Pdf downloaden
Pdf downloaden
In een 'stelsel van vergelijkingen' wordt je gevraagd om twee of meer vergelijkingen tegelijkertijd op te lossen. Wanneer deze twee verschillende variabelen bevatten, zoals x en y, of a en b, kan het op het eerste gezicht lastig zijn om te zien hoe je die op kunt lossen. Gelukkig heb je, als je eenmaal weet wat te doen, alleen wat elementaire wiskundige vaardigheden nodig (en soms enige kennis van breuken) om het probleem op te lossen. Als het vereist is, of als je een visuele student bent, leer dan ook hoe je de grafiek van de vergelijkingen kunt tekenen. Het tekenen (plotten) van een grafiek kan nuttig zijn om 'te bekijken wat er aan de hand is', of om je werk te controleren, maar het kan ook trager zijn dan de andere methoden en het werkt niet met alle stelsels van vergelijkingen.
Stappen
-
Verplaats de variabelen naar verschillende kanten van de vergelijking. Deze 'substitutie'-methode begint met het 'oplossen voor x' (of een willekeurige andere variabele) in één van de vergelijkingen. Bijvoorbeeld, we hebben de volgende vergelijkingen: 4x + 2y = 8 en 5x + 3x = 9 . Allereerst kijken we naar de eerste vergelijking. Herschik door 2y af te trekken vanaf elke kant, en je krijgt: 4x = 8 - 2y .
- Deze methode gebruikt in een later stadium vaak breuken. Je kunt ook de onderstaande eliminatiemethode gebruiken, als je liever niet met breuken werkt.
-
Deel beide kanten van de vergelijking om 'op te lossen voor x'. Als je eenmaal de term x (of welke variabele je ook gebruikt) aan één kant van de vergelijking hebt staan, deel dan beide kanten van de vergelijking om de variabele te isoleren. Bijvoorbeeld:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - ½y
-
Plug dit weer in de andere vergelijking. Zorg ervoor dat je terugkeert naar de andere vergelijking, niet degene die je al hebt gebruikt. In die vergelijking vervang je de variabele die je hebt opgelost, zodat er slechts één variabele wordt overgelaten. Bijvoorbeeld:
- Je weet nu dat: x = 2 - ½y .
- De tweede vergelijking, die je nog niet hebt gewijzigd, is: 5x + 3x = 9 .
- In de tweede vergelijking, vervang je x door '2 - ½y': 5(2 - ½y) + 3y = 9 .
-
Los op voor de resterende variabele. Je hebt nu een vergelijking met slechts één variabele. Gebruik gewone algebratechnieken om die variabele op te lossen. Als de variabelen elkaar opheffen, ga dan verder naar de laatste stap . Anders eindig je met een antwoord op een van je variabelen:
- 5(2 - ½y) + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 (Begrijp je deze stap niet, leer dan hoe je breuken moet optellen . Dit is vaak, maar niet altijd, noodzakelijk bij deze methode).
- 10 + ½y = 9
- ½y = -1
- y = -2
-
Gebruik het antwoord om voor de andere variabele op te lossen. Maak niet de fout om het probleem halverwege af te ronden. Je zult het antwoord dat je kreeg weer moeten invoeren in één van de oorspronkelijke vergelijkingen, zodat je de andere variabele kunt oplossen:
- Je weet nu dat: y = -2
- Een van de oorspronkelijke vergelijkingen is: 4x + 2y = 8 . (Beide vergelijkingen kunnen voor deze stap worden gebruikt).
- Plug in -2 in plaats van y: 4x + 2(-2) = 8 .
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
-
Weet wat je moet doen als beide variabelen elkaar wegwerken. Wanneer je x = 3y + 2 of een soortgelijk antwoord krijgt in de andere vergelijking, dan probeer je een vergelijking te krijgen met slechts één variabele. Soms eindig je in plaats daarvan met een vergelijking zonder variabelen. Controleer je werk dubbel, en zorg dat je de (herschikte) eerste vergelijking in de tweede vergelijking substitueert, en niet in de eerste vergelijking. Weet je zeker dat je geen fouten hebt gemaakt, dan krijg je een van de volgende resultaten: [1] X Bron
- Als je eindigt met een vergelijking zonder variabelen en die niet waar is (bijvoorbeeld 3 = 5), dan heeft het probleem geen oplossing . (Als je de vergelijkingen in een grafiek hebt getekend, dan zal je zien dat ze parallel lopen en elkaar nooit snijden).
- Als je eindigt met een vergelijking zonder variabelen, maar die wel waar is (bijvoorbeeld 3 = 3), dan heeft het probleem een oneindig aantal oplossingen . De twee vergelijkingen zijn precies gelijk aan elkaar. (Als je de twee vergelijkingen in een grafiek plaatst, zal je zien dat ze elkaar precies overlappen).
Advertentie
-
Bepaald de variabele die weggewerkt wordt. Soms zullen de vergelijkingen elkaar 'elimineren' in een variabele, zodra je ze bij elkaar optelt. Bijvoorbeeld, wanneer je de vergelijkingen 3x + 2y = 11 en 5x - 2y = 13 combineert, zullen de '+2y' en '-2y' elkaar elimineren, waarbij alle y s uit de vergelijking worden weggewerkt. Kijk naar de vergelijkingen in je probleem om erachter te komen of een van de variabelen op deze manier weggewerkt zal worden. Als geen van de variabelen wordt weggewerkt, lees dan verder bij de volgende stap voor advies.
-
Vermenigvuldig een vergelijking zodat een variabele wordt weggewerkt. (Sla deze stap over als de variabelen elkaar al hebben geëlimineerd). Als geen van de variabelen in de vergelijkingen vanzelf wordt weggewerkt, dan moet je een van de vergelijkingen zodanig wijzigen dat dit wel gebeurt. Dit is het eenvoudigst om te begrijpen met een voorbeeld:
- Stel je hebt het stelsel van vergelijkingen 3x - y = 3 en -x + 2y = 4 .
- Laten we de eerste vergelijking wijzigen zodat de variabele y wordt weggewerkt. (Je kunt dit ook voor x doen en hetzelfde antwoord krijgen).
- De - y' van de eerste vergelijking dient weggewerkt te worden met de + 2y ' in de tweede vergelijking. Dit kunnen we doen door - y te vermenigvuldigen met 2.
- Beide zijden van de eerste vergelijking vermenigvuldigen we met 2, als volgt: 2(3x - y)=2(3) , en dus 6x - 2y = 6 . Nu zal - 2y wegvallen tegen de +2y in de tweede vergelijking.
-
Combineer de twee vergelijkingen. Om twee vergelijkingen te kunnen combineren tel je de linker- en de rechterkant bij elkaar op. Als je de vergelijking goed hebt geschreven, dan zou een van de variabelen tegen de ander weg moeten vallen. Hier is een voorbeeld met behulp van de dezelfde vergelijkingen, als de laatste stap:
- Je vergelijkingen zijn: 6x - 2y = 6 en -x + 2y = 4 .
- Combineer de linkerkanten: 6x - 2y - x + 2y = ?
- Combineer de rechterkanten: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4 .
-
Los op voor de laatste variabele. Vereenvoudig de gecombineerde vergelijking en gebruik vervolgens elementaire algebra om de laatste variabele op te lossen . Als er geen variabelen meer over zijn na vereenvoudiging, ga dan verder met de laatste stap in dit gedeelte . In de overige gevallen zou je moeten eindigen met een eenvoudig antwoord op een van je variabelen. Bijvoorbeeld:
- Je hebt: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4 .
- Groepeer de variabelen x en y met elkaar: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4 .
- Vereenvoudig: 5x = 10
- Los op voor x: (5x)/5 = 10/5 , zodat x = 2 .
-
Los op voor de andere variabelen. Je hebt één variabele gevonden, maar je bent nog niet helemaal klaar. Substitueer je antwoord in een van de oorspronkelijke vergelijkingen, zodat je de andere variabele kunt oplossen. Bijvoorbeeld:
- Je weet dat x = 2 , en dat een van je originele vergelijkingen 3x - y = 3 is.
- Plug 2 in, in plaats van x: 3(2) - y = 3 .
- Los y op in de vergelijking: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y , so 6 = 3 + y
- 3 = y
-
Weet wat te doen als beide variabelen elkaar opheffen. Soms resulteert het combineren van twee vergelijkingen in een vergelijking die geen betekenis heeft, of je niet helpt bij het oplossen van het probleem. Controleer je werk dubbel vanaf het begin, maar als je geen fout hebt gemaakt, schrijf dan een van de volgende antwoorden op: [2] X Bron
- Als je gecombineerde vergelijking geen variabelen heeft en niet waar is (zoals 2 = 7), dan is er geen oplossing die geldt voor beide vergelijkingen. (Als je beide vergelijkingen in een grafiek plaatst, zie je dat ze parallel zijn en elkaar nooit snijden).
- Als je gecombineerde vergelijking geen variabelen heeft en waar is (zoals 0 = 0), dan zijn er een oneindig aantal oplossingen . De twee vergelijkingen zijn eigenlijk identiek. (Als je deze in een grafiek plaatst, zie je dat ze elkaar volledig overlappen).
Advertentie
-
Gebruik deze methode alleen wanneer dat is opgegeven. Tenzij je een computer gebruikt of een grafische rekenmachine, kunnen veel systemen van vergelijkingen alleen bij benadering worden opgelost met behulp van deze methode. [3] X Bron Je leraar of wiskundeboek vragen mogelijk dat je deze methode gebruikt, dus ben je waarschijnlijk wel bekend bent met grafische vergelijkingen als lijnen. Je kunt deze methode ook gebruiken om te controleren of je antwoorden uit een van de andere methoden kloppen.
- Het basisidee is dat je de grafiek tekent van beide vergelijkingen en het punt bepaalt waar ze elkaar snijden. De x- en y-waarden op dit punt leveren de waarde op van x en de waarde van y in het stelsel van vergelijkingen.
-
Los beide vergelijkingen op voor y. Houd de twee vergelijkingen apart, en gebruik algebra om elke vergelijking om te zetten in de vorm 'y = __x + __'. [4] X Bron Bijvoorbeeld:
- De eerste vergelijking is: 2x + y = 5 . Wijzig dit in: y = -2x + 5 .
- De tweede vergelijking is: -3x + 6y = 0 . Wijzig dit in 6y = 3x + 0 , en vereenvoudig naar y = ½x + 0 .
- Zijn beide vergelijkingen identiek , dan wordt de gehele lijn een 'snijpunt'. Schrijf: oneindige oplossingen .
-
Teken een assenstelsel. Teken op een vel ruitjespapier een verticale 'y-as' en een horizontale 'x-as'. Begin bij het punt waar de lijnen elkaar snijden, en label de nummers 1, 2, 3, 4, etc. omhoog langs de y-as en weer naar rechts langs de x-as. Label de nummers -1, -2, etc. langs de y-as omlaag en naar links langs de x-as.
- Als je geen ruitjespapier hebt, gebruik dan een liniaal om ervoor te zorgen dat de nummers evenredig zijn verdeeld.
- Als je grote getallen of decimalen gebruikt, moet je wellicht de schaal van de grafiek aanpassen. (Bijvoorbeeld 10, 20, 30 of 0.1, 0.2, 0.3 in plaats van 1, 2, 3).
-
Teken het y-snijpunt voor elke regel. Als je eenmaal een vergelijking in de vorm y = __x + __ hebt, kun je de grafiek ervan gaan tekenen, door het opstellen van een punt waar de lijn de y-as onderschept. Dit is altijd op een y-waarde, gelijk aan het laatste getal in deze vergelijking.
- In de eerder genoemde voorbeelden, snijdt de ene lijn ( y = -2x + 5 ) de y-as in 5 . De andere lijn ( y = ½x + 0 ) gaat door het nulpunt 0 . (Dit zijn de punten (0,5) en (0,0) in de grafiek).
- Geef elk van de lijnen met een andere kleur aan, indien mogelijk.
-
Gebruik de helling om de lijnen verder te tekenen. In het formulier y = __x + __ , is het getal voor de x de helling van de lijn. Elke keer dat x met één wordt verhoogd, zal de y-waarde toenemen met de waarde van de helling. Gebruik deze informatie om het punt op de grafiek te vinden voor elke lijn, wanneer x = 1. (Als alternatief substitueer je x = 1 voor elke vergelijking en los je op voor y).
- In ons voorbeeld heeft de regel y = -2x + 5 een helling van -2 . Bij x = 1 daalt de lijn 2 omlaag vanaf het punt x = 0. Trek het lijnsegment tussen (0,5) en (1,3).
- De regel y = ½x + 0 heeft een helling van ½ . Bij x = 1, gaat de lijn ½ omhoog vanaf het punt x = 0. Trek het lijnsegment tussen (0,0) en (1,½).
- Als de lijnen dezelfde helling hebben zullen de lijnen elkaar nooit snijden, dus is er daarbij geen oplossing voor het stelsel van vergelijkingen. Schrijf: geen oplossing .
-
Ga verder met het plotten van de lijnen, totdat ze elkaar snijden. Stop en kijk naar je grafiek. Als de lijnen elkaar reeds hebben overschreden, ga dan verder met de volgende stap. In het andere geval maak je een beslissing op basis van dat wat de lijnen doen:
- Als de lijnen naar elkaar toe bewegen, dan blijf je doorgaan met het tekenen van punten in die richting.
- Als de lijnen van elkaar af bewegen, ga dan terug en teken punten in de andere richting, beginnend bij x = -1.
- Als de regels nergens dichtbij elkaar zijn, spring dan een eind vooruit en plot verder weg gelegen punten, zoals x = 10.
-
Zoek het antwoord bij het snijpunt van de lijnen. Zodra de twee lijnen elkaar snijden, zijn de x- en y-waarden op dat punt de oplossing van de opgave. Als je geluk hebt, is het antwoord een geheel getal. Bijvoorbeeld, in onze voorbeelden, snijden de twee lijnen elkaar in (2,1) dus is je antwoord x = 2 en y = 1 . In sommige stelsels van vergelijkingen zullen de lijnen elkaar snijden op een waarde tussen twee gehele getallen, en tenzij je grafiek uiterst nauwkeurig is, zal het moeilijk zijn om te zeggen waar dit is. Is dit het geval, dan kun je een antwoord geven als: 'x ligt tussen 1 en 2'. Je kunt ook de substitutiemethode of eliminatiemethode gebruiken om het precieze antwoord te vinden.Advertentie
Tips
- Je kunt je werk controleren door de antwoorden weer in te voeren in de oorspronkelijke vergelijkingen. Als de vergelijkingen waar zijn (bijvoorbeeld 3 = 3), dan klopt je antwoord.
- In de eliminatiemethode moet je soms een vergelijking met een negatief getal vermenigvuldigen om een variabele te elimineren.
Advertentie
Waarschuwingen
- Deze methoden kunnen niet worden gebruikt als je te maken hebt met een machtsgetal, zoals x 2 . Voor meer informatie over vergelijkingen van dit type heb je een handleiding nodig voor het ontbinden in factoren van kwadraten met twee variabelen. [5] X Bron
Advertentie
Bronnen
- ↑ http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/SystemsTwoVrble.aspx
- ↑ http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/SystemsTwoVrble.aspx
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/systlin2.htm
- ↑ http://www.virtualnerd.com/algebra-2/linear-systems/graphing/solve-by-graphing/equations-solution-by-graphing
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/algebra/multiplying-factoring-expression/factoring-quadratics-in-two-vari/v/factoring-quadratics-with-two-variables
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
