Pdf downloaden
Pdf downloaden
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met twee zijden van dezelfde lengte. Deze twee gelijke zijden hebben altijd dezelfde hoek met de basis (de derde zijde), en komen recht boven het middelpunt van de basis bij elkaar. Je kunt dit zelf testen met een liniaal en twee potloden van gelijke lengte: als je probeert om de driehoek naar één richting te kantelen, dan zullen uiteinden van de potloden niet bij elkaar komen. Met deze speciale eigenschappen van de gelijkbenige driehoek kan de oppervlakte berekend worden met slechts een paar gegevens.
Stappen
Methode 1
Methode 1 van 2:
Het bepalen van de oppervlakte met behulp van de lengtes van elke zijde
Pdf downloaden
-
Neem de oppervlakte van een parallellogram. Vierkanten en rechthoeken zijn parallellogrammen, zoals elke vorm met vier zijden waarbij twee paren van zijden parallel aan elkaar staan. Alle parallellogrammen hebben een eenvoudige oppervlakteformule: de oppervlakte is gelijk aan de basis, vermenigvuldigd met de hoogte, of A = bh . [1] X Bron Als je een denkbeeldig parallellogram recht overeind op een horizontaal oppervlak plaatst, dan is de basis de lengte van de zijde waar de figuur op staat. De hoogte is de afstand van de basis tot het hoogste punt (zoals je zou verwachten); oftewel de afstand van de basis tot de tegenovergestelde zijde. Meet altijd de hoogte in een rechte hoek (90 graden) ten opzichte van de basis.
- Bij vierkanten en rechthoeken is de hoogte gelijk aan de lengte van een verticale zijde, aangezien deze zijden een rechte hoek maken met de grond.
-
Vergelijk driehoeken en parallellogrammen. Er is een eenvoudige relatie tussen deze twee vormen. Door een parallellogram in tweeën te snijden langs de diagonaal, wordt het opgesplitst in twee gelijke driehoeken. Evenzo geldt dat je twee identieke driehoeken samen kunt voegen tot een parallellogram. Dit betekent dat de oppervlakte van een driehoek kan worden geschreven als A = ½bh , precies de helft van de grootte van een overeenkomstig parallellogram.
-
Bepaald de basis van de gelijkbenige driehoek. Nu heb je de formule, maar wat zijn precies de 'basis' en de 'hoogte' van een gelijkbenige driehoek? De basis is het makkelijke gedeelte: neem gewoon de derde, ongelijke kant van de gelijkbenige driehoek.
- Bijvoorbeeld, als een gelijkbenige driehoek zijden heeft van 5 cm, 5 cm en 6 cm, dan is de zijde van 6 cm de basis.
- Als een driehoek drie gelijke zijden heeft (en dus gelijkzijdig is), dan kun je elke zijde kiezen als basis. Een gelijkzijdige driehoek is een speciaal soort gelijkbenige driehoek, maar je kunt de oppervlakte ervan op dezelfde manier vinden. [2] X Bron
-
Trek een lijn tussen de basis en het tegenovergestelde hoekpunt. Zorg ervoor dat de lijn de basis in een rechte hoek raakt. De lengte van deze lijn is de hoogte van de driehoek en krijgt dus het label h . Zodra je de waarde van h hebt berekend, kun je de oppervlakte bepalen.
- Bij een gelijkbenige driehoek raakt deze lijn altijd aan de basis in haar exacte middelpunt.
-
Bekijk een helft van de gelijkbenige driehoek. Merk op dat de hoogtelijn de gelijkbenige driehoek in twee identieke rechthoekige driehoeken verdeeld. Bekijk een van hen en wijs de drie zijden aan:
- Een van de korte zijden is gelijk aan de helft van de basis: .
- De andere korte zijde is de hoogte h .
- De schuine zijde (hypotenusa) van de rechthoekige driehoek is een van de twee gelijke zijden van de gelijkbenige driehoek. Laten we deze s noemen.
-
Gebruik de Stelling van Pythagoras . Weet je twee zijden van een rechthoekige driehoek en wil je de derde vinden, dan kun je de Stelling van Pythagoras gebruiken: (zijde 1) 2 + (zijde 2) 2 = (hypotenusa) 2 Substitueer de variabelen die we gebruiken bij dit probleem en je krijgt .
- Je hebt waarschijnlijk de stelling van Pythagoras geleerd als . Door dit te schrijven als 'zijden' en 'hypotenusa' voorkom je dat je deze verward met de variabelen van de driehoek.
-
Los op voor h . Vergeet niet dat je de oppervlakteformule b en h gebruikt, maar dat je de waarde van h nog niet kent. Herschrijf de formule om h op te lossen:
-
.
-
-
Substitueer de waarden van je driehoek om h te bepalen Nu je deze formule kent, kun je deze gebruiken bij een gelijkbenige driehoek waarvan je de zijkanten kent. Vul gewoon de lengte van de basis in voor b en de lengte van één van de gelijke zijden voor s , en berekenen daarna h .
- Bijvoorbeeld, je hebt een gelijkbenige driehoek met zijden 5 cm, 5 cm en 6 cm. b = 6 en s = 5.
- Gebruik deze waarden in je formule:
cm.
