Skip to Content

เข้าสู่ระบบ / ลงทะเบียน

วิธีการ หาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง

ดาวน์โหลดบทความ

ร่วมเขียน โดย Jake Adams

ดาวน์โหลดบทความ

ความชันของเส้นโค้งนั้นแตกต่างจากเส้นตรงเพราะมันจะเปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอเวลาคุณไล่ไปตามกราฟ แคลคูลัสได้สอนให้นักศึกษาได้รู้จักกับแนวคิดที่ว่าจุดแต่ละจุดบนเส้นกราฟสามารถอธิบายด้วยความชัน หรือ "อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง (instantaneous rate of change)" เส้นสัมผัสเส้นโค้งคือเส้นตรงที่มีความชันดังกล่าวผ่านจุดกำหนดบนเส้นกราฟ การหาสมการสำหรับเส้นสัมผัสเส้นโค้งนั้นคุณจำต้องทราบวิธีหาอนุพันธ์ของสมการเดิมเสียก่อน

วิธีการ 1

วิธีการ 1 ของ 2:

หาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง

ดาวน์โหลดบทความ

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/19\/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-1-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-1-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/19\/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-1-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-1-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
วาดกราฟคร่าวๆ ของฟังก์ชันและเส้นสัมผัสเส้นโค้ง (ขอแนะนำ). กราฟจะทำให้เรามองโจทย์ออกได้ง่ายขึ้นและตรวจดูได้ว่าคำตอบดูเข้าทีหรือไม่ วาดกราฟของฟังก์ชันบนกระดาษกราฟโดยใช้เครื่องคิดเลขคอยอ้างอิงถ้าจำเป็น วาดเส้นสัมผัสเส้นโค้งผ่านจุดที่กำหนดมา (จำไว้ว่าเส้นสัมผัสเส้นโค้งจะผ่านจุดที่กำหนดมาให้นั้นและมีความชันเดียวกันกับกราฟตรงจุดนั้น)
- ตัวอย่างที่ 1: วาดกราฟของพาราโบลา $f(x)=0.5x^{2}+3x-1$ . ลากเส้นสัมผัสเส้นโค้งผ่านจุด (-6, -1)
  คุณยังไม่ทราบสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง แต่คุณสามารถบอกได้แล้วว่าความชันของมันมีค่าเป็นลบ และจุดตัดแกน y ของมันก็เป็นลบ (อยู่ใต้จุดยอดของพาราโบลาโดยมีค่า y เท่ากับ -5.5) หากคำตอบสุดท้ายที่ได้มาไม่ได้เป็นไปตามรายละเอียดที่ว่ามานี้ แสดงว่าคุณต้องตรวจทานดูว่าทำตรงไหนผิดพลาด
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/44\/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-2-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-2-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/44\/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-2-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-2-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
นำอนุพันธ์ตัวแรกมาหาสมการสำหรับ ความชัน ของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง. สำหรับฟังก์ชัน f(x) แล้ว อนุพันธ์ตัวแรก f'(x) จะแทนสมการสำหรับความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ บน f(x) การหาอนุพันธ์นั้นทำได้หลายวิธี นี่เป็นตัวอย่างง่ายๆ โดยใช้กฎลูกโซ่: ^{[1]
X
แหล่งข้อมูลอ้างอิง}
- ตัวอย่างที่ 1 (ต่อ): กราฟนี้เป็นไปตามฟังก์ชัน $f(x)=0.5x^{2}+3x-1$
  ให้จำกฎลูกโซ่เวลาหาอนุพันธ์: ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{{n-1}}$
  อนุพันธ์ตัวแรกของฟังก์ชัน = f'(x) = (2)(0.5)x + 3 - 0.
  f'(x) = x + 3 แทนค่า a สำหรับ x ลงในสมหารนี้ และผลที่ได้จะเป็นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งสำหรับ f(x) ในจุดที่ x = a
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/05\/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-3-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-3-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/05\/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-3-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-3-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
ใส่ค่า x ของจุดที่คุณต้องหาตามโจทย์. อ่านโจทย์เพื่อดูว่าที่พิกัดของจุดไหนที่คุณจะได้เจอเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ใส่ค่าพิกัด x ของจุดนั้นลงไปใน f'(x) ผลที่ได้จะเป็นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดนั้น
- ตัวอย่างที่ 1 (ต่อ): จุดที่โจทย์เอ่ยถึงคือ (-6, -1), ใช้พิกัดแกน x -6 เป็นค่าที่ใส่ลงไปใน f'(x):
  f'(-6) = -6 + 3 = -3
  ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งจะเป็น -3
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c1\/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-4-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-4-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c1\/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-4-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-4-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
เขียนสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งในรูปแบบจุดและความชัน. รูปแบบจุดและความชันของสมการเส้นตรงคือ $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ , โดยที่ m คือความชันและ $(x_{1},y_{1})$ คือพิกัดจุดบนเส้น ^{[2]
X
แหล่งข้อมูลอ้างอิง} ตอนนี้คุณทราบค่าทุกอย่างที่จำเป็นในการเขียนสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งในรูปแบบนี้แล้ว
- ตัวอย่างที่ 1 (ต่อ): $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
  ความชันของเส้นคือ -3, ดังนั้น $y-y_{1}=-3(x-x_{1})$
  เส้นสัมผัสเส้นโค้งลากผ่านพิกัด (-6, -1), ดังนั้นสมการสุดท้ายจะเป็น $y-(-1)=-3(x-(-6))$
  ทอนได้เป็น $y+1=-3x-18$
  $y=-3x-19$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/3a\/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-5.jpg\/v4-460px-Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/3a\/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-5.jpg\/v4-728px-Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
ยืนยันสมการลงบนกราฟ. หากคุณมีเครื่องคิดเลขแบบทำกราฟได้ ให้กราฟฟังก์ชันเดิมกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งเพื่อตรวจทานดูว่าคำตอบถูกต้องหรือไม่ ถ้าทำในกระดาษ ให้ดูกราฟในตอนต้นเพื่อให้แน่ใจว่าไม่มีข้อผิดพลาดในคำตอบ
- ตัวอย่างที่ 1 (ต่อ): กราฟตอนต้นแสดงให้เห็นว่าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเป็นลบ และจุดตัดแกน y นั้นต่ำกว่า -5.5 สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่เราพบคือ y = -3x - 19 ในรูปแบบความชันและจุดตัด หมายถึง -3 คือความชันและ -19 คือจุดตัดบนแกน y ทั้งสองค่าล้วนเข้ากันกับสิ่งที่เราทำนายไว้ในตอนต้น
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/e5\/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-6.jpg\/v4-460px-Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-6.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/e5\/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-6.jpg\/v4-728px-Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-6.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

