풀 때 답이 맞는지 확인할 수 있어 좋아요. 그래프 모눈 종이 위에 필요하다면 그래프 계산기를 참고하여 함수를 그리세요. 주어진 점에서의 접선을 그리세요(명심하세요, 접선은 주어진 점을 지나며 그 점에서의 기울기를 가집니다.)
- 예제 1:
포물선
을 그리세요. 점 (-6, -1)을 지나는 접선을 그리세요.
아직 접선의 방정식을 모르지만 기울기가 음수라는 것을 알 수 있죠. 또한 y절편이 음수 값(포물선의 꼭지점 아래로 내려가 y값이 -5.5)인 것도 알 수 있어요. 최종 답이 이를 만족하지 않는다면 어디서 실수를 했는지 확인해볼 수 있어요.
- 예제 1:
포물선
을 그리세요. 점 (-6, -1)을 지나는 접선을 그리세요.
-
접선의 방정식의 기울기 를 미분하여 구하세요. 함수 f(x)의 미분 값인 f'(x)은 함수 f(x) 위의 한 점에서 그은 접선의 기울기 값을 의미합니다: 이를 구하는 데에는 여러 가지 방법이 존재합니다. 멱의 법칙을 사용하는 간단한 예가 있습니다. [1] X 출처 검색하기
- 예제 1 (cont.):
함수의 그래프는
입니다.
멱의 법칙을 떠올리며 미분하세요: .
함수 미분 = f'(x) = (2)(0.5)x + 3 - 0.
f'(x) = x + 3. 방정식의 x에 임의의 값 a를 넣으세요. 이 값은 함수 f(x) 위의 점 x=a에서 그은 접선의 기울기입니다.
- 예제 1 (cont.):
함수의 그래프는
입니다.
-
구하는 x 값의 좌표를 넣으세요. 문제를 읽은 뒤 접선을 긋는 점의 x좌표를 알아내세요. f'(x)에 x값을 넣으세요. 결과 값이 바로 그 점에서의 접선의 기울기입니다.
- 예제 1 (계속):
문제에서 주어진 점은 (-6, -1)입니다. x좌표 -6을 f'(x)에 넣으세요:
f'(-6) = -6 + 3 = -3
접선의 기울기는 -3입니다.
- 예제 1 (계속):
문제에서 주어진 점은 (-6, -1)입니다. x좌표 -6을 f'(x)에 넣으세요:
-
접선 방정식을 점 경사 형태로 적으세요. 직선 방정식의 점-기울기 형태는 입니다. m 은 기울기를 나타내고 는 직선 위의 점입니다. [2] X 출처 검색하기 이제 당신은 이런 형태의 접선의 방적식을 만들기 위한 모든 정보를 다 가지고 있습니다.
- 예제 1 (cont.):
직선의 기울기는 -3, 그러므로
접선은 점 (-6, -1)을 지납니다, 그러므로 최종 방정식은
정리하면
- 예제 1 (cont.):
-
그래프를 보고 식이 맞나 확인하세요. 그래프 계산기가 있다면 기존 함수를 그리고 접선도 그려서 답이 맞는지 확인해보세요. 종이에 과정을 썼다면 원래 그래프를 보며 눈이 띄는 실수를 하지 않았는지 확인하세요.
- 예제 1 (cont.): 기존 그림을 보면 접선의 기울기는 음수 값입니다. 그리고 y절편은 -5.5보다 작은 값입니다. 우리가 구한 접선 방정식은 기울기-절편 형태로는 y = -3x - 19이고, 이는 기울기가 -3이고 y절편이 -19이라는 뜻입니다. 이 특성들을 통해 기존 예상 결과 값과 비교해볼 수 있죠.
-
더 어려운 문제를 풀어보세요. 모든 필요 과정을 다시 거칩니다. 이번 에는, x = 2에서 의 접선 방정식을 구합니다:
- 멱의 법칙을 사용하여 미분 값을 구하면 입니다. 이 함수는 접선의 기울기를 말해줄 겁니다.
- x = 2에서의 값을 찾으면 . 이 값이 x=2에서의 기울기 값입니다.
- 이번에는 점이 아니라 x좌표만 주어졌다고 합시다. y좌표를 찾으려면 원래 함수에 x=2를 넣으세요: . 좌표는 (2,27)입니다.
- 접선 방정식을 점-기울기 형태로 적으세요:
필요하다면, 정리하세요. y = 25x - 23.
광고
-
함수의 극점 찾기 . 이 점은 그래프가 최고점(각 앞뒤 좌표보다 높이 위치한 점)에 달했을 때나 최소점(각 앞뒤 좌표보다 낮게 위치한 점)에 달했을 때를 말합니다. 이 점에서의 기울기는 항상 0입니다 (수평선). 하지만 기울기가 0이라고 꼭 극점인 것은 아닙니다. 어떻게 찾는지 보세요: [3] X 출처 검색하기
- 함수를 한 번 미분해서 f'(x)를 구하세요. 접선의 기울기 식이죠.
- f'(x) = 0을 만족하는 값을 찾아서 잠정적인 극점을 구하세요.
- 미분을 한 번 더 해서 f''(x)를 구하세요. 접선의 기울기가 빨리 변하는지를 알려주는 식입니다.
- 각 가능한 극점에서 f''(x)에 x좌표 a 를 대입하세요. 만약 f''(a)이 양수라면 a 에서 그 근처 최소값이 존재합니다. 만약 f''(a)이 음수라면 최대값이 존재합니다. 만약 f''(a)이 0이라면, 극점이 아니라 변곡점이라는 뜻입니다.
- a 에서 최소값 또는 최대값을 보인다면, f(a)를 찾아 y좌표를 찾아내세요.
-
법선의 방정식 찾기. 어떤 특정한 점을 지나는 지점의 기울기에 대한 법선 은 그 점을 지납니다. 하지만 접선과 수직입니다. 법선의 방정식을 찾으려면, (접선의 기울기)(법선의 기울기) = -1이라는 사실을 이용하세요. 그래프 위의 같은 점을 지납니다. [4] X 출처 검색하기 다른 말로:
- f'(x)을 찾으세요, 접선 기울기 식입니다.
- x = a 인 점이라면, f'(a)를 찾아 그 점에서의 접선 기울기를 찾으세요.
- 를 계산하여 법선의 기울기를 찾으세요.
- 법선 방정식을 기울기-좌표 형태로 쓰세요.
광고
팁
- 필요하다면, 방정식을 표준 형태로 다시 적으세요: f(x) = ... 또는 y = ...
광고
출처
- ↑ https://www.mathsisfun.com/calculus/derivatives-rules.html
- ↑ http://gato-docs.its.txstate.edu/jcr:48ee831e-5969-4419-b9f8-820925a1b46a/Finding%20the%20Equation%20of%20a%20Tangent%20Line.pdf
- ↑ http://www.themathpage.com/acalc/max.htm
- ↑ http://revisionmaths.com/advanced-level-maths-revision/pure-maths/calculus/tangents-and-normals
이 위키하우에 대하여
이 문서는 12,692 번 조회 되었습니다.
광고
