कैसे समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle) का क्षेत्रफल ज्ञात करें

सहयोगी लेखक द्वारा David Jia

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यह आर्टिकल लिखा गया सहयोगी लेखक द्वारा David Jia . डेविड जिया एक एकेडमिक ट्यूटर और LA मैथ ट्यूटोरिंग के संस्थापक हैं जो लॉस एंजेलिस कैलिफ़ोर्निया में स्थित एक प्राइवेट ट्यूशन कंपनी है | 10 वर्षों से भी अधिक समय के टीचिंग एक्सपीरियंस के साथ डेविड ने सभी उम्र के स्टूडेंट्स और सभी कक्षाओं में कई सारे विषयों पर कम किया है और इसके साथ ही कॉलेज एडमिशन्स काउन्सलिंग और SAT, ACT, ISEE और भी कई टेस्ट की तैयारी कराने पर भी काम किया है | SAT में परफेक्ट 800 मैथ्स स्कोर और 690 इंग्लिश स्कोर हसिल करने के बाद डेविड को मियामी यूनिवर्सिटी से डिकिन्सन स्कॉलरशिप से नवाजा गया था, जहाँ इन्होनें बिज़नस एडमिनिस्ट्रेशन में बैचलर डिग्री पूरी की थी | इसके अलावा, डेविड ने लार्सन टेक्स्ट्स, बिग आइडियाज लर्निंग और बिग आइडियाज मैथ जैसी टेक्स्टबुक कम्पनीज के लिए ऑनलाइन वीडियो देने के लिए इंस्ट्रक्टर के रूप में भी काम किया है |

यहाँ पर 7 रेफरेन्स दिए गए हैं जिन्हे आप आर्टिकल में नीचे देख सकते हैं।

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समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी दो भुजाएं एक समान माप की होती है। यह दो समान भुजाएं हमेशा आधार के साथ (त्रिकोण की तीसरी भुजा) समान कोण से जुड़ी होती हैं, और आधार के मध्य बिंदु के ऊपर एक दूसरे से जुड़ती है। ^{[१]
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रिसर्च सोर्स} एक रूलर तथा दो समान माप वाली पेन्सिल की मदद से आप इसकी जांच कर सकते हैं: यदि आप त्रिभुज को किसी एक दिशा में थोड़ा झुकाने की कोशिश करते हैं, तो पेन्सिल के नोक एक दूसरे से नहीं जुड़ेगी। समद्विबाहु त्रिभुज (isosceles triangle) के इसी खास गुण के कारण आप कुछ जानकारी की मदद से ही इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

विधि 1

विधि 1 का 2:

त्रिभुज के दो समांतर भुजाओं की लंबाई से क्षेत्रफल निकालना

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1
एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का निरीक्षण करें: वर्ग तथा आयत दोनों ही समांतर चतुर्भुज के उदाहरण है, जैसे कोई भी चार भुजा वाली आकृति जिसमें समांतर भुजाओं के दो सेट है। सभी समांतर चतुर्भुज के लिए क्षेत्रफल निकालने का सूत्र (formula) सरल होता है: क्षेत्रफल बराबर आधार गुणा ऊँचाई, या A = bh । ^{[२]
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रिसर्च सोर्स} यदि आप एक समांतर चतुर्भुज को समतल (horizontal) सतह पर सीधा रखते हैं, तो उसकी लंबाई ही उसका आधार बन जाता है जिसपर वह खड़ा है। तथा समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई (जैसा कि आप उम्मीद करेंगे) यह समतल सतह से कितना ऊंचा है: आधार से सामने वाली भुजा की दूरी। हमेशा ऊँचाई को उसके आधार पर समकोण (90 डिग्री) में मापें।
- वर्ग और आयत में, ऊँचाई हमेशा उसकी वर्टिकल भुजा (जिसे चौड़ाई भी कहा जाता है) के बराबर होती है, क्योंकि यह भुजा आधार या लंबाई के साथ समकोण बनाता है।
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इन दो आकृतियों के बीच एक सरल संबंध है। किसी भी समांतर चतुर्भुज को उसके कर्ण से दो भागों में काटें, और उसे दो समान त्रिभुज में विभाजित करें। इसी तरह, यदि आपके पास दो समान त्रिभुज हैं, तो आप उन्हें एक साथ टेप की मदद से जोड़कर एक समांतर चतुर्भुज बना सकते हैं। इसका अर्थ यह है कि किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल A = ½bh लिखा जा सकता है, वास्तव में त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के आकार का आधा होता है। ^{[३]
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रिसर्च सोर्स}
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3
समद्विबाहु त्रिभुज का आधार पता करें: भले ही आपके पास त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने का फार्मुला है, लेकिन वास्तव में एक समद्विबाहु त्रिभुज में "आधार" और "ऊँचाई" का क्या अर्थ है? आधार पता करना सबसे आसान कार्य है: बस समद्विबाहु त्रिभुज की तीसरी असमान भुजा ही त्रिभुज का आधार होता है।
- उदाहरण के लिए, यदि आपके समद्विबाहु त्रिभुज की हर एक भुजा 5 सेंटीमीटर, 5 सेंटीमीटर, और 6 सेंटीमीटर हैं, तो 6 सेंटीमीटर को त्रिभुज के आधार के तौर पर इस्तेमाल करें।
- यदि आपके त्रिभुज की तीनों भुजाएं एक समान (समबाहु त्रिभुज) है, तो किसी भी एक भुजा को आधार मान सकते हैं। एक समबाहु त्रिभुज खास तरह का समद्विबाहु त्रिभुज है, लेकिन इसका क्षेत्रफल भी उसी तरह निकाला जाता है। ^{[४]
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  रिसर्च सोर्स}
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4
त्रिभुज के आधार से उसके सामने वाली विपरीत शीर्ष पर एक रेखा खींचे: ध्यान रहें कि रेखा जो शीर्ष से आधार पर खींचेंगे वह आधार के साथ समकोण में होना चाहिए। इस खिची गई रेखा की लंबाई त्रिभुज की ऊँचाई है, जिसे h से दर्शाया जाता है। एक बार जब आप h की वैल्यू निकाल लेते हैं, तो आप त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने में सक्षम हो जाएंगे।
- समद्विबाहु त्रिभुज में, यह ऊँचाई वाली रेखा हमेशा आधार पर ठीक बीचोबीच जुड़ जाती है। ^{[५]
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  रिसर्च सोर्स}
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5
समद्विबाहु त्रिभुज के एक आधे हिस्से पर गौर करें: आप देखेंगे कि ऊँचाई वाली रेखा से समद्विबाहु त्रिभुज दो समान समकोण त्रिभुज में विभाजित हुए है। एक समकोण त्रिभुज पर गौर करें और तीनों भुजाओं को पहचानें:
- समकोण त्रिभुज की छोटी भुजा बराबर समद्विबाहु त्रिभुज के आधार का आधा होता है: ${\frac {b}{2}}$ ।
- दूसरी छोटी भुजा समकोण त्रिभुज की ऊँचाई h है।
- समद्विबाहु त्रिभुज के दो समान भुजाओं में से एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है। चलो इसे s कहते हैं।
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6
पायथागॉरियन प्रमेय लागू करें : जब भी हमें समकोण त्रिभुज की दो भुजाओं के बारे में पता होता है और तीसरी भुजा निकालनी होती है, तो हम पायथागॉरियन प्रमेय का इस्तेमाल कर सकते हैं: ^{[६]
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रिसर्च सोर्स} $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$ निकालने के लिए इस समकोण में मौजूद चर (variables) को (भुजा 1) ² + (भुजा 2) ² = (कर्ण) ² फार्मुला में सब्स्टिट्यूट करें।
- आपने शायद पायथागॉरियन प्रमेय $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ को इस तरीके से सीखा है। लेकिन प्रमेय को "भुजा" तथा "कर्ण" के रूप में लिखने से त्रिभुज के चर के साथ कोई गड़बड़ (confusion) नहीं होगी।
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7
की वैल्यू निकालने के लिए हल करें: याद रखें, क्षेत्रफल निकालने के फार्मुला में b और h का इस्तेमाल हुआ है, लेकिन अभी आपको h की वैल्यू नहीं पता है। h की वैल्यू को हल करने के लिए, फार्मुला को सही क्रम में लिखें:
- $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$
  $h^{2}=s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2}$
  $h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$ ।
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8
की वैल्यू निकालने के लिए त्रिभुज में दिए गए मानो को फार्मुला में सबस्टिट्यूट करें: अब आपको फार्मुला पता है, तो आप इसका इस्तेमाल समद्विबाहु त्रिभुज के लिए इस्तेमाल कर सकते हैं, जहाँ आपको त्रिभुज की भुजा पता है। b के लिए आधार की लंबाई और s के लिए त्रिभुज के सम भुजाओं में से एक की लंबाई को फार्मुला में सबस्टिट्यूट करें, फिर h की वैल्यू कैल्कूलेट करें।
- उदाहरण के लिए, समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा 5 सेंटीमीटर, 5 सेंटीमीटर, और 6 सेंटीमीटर है। इसका मतलब b = 6 तथा s = 5 है।
- ऊपर दिए गए मानो को फार्मुला में सब्स्टिट्यूट करें:
  $h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}5^{2}-({\frac {6}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-3^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-9)$
  $h={\sqrt {(}}16)$
  $h=4$ सेंटीमीटर।
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9
आधार तथा ऊँचाई की वैल्यू क्षेत्रफल वाले फार्मुला में रखें: अब आपको फार्मुला में इस्तेमाल किए गए सारे चर की वैल्यू पता है: क्षेत्रफल = ½bh । आपको केवल b और h की वैल्यू फार्मुला में रखनी है और क्षेत्रफल निकालना है। याद से आपको अपने उत्तर को वर्ग इकाई (square units) में लिखना होगा।
- ऊपर दिए गए उदाहरण को हल करने के लिए, 5-5-6 मापो वाले त्रिभुज का आधार 6 सेंटीमीटर और ऊँचाई 4 सेंटीमीटर है।
- A = ½bh
  A = ½(6 सेंटीमीटर)(4 सेंटीमीटर)
  A = 12 सेंटीमीटर ² ।
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10
मुश्किल उदाहरणों को हल करने की कोशिश करें: ऊपर चरण में दिए गए उदाहरण के मुकाबले कई समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल को हल करना मुश्किल होता है। ऊँचाई हमेशा वर्गमूल में मिलता है जिसे हल करने पर पूर्णांक संख्या नहीं मिलती है। यदि ऐसा हो, तो ऊँचाई को वर्गमूल के सरल रूप में लिखें। इसे स्पष्ट करने के लिए यहाँ एक उदाहरण दिया गया है:
- 8 सेंटीमीटर, 8 सेंटीमीटर, और 4 सेंटीमीटर भुजा वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?
- असमान भुजा जो 4 सेंटीमीटर है उसे त्रिभुज का आधार b मान लें।
- ऊँचाई $h={\sqrt {8^{2}-({\frac {4}{2}})^{2}}}$
  $={\sqrt {64-4}}$
  $={\sqrt {60}}$
- वर्गमूल का गुणन खंड ढूँढकर वर्गमूल निकालें: $h={\sqrt {60}}={\sqrt {4*15}}={\sqrt {4}}{\sqrt {15}}=2{\sqrt {15}}.$
- क्षेत्रफल $={\frac {1}{2}}bh$
  $={\frac {1}{2}}(4)(2{\sqrt {15}})$
  $=4{\sqrt {15}}$
- उत्तर को वर्गमूल के रूप में लिखिए, या कैलकुलेटर की मदद से वर्गमूल का दशमवल अनुमान निकालें (जो लगभग 15.49 वर्ग सेंटीमीटर होता है)।

विधि 2

विधि 2 का 2:

त्रिकोणमिति (Trigonometry) का इस्तेमाल करना

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1
त्रिभुज की एक भुजा तथा एक कोण के साथ शुरूआत करें: यदि आपको त्रिकोणमिति (Trigonometry) ज्ञात है, तो आप समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाल सकते हैं भले ही आपको त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई पता न हो। यहाँ एक उदाहरण लिया गया है जिसमें आपको केवल नीचे दी गई जानकारी ही ज्ञात है: ^{[७]
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रिसर्च सोर्स}
- दो समान भुजा की लंबाई s बराबर 10 सेंटीमीटर है।
- दो समान भुजा के बीच का कोण θ बराबर 120 डिग्री है।
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2
समद्विबाहु त्रिभुज को दो समकोण त्रिभुज में विभाजित करें: दो समान भुजा के बीच वाले शीर्ष से एक रेखा खींचे, जो आधार के साथ समकोण बनाती है। अब आपके पास दो एक समान समकोण त्रिभुज है।
- यह रेखा कोण θ को पूर्णतः आधे में विभाजित करता है। हर एक समकोण त्रिभुज में एक कोण ½θ होता है, या इस उदाहरण में (½)(120) = 60 डिग्री है।
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3
की वैल्यू निकालने के लिए त्रिकोणमिति (Trigonometry) का इस्तेमाल करें: अब जब आपके पास समकोण त्रिभुज है, तो त्रिकोणमिति सर्वसमिकाएँ (trigonometric identities) जैसे sine, cosine, और tangent का इस्तेमाल कर सकते हैं। यहाँ दिए गए उदाहरण में, आपको समकोण त्रिभुज का कर्ण पता है, और आपको ऊँचाई h पता करना है, जो दिए गए कोण की संलग्न भुजा है। तो h की वैल्यू निकालने के लिए cosine = संलग्न भुजा (adjacent) / कर्ण (hypotenuse) फार्मुला का इस्तेमाल करें:
- cos(θ/2) = h / s
- cos(60º) = h / 10
- h = 10cos(60º)
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4
शेष भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें: समकोण त्रिभुज के आधार की लंबाई अभी भी पता नहीं है जिसे हम x मान लेते हैं। x की वैल्यू निकालने के लिए sine = सम्मुख भुजा (opposite) / कर्ण (hypotenuse) फार्मुला का इस्तेमाल करें:
- sin(θ/2) = x / s
- sin(60º) = x / 10
- x = 10sin(60º)
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x तथा समद्विबाहु त्रिभुज का आधार के बीच संबंध को जानें: अब आप मुख्य समद्विबाहु त्रिभुज पर "गौर" कर सकते हैं। त्रिभुज का आधार b बराबर 2 x है, क्योंकि आधार दो रेखाखंड में विभाजित हुआ है जिसकी लंबाई x है।
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6
त्रिभुज के क्षेत्रफल फार्मुला में h तथा b की वैल्यू सबस्टिट्यूट करें: अब आपको त्रिभुज का आधार तथा ऊँचाई पता है, तो आप त्रिभुज के स्टैन्डर्ड फार्मुला A = ½bh इस्तेमाल कर सकते हैं:
- $A={\frac {1}{2}}bh$
  $={\frac {1}{2}}(2x)(10cos60)$
  $=(10sin60)(10cos60)$
  $=100sin(60)cos(60)$
- आप यह सारी वैल्यू (डिग्री सेट किए हुए) कैल्कूलेटर में डाल सकते हैं, जो आपको लगभग 43.3 वर्ग मीटर उत्तर दिखाएगा। वैकल्पिक तौर पर, आप त्रिकोणमिति गुण धर्म का इस्तेमाल करके उदाहरण का हल A = 50sin(120º) निकाल सकते हैं।
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7
इस क्षेत्रफल के सूत्र को सार्वभौमिक सूत्र में बदल दें: अब जब आप जानते हैं कि यह कैसे हल किया जाता है, तो आप हर बार पूरी प्रक्रिया से गुजरे बिना सामान्य फॉर्मुला से ही उदाहरण हल कर सकते हैं। यदि आप किसी विशिष्ट मान का उपयोग किए बिना इस प्रक्रिया को दोहराते हैं (और त्रिकोणमिति के गुणों का उपयोग करके उदाहरण सरल करते हैं), तो आपको निम्नलिखित उत्तर मिलेंगे: ^{[८]
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रिसर्च सोर्स}
- $A={\frac {1}{2}}s^{2}sin\theta$
- s दो सम भुजाओं में से एक की लंबाई है।
- दो सम भुजाओं के बीच का कोण θ है।

सलाह

यदि आप एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालना चाहते हैं (जिसमें दो भुजाएं समान है और एक कोण 90 डिग्री है), तो क्षेत्रफल निकालना बहुत ही आसान कार्य है। यदि आप एक छोटी भुजा को आधार मानते हैं, तो दूसरी छोटी भुजा त्रिभुज की ऊँचाई होगी। ^{[९]
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रिसर्च सोर्स} अब क्षेत्रफल निकालने का फार्मुला A = ½ b * h, ½s ² में परिवर्तित हो जाएगा, जहाँ s त्रिभुज में छोटी भुजा की लंबाई है।
वर्गमुल को हल करने पर दो मूल (roots) मिलते हैं, एक धनात्मक और एक ऋणात्मक, लेकिन आप ज्यामिति (geometry) में ऋणात्मक मूल को अनदेखा कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, किसी भी त्रिभुज में "ऋणात्मक ऊँचाई" नहीं हो सकती।
कुछ त्रिकोणमिति के उदाहरण में आपको शायद अन्य शुरुआती जानकारी दिए होंगे, जैसे आधार की लंबाई तथा एक कोण (और वास्तविक में त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज है)। उदाहरण को हल करने की प्रक्रिया उसी समान होती है जैसे ऊपर बताई गई है: समद्विबाहु त्रिभुज को दो समकोण त्रिभुज में विभाजित करें तथा त्रिकोणमिति का इस्तेमाल करके ऊँचाई निकालें।

[१]

[२]

[३]

[४]

[५]

[६]

[७]

[८]

[९]

लॉग इन

कैसे समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle) का क्षेत्रफल ज्ञात करें

चरण

त्रिभुज के दो समांतर भुजाओं की लंबाई से क्षेत्रफल निकालना

त्रिकोणमिति (Trigonometry) का इस्तेमाल करना

सलाह

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