-
Gebruik de waarden voor de basis en de hoogte in de oppervlakteformule. Nu heb je dat wat je nodig hebt om de formule van het begin van dit deel te kunnen gebruiken: Oppervlakte = ½bh. Substitueer de waarden voor b en h in deze formule en bereken het antwoord. Vergeet niet te schrijven je antwoord in vierkante eenheden te noteren.
- Om verder te gaan met het voorbeeld: de 5-5-6 driehoek heeft een basis van 6 cm en een hoogte van 4 cm.
- A = ½bh
A = ½(6cm)(4cm)
A = 12cm 2 .
-
Probeer een moeilijker voorbeeld. De meeste gelijkbenige driehoeken zijn moeilijker om mee te werken dan in het vorige voorbeeld. De hoogte bevat vaak een vierkantswortel die niet te vereenvoudigen is tot een geheel getal. Is dit het geval, laat de hoogte dan als vierkantswortel in de eenvoudigste vorm staan. Hier volgt een voorbeeld:
- Wat is de oppervlakte van een driehoek met zijden 8 cm, 8 cm en 4 cm?
- De ongelijke kant is 4 cm, en de basis b .
- De hoogte
- Vereenvoudig de vierkantswortel door ontbinden in factoren:
- Oppervlakte
- Laat dit antwoord staan zoals genoteerd, of gebruik een rekenmachine voor een decimale schatting (ongeveer 15,49 cm2).
Advertentie
-
Begin met een zijde en een hoek. Als je bekend bent met goniometrie, Dan kun je de oppervlakte vinden van een gelijkbenige driehoek, zelfs als geen van de lengtes van de zijden bekend zijn. Hier is een voorbeeldprobleem waarbij slechts het volgende bekend is: [3] X Bron
- De lengte s van de twee gelijke zijden is 10 cm.
- De hoek θ tussen de twee gelijke zijden is 120 graden.
-
Deel de gelijkbenige driehoek in twee rechthoekige driehoeken. Trek een lijn naar beneden van het hoekpunt tussen de twee gelijke zijden, de basis in een rechte hoek snijdt. Je hebt nu twee gelijke rechthoekige driehoeken.
- Deze lijn deelt θ perfect doormidden. Elke rechthoekige driehoek heeft een hoek van ½θ, of in dit geval (½)(120) = 60 graden.
-
Gebruik goniometrie voor het bepalen van de waarde van h . Nu je een rechthoekige driehoek hebt, kun je de goniometrische functies (sinus, cosinus en tangens) toepassen. In de voorbeeldopgave weet je wat de schuine zijde is en wil je de waarde van h weten, de zijde naast de bekende hoek. Gebruik het feit dat cosinus = aanliggende / schuine zijde om h op te lossen:
- cos(θ/2) = h / s
- cos(60º) = h / 10
- h = 10cos(60º)
-
Bepaal de waarde van de resterende zijde. Er is een nog onbekende kant van de rechthoekige driehoek, die je x kunt noemen. Los dit op met de definitie sinus = overstaande / schuine zijde:
- sin(θ/2) = x / s
- sin(60º) = x / 10
- x = 10sin(60º)
-
Gebruik de relatie van x tot de basis van de gelijkbenige driehoek. Je kunt nu 'uitzoomen' naar de gelijkbenige driehoek waar het om gaat. De basis b van die hoek is gelijk aan 2 x , aangezien het werd verdeeld in twee segmenten, elk met een lengte x .
-
Gebruik de waarden h en b in de oppervlakteformule voor de driehoek. Nu je de basis en hoogte weet, kunt je de standaardformule A = ½bh toepassen:
-
- Met een rekenmachine (ingesteld op graden), krijg je ongeveer 43,3 cm2 als antwoord. Gebruik als alternatief de eigenschappen van trigonometrie om ze te vereenvoudigen tot A = 50sin(1200).
-
-
Herschrijf dit als een universele formule. Nu je weet hoe dit kan worden opgelost, kunt je de algemene formule toepassen zonder het volledige proces elke keer te moeten doorlopen. Hier volgt wat je krijgt als je dit proces herhaalt, zonder gebruik te maken van specifieke waarden (en vereenvoudigen met behulp van de eigenschappen van de goniometrie): [4] X Bron
- s is de lengte van een van de twee gelijke zijden.
- Θ is de hoek tussen de twee gelijke zijden.
Advertentie
Tips
- Heb je te maken met een gelijkbenige rechthoekige driehoek (twee gelijke zijden en een hoek van 90 graden), dan is het veel gemakkelijker om de oppervlakte te vinden. Als je een van de korte zijden als basis gebruikt, dan is de andere korte zijde de hoogte. Nu kan de formule A = ½ b * h vereenvoudigd worden tot ½s 2 , waarbij s de lengte is van een korte zijde.
- Vierkantswortels hebben twee oplossingen, één positieve en één negatieve, maar je kunt de negatieve in de meetkunde negeren. Je kunt bijvoorbeeld geen driehoek hebben met een 'negatieve hoogte'.
- Sommige goniometrische problemen geven je andere informatie om mee te beginnen, zoals de lengte van de basis en een hoek (en het feit dat de driehoek gelijkbenig is). De basisstrategie blijft gelijk: verdeel de gelijkbenige driehoek in rechthoekige driehoeken en werk deze uit voor de hoogte, met behulp van goniometrische functies.
Advertentie
Bronnen
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