6
ลองทำโจทย์ที่ยากกว่าเดิม. ทำตามขั้นตอนทั้งหมดอีกครั้ง คราวนี้เป้าหมายคือการหาเส้นสัมผัสเส้นโค้งของ $f(x)=x^{3}+2x^{2}+5x+1$ เมื่อ x = 2:
- ใช้กฎลูกโซ่ อนุพันธ์ตัวแรก $f'(x)=3x^{2}+4x+5$ ฟังก์ชันนี้จะบอกเราถึงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
- เนื่องจาก x = 2, หา $f'(2)=3(2)^{2}+4(2)+5=25$ นี่คือความชันที่ x = 2
- โปรดสังเกตว่าคราวนี้เราไม่มีจุดกำหนดมา มีเพียงพิกัดแกน x ในการหาพิกัดแกน y นั้น ให้แทนค่า x = 2 ลงในฟังก์ชันตอนแรก: $f(2)=2^{3}+2(2)^{2}+5(2)+1=27$ จุดนั้นคือ (2,27)
- เขียนสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งในรูปแบบจุดและความชัน: $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
  $y-27=25(x-2)$
  ถ้าต้องใช้ ให้ทอนเหลือ y = 25x - 23
โฆษณา

วิธีการ 2

วิธีการ 2 ของ 2:

แก้โจทย์ที่เกี่ยวเนื่องกัน

ดาวน์โหลดบทความ

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/75\/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-7.jpg\/v4-460px-Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-7.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/75\/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-7.jpg\/v4-728px-Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-7.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
หาจุดต่ำสุดสูงสุดบนกราฟ . นี่คือจุดที่กราฟขึ้นไปถึงจุดสูงสุด (จุดที่อยู่สูงกว่าจุดข้างๆ ทั้งสองข้าง) หรือจุดต่ำสุด (ต่ำกว่าจุดข้างๆ ทั้งสองข้าง) เส้นสัมผัสเส้นโค้งจะมีความชันเท่ากับ 0 ที่จุดเหล่านี้เสมอ (เป็นเส้นระนาบ) แต่ความชันที่เป็นศูนย์อย่างเดียวไม่ได้รับประกันการเป็นจุดสูงสุดต่ำสุด นี่คือวิธีหาจุดเหล่านี้: ^{[3]
X
แหล่งข้อมูลอ้างอิง}
- หาอนุพันธ์ตัวแรกของฟังก์ชันเพื่อให้ได้ f'(x), สมการสำหรับความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
- แก้โจทย์สำหรับ f'(x) = 0 เพื่อหาจุดสูงสุดต่ำสุด ที่เป็นไปได้
- หาอนุพันธ์ตัวที่สองเพื่อให้ได้ f''(x), สมการที่จะบอกคุณว่าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเปลี่ยนแปลงไปเร็วขนาดไหน
- สำหรับจุดสูงสุดต่ำสุดที่เป็นไปได้แต่ละจุด ให้แทนค่าพิกัด a ของแกน x ลงใน f''(x) ถ้าหาก f''(a) เป็นบวกแล้ว จะมีจุดต่ำสุดที่ a , หาก f''(a) เป็นลบก็จะมีจุดสูงสุด และหาก f''(a) เป็น 0, มันจะเป็นแค่จุดเปลี่ยนเว้า ไม่ใช่จุดสูงสุดต่ำสุด
- หากมีจุดสูงสุดหรือต่ำสุดที่ a , ให้หา f(a) เพื่อให้ได้พิกัดแกน y
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/0b\/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-8.jpg\/v4-460px-Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-8.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/0b\/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-8.jpg\/v4-728px-Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line-Step-8.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
หาสมการของเส้นปกติ. เส้น"ปกติ"ของเส้นโค้งในจุดใดจุดหนึ่งจะตัดผ่านจุดนั้น แต่มีความชันตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง การหาสมการของเส้นปกตินั้น ให้ใช้ประโยชน์ของข้อเท็จจริงที่ว่า (ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง)(ความชันของเส้นปกติ) = -1, เมื่อทั้งคู่ต่างผ่านจุดเดียวกันบนกราฟ ^{[4]
X
แหล่งข้อมูลอ้างอิง} หรือพูดอีกแบบก็คือ:
- หา f'(x), ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
- หากจุดบนแกน x = a , หา f'(a) เพื่อหาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งตรงจุดนั้น
- คำนวณ ${\frac {-1}{f'(a)}}$ เพื่อหาความชันของเส้นปกติ
- เขียนสมการเส้นปกติในรูปแบบความชันและจุด
โฆษณา

