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Diferentemente à linha reta, o declive de uma curva varia constantemente à medida que se movimenta ao longo do gráfico. O Cálculo apresenta aos estudantes o conceito de que cada ponto desse gráfico poderá ser descrito com um declive, ou uma "taxa de mudança instantânea". A linha tangente é uma linha reta relativa a esse declive, que passa através do mesmo ponto no gráfico. Para descobrir qual é a equação da tangente, será preciso saber como extrair a derivada da equação original.
Passos
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Esboce a função e a tangente (recomendável). O gráfico ajuda a acompanhar o problema e conferir se a resposta faz sentido. Esboce a função em um pedaço de papel quadriculado, usando uma calculadora gráfica se necessário. Desenhe a tangente que passa pelo ponto determinado (lembre-se de que ela passa por esse ponto e possui o mesmo declive do gráfico nesse local).
- Exemplo 1:
Esboce o gráfico da parábola
. Desenhe a tangente que passa pelo ponto (-6, 1).
Você ainda não conhece a equação da tangente, mas pode observar que o declive é negativo e que sua intercepção y é também negativa (bem abaixo do vértice da parábola, com valor y = -5,5). Se a sua resposta final não for igual a esses detalhes, você poderá conferir os cálculos em busca de erros.
- Exemplo 1:
Esboce o gráfico da parábola
. Desenhe a tangente que passa pelo ponto (-6, 1).
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Obtenha a derivada de primeira ordem para descobrir a equação do declive da tangente. Para a função f(x), a derivada primeira f'(x) representa a equação do declive da tangente em qualquer ponto de f(x). Há muitas formas de se derivar. Aqui está um exemplo simples que usa a regra das potências: [1] X Fonte de pesquisa
- Exemplo 1 (cont.):
o gráfico é descrito pela função
Lembre-se da regra das potências ao fazer derivadas: .
A primeira derivada da função será igual a f'(x) = (2)(0,5)x + 3 - 0.
f'(x) = x + 3. Insira qualquer valor “a” para o x dessa equação e o resultado será igual ao declive da tangente de f(x) no ponto em que x = a.
- Exemplo 1 (cont.):
o gráfico é descrito pela função
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Insira o valor x do ponto a ser investigado. Leia o problema para descobrir as coordenadas do ponto cuja tangente você quer descobrir. Insira a coordenada x desse ponto em f'(x). O resultado será o declive da tangente nesse ponto.
- Exemplo 1 (cont.):
o ponto mencionado no problema é (-6, -1). Use a coordenada x = -6 como valor da variável independente em f'(x):
f'(-6) = -6 + 3 = -3
O declive da tangente é igual a -3.
- Exemplo 1 (cont.):
o ponto mencionado no problema é (-6, -1). Use a coordenada x = -6 como valor da variável independente em f'(x):
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Escreva a equação da tangente na forma fundamental. A forma fundamental de uma equação linear é representada por , onde m representa o declive (coeficiente angular da reta) e representa um ponto da reta. [2] X Fonte de pesquisa Agora, você tem toda a informação necessária para escrever a equação da tangente nessa forma.
- Exemplo 1 (cont.):
O coeficiente angular da reta é igual a -3 e, por isso, .
A tangente passa pelo ponto (-6, -1), de modo que a equação final pode ser representada por .
Simplifique-a para
.
- Exemplo 1 (cont.):
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Confirme a equação em seu gráfico. Se você possui uma calculadora gráfica, monte a função original e a tangente para comprovar que o resultado está correto. Caso esteja trabalhando no papel, volte ao gráfico anterior para garantir que não haja erros na resposta.
- Exemplo 1 (cont.): o esboço inicial revelou que o declive da tangente foi negativo, e a intercepção y estava bem abaixo de -5,5. A equação da tangente que encontramos é representada por y = -3x - 19 na forma fundamental, indicando que -3 representa o declive e -19, a intercepção y. Ambos os atributos são iguais às previsões iniciais.
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Tente resolver um problema mais difícil. Aqui está um acompanhamento de todo o processo, mais uma vez. Agora, o objetivo é encontrar a tangente de em x = 2:
- Com a regra das potências, a derivada primeira será igual a . Essa função nos mostrará qual é o declive da tangente.
- Uma vez que x = 2, encontre . Esse é o declive da função quando x = 2.
- Observe que não temos o valor do ponto nesse momento, mas apenas uma coordenada x. Para descobrir qual é a coordenada y, insira x = 2 na função inicial: . O ponto será (2,27).
- Escreva a equação da tangente na forma fundamental:
Se necessário, simplifique-a para y = 25x - 23.
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Encontre os pontos extremos de um gráfico . Esses são os pontos nos quais o gráfico chega a um máximo local (ponto mais alto do que os pontos de qualquer lado) ou a um mínimo local (inferior a todos os pontos de qualquer lado). A tangente sempre terá um declive igual a 0 nesses pontos (linha horizontal), o que não indica necessariamente um ponto extremo. Aprenda aqui como encontrá-los: [3] X Fonte de pesquisa
- Descubra a derivada primeira da função para obter f'(x), a equação para o declive da tangente.
- Solucione f'(x) = 0 para encontrar possíveis pontos extremos.
- Pegue a derivada segunda para obter f''(x), a equação que indica a você quão rapidamente o declive da tangente muda.
- Para cada ponto extremo possível, insira a coordenada x = a em f''(a). Se o valor de f''(a) for positivo, há um mínimo local em a . Se o valor de f''(a) for negativo, trata-se de um máximo local. Se o valor de f''(a) for igual a 0, há um ponto de inflexão, e não um ponto extremo.
- Se existe um máximo ou um mínimo em a , encontre o valor de f''(a) para saber qual é a coordenada y.
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Encontre a equação da normal. A "normal" de um declive em um ponto particular passa por esse ponto, mas tem um declive perpendicular a uma tangente. Para encontrar a equação da normal, tire vantagem do fato de que o produto (declive da tangente).(declive da normal) = -1, quando ambos passam pelo mesmo ponto no gráfico. [4] X Fonte de pesquisa Em outras palavras:
- Encontre f'(x), o declive da tangente.
- Se o ponto estiver em x = a , encontre f'(a) para encontrar o declive da tangente nesse local.
- Calcule para encontrar o declive da normal.
- Escreva a equação normal na forma fundamental.
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Dicas
- Se necessário, comece a reescrever a equação inicial na forma geral:
f(x) = … ou y = …
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Referências
- ↑ https://www.mathsisfun.com/calculus/derivatives-rules.html
- ↑ http://gato-docs.its.txstate.edu/jcr:48ee831e-5969-4419-b9f8-820925a1b46a/Finding%20the%20Equation%20of%20a%20Tangent%20Line.pdf
- ↑ http://www.themathpage.com/acalc/max.htm
- ↑ http://revisionmaths.com/advanced-level-maths-revision/pure-maths/calculus/tangents-and-normals
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