เคล็ดลับ

ถ้าจำเป็น ให้เริ่มโดยการเรียงสมการเริ่มต้นเสียใหม่ในรูปแบบมาตรฐาน: f(x) = ... หรือ y = ...

โฆษณา

บทความวิกิฮาวอื่น ๆ ที่่เกี่ยวข้อง

โฆษณา

ข้อมูลอ้างอิง

เกี่ยวกับวิกิฮาวนี้

ร่วมเขียน โดย:

ติวเตอร์และผู้เชี่ยวชาญด้านการเตรียมตัวสอบวัดผล

บทความนี้ ร่วมเขียน โดย Jake Adams . เจค อดัมส์เป็นติวเตอร์และเจ้าของ PCH Tutors ในมาลิบู แคลิฟอร์เนียที่มีการติวตั้งแต่ระดับอนุบาลไปจนถึงมหาวิทยาลัย เตรียมสอบ SAT และ ACT เขามีประสบการณ์กว่า 11 ปีและยังเป็น CEO ของ Simplifi EDU บริการติวออนไลน์ที่ให้ผู้เรียนได้เรียนกับติวเตอร์ในแคลิฟอร์เนีย เจคจบด้านธุรกิจกับการตลาดระหว่างประเทศจากมหาวิทยาลัยเพพเพอร์ไดน์ บทความนี้ถูกเข้าชม 62,220 ครั้ง

หมวดหมู่: คณิตศาสตร์

ในภาษาอื่น

อังกฤษ

อิตาลี

โปรตุเกส

ฝรั่งเศส

อินโดนีเซีย

ดัตช์

เวียดนาม

อาหรับ

เกาหลี

ตุรกี

ญี่ปุ่น

พิมพ์

มีการเข้าถึงหน้านี้ 62,220 ครั้ง

บทความนี้เป็นประโยชน์กับคุณไหม

โฆษณา

คุกกี้ทำให้วิกิฮาวมีคุณภาพยิ่งขึ้น โดยการใช้เว็บไซต์ของเราต่อ คุณได้ตอบตกลงเห็นด้วยกับ นโยบายคุกกี้ ของเรา

บทความที่เกี่ยวข้อง

ติดตามเรา

แบ่งปัน

-

-

1376

.mwimg a.image{display:none}#header_logo{display:none}#cse-search-box{display:none}#cse-search-box-noscript{display:block !important}#cse-search-box-noscript .cse_q{color:#FFF;background-color:#B3CE9C}.wh_search .cse_q{width:88%}#mw-mf-main-menu-button{display:none;visibility:hidden}.header .search{display:none}#search_footer .cse_sa{background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/white_mag.png);background-size:22px}.related_box{display:block;background:#EEE;border:5px solid #FFF;vertical-align:bottom;width:127px;background-size:180px;float:left;height:120px;position:relative}.related_box p{line-height:15px !important;font-size:13px;background-color:rgba(67,95,44,.4);color:#FFF;font-weight:bold;padding:8px;margin:0 !important;position:absolute;bottom:0}#noscript_header_logo{display:table-cell;vertical-align:middle;background-position:50% 77%;background-repeat:no-repeat;background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/wikihow_logo_230.png);background-size:105px;width:auto;height:51px;padding:0 14px}.articleinfo{display:none}#iorg_free_data{z-index:50;width:100%;position:fixed}#ara_recommendations{display:none}

Design a Mobile Website

View Site in Mobile | Classic

Share by: