ดาวน์โหลดบทความ
ดาวน์โหลดบทความ
ใน "ระบบสมการ" โจทย์จะให้แก้สมการหนึ่งหรือสองสมการพร้อมกัน เมื่อมีตัวแปรสองตัวอยู่ในสมการอย่างเช่น x และ y หรือ a และ b มองแวบแรกเราอาจไม่รู้ว่าจะแก้สมการอย่างไร โชคดีที่เราต้องการแค่ทักษะทางพีชคณิตพื้นฐาน (และความรู้เรื่องเศษส่วนเป็นบางครั้ง) เพื่อแก้สมการ เมื่อแก้สมการแล้ว ก็จะได้คำตอบออกมา หากเราเป็นพวกเรียนรู้ได้ดีจาการมองดู หรือคุณครูให้เขียนกราฟสมการ ก็ให้เรียนรู้วิธีเขียนกราฟสมการด้วย การเขียนกราฟจะช่วยให้เรา "เห็นสิ่งที่จะเกิดขึ้น" หรือช่วยตรวจสอบคำตอบได้ แต่วิธีนี้อาจช้ากว่าวิธีอื่นๆ และไม่ได้เหมาะกับสมการทุกระบบ
ขั้นตอน
-
ย้ายตัวแปรไปที่อีกข้างของสมการ. วิธี "แทนที่" เริ่มจาก "หาค่า x" (หรือหาค่าตัวแปรอื่นใดก็ตาม) ในสมการใดสมการหนึ่ง ตัวอย่างสมการของเราคือ 4x + 2y = 8 และ 5x + 3y = 9 เริ่มดูแค่สมการแรกก่อน เขียนสมการใหม่โดยการนำ 2y ลบออกจากทั้งสองข้างของสมการ ก็จะได้เป็น 4x = 8 - 2y
- การแทนที่มักจะต้องใช้ความรู้เรื่องเศษส่วนในภายหลังด้วย เราอาจลองใช้วิธีกำจัดตัวแปรซึ่งอยู่ในหัวข้อต่อไปก็ได้ หากเราไม่อยากคำนวณเศษส่วนให้ยุ่งยาก
-
หารทั้งสองข้างของสมการเพื่อ"หาค่า x. " พอมีพจน์ x (หรือตัวแปรที่เรากำลังหาค่าอยู่) อยู่ที่ข้างหนึ่งของสมการแล้ว หารทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้เหลือตัวแปรเพียงตัวเดียว จากตัวอย่างที่ยกมาเมื่อทำให้เหลือตัวแปรเพียงตัวเดียว ก็จะได้เป็น:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - ½y
-
แทนค่ากลับไปในอีกสมการหนึ่ง. เราต้องแทนค่าที่ได้กลับไปใน อีก สมการหนึ่ง ไม่ใช่สมการแรกที่เราใช้ไปแล้ว แทนค่าตัวแปรที่เราได้จากสมการแรกลงในสมการที่สอง เราก็จะเหลือตัวแปรแค่ตัวเดียว จากตัวอย่างที่ยกมาขั้นตอนการแทนค่ากลับไปในอีกสมการหนึ่งมีดังนี้:
- เรารู้ว่า x = 2 - ½y
- สมการที่สองซึ่งยังไม่ถูกเขียนใหม่คือ 5x + 3y = 9
- ในสมการที่สองแทนค่า x ด้วย "2 - ½y" ก็จะได้เป็น: 5(2 - ½y) + 3y = 9
-
หาค่าของตัวแปรที่เหลือ. ตอนนี้สมการของเราเหลือแค่ตัวแปรตัวเดียวแล้ว ใช้กลวิธีทางพีชคณิตธรรมดาหาค่าตัวแปรที่เหลืออยู่ ถ้าตัวแปรหายไป ข้ามไปขั้นตอนสุดท้ายได้เลย ไม่อย่างนั้นเราจะได้คำตอบของตัวแปรเดียว:
- 5(2 - ½y) + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 (ถ้าเราไม่เข้าใจขั้นตอนนี้ ให้ศึกษาวิธีการบวกเศษส่วน เราต้องรู้วิธีการบวกเศษส่วน หากต้องใช้วิธีแทนที่ ถึงแม้จะไม่ต้องใช้วิธีบวกเศษส่วนเสมอไปก็ตาม)
- 10 + ½y = 9
- ½y = -1
- y = -2
-
ใช้คำตอบหาค่าของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง. อย่าแก้สมการเสร็จแบบครึ่งๆ กลางๆ เราจะต้องใส่คำตอบที่ได้กลับเข้าไปในสมการเดิมสักสมการหนึ่งเพื่อจะได้รู้ค่าตัวแปรอีกตัว
- เรารู้ว่า y = -2
- เลือกหนึ่งในสมการเดิมคือ 4x + 2y = 8 (เราสามารถใช้สมการเดิมสมการใดก็ได้ในขั้นตอนนี้)
- นำ -2 ไปแทนที่ y ก็จะได้เป็น: 4x + 2(-2) = 8
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
-
ดูผลลัพธ์ที่ได้เมื่อตัวแปรทั้งสองหายไป. เมื่อเราใส่ x=3y+2 หรือคำตอบเดียวกันนี้ในสมการอีกสมการหนึ่ง เราพยายามที่จะได้สมการที่มีตัวแปรแค่ตัวเดียว แต่บางครั้งก็ลงเอยด้วยการได้สมการที่ ไม่มี ตัวแปรเลย ตรวจคำตอบอีกครั้งและดูให้มั่นใจว่าเราใส่สมการ (ที่เขียนขึ้นใหม่) ลงในสมการที่สอง ไม่ใช่ใส่แค่ในสมการที่หนึ่งอีกครั้งเท่านั้น ถ้ามั่นใจว่าไม่มีอะไรผิดพลาดแน่นอน เราก็จะได้ผลลัพธ์ใดผลลัพธ์หนึ่งดังนี้ [1] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง
- ถ้าสมการของเราไม่มีตัวแปรและไม่เป็นจริง (ตัวอย่างเช่น 3 = 5) แสดงว่าสมการนี้ ไม่มีคำตอบ (ถ้าเราเขียนกราฟของสมการทั้งสอง เราจะเห็นว่าเส้นกราฟของสมการทั้งสองขนานกันและไม่มีทางตัดกันได้)
- ถ้าสมการของเราไม่มีตัวแปรและ เป็น จริง (ตัวอย่างเช่น 3 = 3) สมการนี้มี คำตอบนับไม่ถ้วน สมการสองสมการนี้มีค่าเท่ากันจริงๆ (ถ้าเราเขียนกราฟของสมการสองสมการนี้ เราจะเห็นว่าสมการทั้งสองอยู่บนเส้นเดียวกัน)
โฆษณา
-
หาตัวแปรที่สามารถหักล้างกันได้. บางครั้งสมการจะ"หักล้าง" ตัวแปรเมื่อนำมาบวกกัน ตัวย่างเช่น เมื่อเรานำสมการ 3x + 2y = 11 และ 5x - 2y = 13 มารวมกัน "+2y" และ "-2y" จะหักล้างกัน เอา "y" ทุกตัวออกจากสมการ ดูสมการในโจทย์ที่ให้มาและหาสิว่ามีตัวแปรที่จะสามารถหักล้างกันแบบนี้ได้ไหม ถ้าไม่มีตัวแปรที่สามารถหักล้างกันได้เลย อ่านคำแนะนำในขั้นตอนต่อไป
-
คูณสมการหนึ่งเพื่อตัวแปรจะได้หายไป. (ข้ามขั้นตอนนี้ได้เลย หากตัวแปรถูกกำจัดออกไปแล้ว) ถ้าสมการไม่มีตัวแปรที่สามารถกำจัดออกไปได้โดยวิธีปกติ เปลี่ยนสมการใดสมการหนึ่งเพื่อให้สามารถกำจัดตัวแปรออกไปได้ โดยทำตามขั้นตอนของตัวอย่างด้านล่างนี้
- ระบบสมการของเราคือ 3x - y = 3 และ -x + 2y = 4
- เปลี่ยนสมการแรกเพื่อให้ตัวแปร y หายไป (เราจะเลือก x แทนก็ได้ เพราะสุดท้ายก็จะได้คำตอบเหมือนกันอยู่ดี)
- - y ในสมการแรกต้องหักออกด้วย + 2y ในสมการที่สอง เราสามารถทำให้ตัวแปรทั้งสองหักล้างกันได้ด้วยการนำ - y มาคูณ 2
- นำ 2 คูณทั้งสองข้างของสมการแรก ก็จะได้เป็น 2(3x - y)=2(3) ฉะนั้นผลคูณที่ได้คือ 6x - 2y = 6 ตอนนี้ - 2y ในสมการแรกจะถูกหักล้างด้วย +2y ในสมการที่สอง
-
นำสมการทั้งสองมารวมกัน. เมื่อจะนำสมการทั้งสองมารวมกัน นำข้างซ้ายของสมการแรกมาบวกกับข้างซ้ายของสมการที่สอง และนำข้างขวาของสมการแรกมาบวกกับข้างขวาของสมการที่สอง ถ้าเราตั้งสมการถูกต้อง ตัวแปรก็จะหายไป นี้เป็นตัวอย่างที่ใช้สมการเดียวกับสมการที่ใช้ในขั้นตอนที่แล้ว
- สมการของเราคือ 6x - 2y = 6 และ -x + 2y = 4
- รวมข้างซ้ายของสมการ 6x - 2y - x + 2y = ?
- รวมข้างขวาของสมการ 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4
-
หาค่าของตัวแปรที่เหลืออยู่หนึ่งตัว. ทำให้สมการที่รวมกันแล้วอยู่ในรูปอย่างง่าย จากนั้นใช้พีชคณิตพื้นฐานหาค่าตัวแปรที่เหลืออยู่หนึ่งตัว ถ้าไม่มีตัวแปรหลังจากทำให้สมการอยู่ในรูปอย่างง่าย ให้ข้ามไปที่ขั้นตอนสุดท้ายของหัวข้อนี้ ไม่อย่างนั้นเราก็ควรจะได้ค่าของตัวแปรตัวหนึ่ง จากตัวอย่างที่ยกมามีขั้นตอนการหาค่าของตัวแปรที่เหลืออยู่หนึ่งตัวดังนี้:
- สมการของเราคือ 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4 .
- จับกลุ่มที่มีตัวแปร x และ y อยู่ด้วยกัน ก็จะได้เป็น: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4 .
- ทำให้สมการอยู่ในรูปอย่างง่าย ก็จะได้เป็น: 5x = 10
- เมื่อหาค่า x ก็จะได้เป็น: (5x)/5 = 10/5 ฉะนั้น x = 2
-
หาค่าของตัวแปรอีกตัว. เรารู้ค่าของตัวแปรหนึ่งตัวแล้วก็จริง แต่การแก้สมการยังไม่เสร็จสิ้น ใส่ค่าที่ได้ลงไปในสมการดั้งเดิมสมการหนึ่ง แล้วเราจะได้ค่าของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง จากตัวอย่างที่ยกมามีขั้นตอนการหาค่าของตัวแปรอีกตัวดังนี้:
- เรารู้ว่า x = 2 และสมการดั้งเดิมสมการหนึ่งของเราคือ 3x - y = 3
- ใส่ 2 แทน x ก็จะได้เป็น 3(2) - y = 3
- หาค่า y ในสมการ ก็จะได้เป็น 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y ฉะนั้น 6 = 3 + y
- 3 = y
-
ดูผลลัพธ์ที่ได้เมื่อตัวแปรทั้งสองหายไป. บางครั้งการรวมสมการก็ทำให้เราได้สมการที่เข้าใจยากหรืออย่างน้อยที่สุดก็ไม่ช่วยให้เราแก้สมการได้ ตรวจสอบการคำนวณตั้งแต่เริ่มอีกครั้ง ถ้าเราไม่ได้คำนวณอะไรผิดพลาด เขียนคำตอบใดคำตอบหนึ่งดังนี้ [2] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง
- ถ้าสมการที่รวมกันไม่มีตัวแปรและไม่เป็นจริง (อย่างเช่น 2 = 7) แสดงว่า ไม่มีคำตอบ ที่นำมาใช้ได้กับทั้งสองสมการ (ถ้าเราเขียนกราฟของสมการ เราจะเห็นว่าเส้นกราฟของทั้งสองสมการขนานและไม่มีทางตัดกัน)
- ถ้าสมการที่นำมารวมกันไม่มีตัวแปรและเป็นจริง (อย่างเช่น 0 = 0) แสดงว่าสมการนั้นมี คำตอบนับไม่ถ้วน สมการทั้งสองนั้นที่จริงแล้วเป็นสมการเดียวกัน (ถ้าเราเขียนกราฟของสมการทั้งสอง เราจะเห็นว่าสมการอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน )
โฆษณา
-
เขียนกราฟเมื่อโจทย์กำหนดเท่านั้น. หากเราไม่ใช้คอมพิวเตอร์หรือเครื่องคิดเลขกราฟิก การเขียนกราฟสามารถนำมาใช้แก้สมการได้หลายระบบพอสมควร [3] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง คุณครูหรือโจทย์อาจกำหนดให้เราใช้วิธีนี้แก้สมการ ฉะนั้นเราต้องฝึกเขียนกราฟของสมการไว้ เรายังสามารถใช้วิธีนี้ตรวจสอบคำตอบของสมการจากการใช้วิธีใดวิธีหนึ่งในการแก้สมการได้อีกด้วย
- หลักคือเขียนกราฟทั้งสองสมการและหาจุดที่สมการทั้งสองตัดกัน ค่า x และ y ที่จุดนี้จะให้ค่าของ x และค่าของ y ในระบบสมการ
-
แก้ทั้งสองสมการเพื่อหาค่า y. แก้ไปทีละสมการ ใช้พีชคณิตเพื่อแปลงสมการแต่ละสมการให้อยู่ในรูป "y = __x + __" [4] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง จากตัวอย่างที่ยกมามีขั้นตอนการแก้สมการดังนี้:
- สมการแรกคือ 2x + y = 5 เปลี่ยนสมการนี้เป็น y = -2x + 5
- สมการที่สองคือ -3x + 6y = 0 เปลี่ยนสมการนี้เป็น 6y = 3x + 0 จากนั้นทำให้สมการอยู่ในรูปอย่างง่ายเป็น y = ½x + 0
- ถ้าทั้งสองสมการเป็นสมการเดียวกัน เส้นตรงจะ "ตัดกัน" ให้เขียนว่า คำตอบนับไม่ถ้วน
-
วาดแกนพิกัด. วาด "แกน y" ซึ่งเป็นแกนในแนวตั้งและ "แกน x" ซึ่งเป็นแกนในแนวนอน ใส่ตัวเลขโดยเริ่มจากจุดที่แกนทั้งสองตัดกัน เขียนเลขตามลำดับโดยเริ่มจาก 1, 2, 3, 4 ... ไปตามฝั่งบนของแนวแกน y และฝั่งขวาของแนวแกน x ใส่ตัวเลขโดยเริ่มจาก -1, -2,… ไปตามฝั่งล่างของแนวแกน y และฝั่งซ้ายของแนวแกน x
- ถ้าไม่มีกระดาษกราฟ ใช้ไม้บรรทัดช่วยในการวาดแกนพิกัดเพื่อตัวเลขจะได้มีระยะห่างเท่ากัน
- ถ้าเราใช้เลขที่มีค่าเยอะหรือเลขทศนิยม อาจต้องแบ่งเส้นกราฟในอัตราส่วนที่ต่างออกไป (ตัวอย่างเช่น 10, 20, 30 หรือ 0.1, 0.2, 0.3 แทน 1, 2, 3)
-
วาดจุดแสดงระยะตัดแกน y ของเส้นกราฟแต่ละเส้น. พอสมการของเราอยู่ในรูปแบบ y = __x + __ เราสามารถเริ่มเขียนกราฟสมการนี้ได้โดยวาดจุดตรงที่เส้นตัดกับแกน y ค่า y เท่ากับตัวเลขสุดท้ายของสมการนี้เสมอ
- ในตัวอย่างก่อนหน้านี้เส้นกราฟ ( y = -2x + 5 ) ตัดแกน y ที่ 5 เส้นกราฟอีกเส้นหนึ่ง ( y = ½x + 0 ) ตัดที่ 0 (จุดตัดคือ (0,5) และ (0,0) บนกราฟ)
- แนะนำให้ใช้ปากกาหรือสีไม้คนละสีกัน เวลาวาดเส้นกราฟเพื่อให้เห็นความแตกต่างของเส้นกราฟได้อย่างชัดเจน
-
ใช้ความชันวาดเส้นกราฟ. ในสมการรูปแบบ y = __x + __ ตัวเลขหน้า x คือความชันของเส้นกราฟ ทุกครั้งที่ค่า x เพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง ค่า y จะเพิ่มขึ้นตามปริมาณความชัน ใช้ข้อมูลนี้วาดจุดบนกราฟของแต่ละเส้น เมื่อ x = 1 (อีกวิธีหนึ่งคือแทน x = 1 ในแต่ละสมการและหาค่า y)
- ในตัวอย่างของเราเส้นกราฟของสมการ y = -2x + 5 มีความชันเท่ากับ -2 ที่จุด x = 1 เส้นขยับ ลง 2 จากจุดที่ x = 0 ให้วาดส่วนของเส้นตรงระหว่าง (0,5) และ (1,3)
- เส้นกราฟของ y = ½x + 0 มีความชัน ½ ที่จุด x = 1 เส้นขยับ ขึ้น ½ จากจุดที่ x=0 ให้วาดส่วนของเส้นตรงระหว่าง (0,0) และ (1,½)
- ถ้าเส้นกราฟมีความชันเท่ากัน เส้นกราฟจะไม่มีทางตัดกัน ฉะนั้นระบบสมการนี้จึงไม่มีคำตอบ เขียนว่า ไม่มีคำตอบ
-
วาดเส้นกราฟจนกว่าเส้นกราฟจะตัดกัน. ลองดูที่กราฟของเรา ถ้าเส้นกราฟได้ตัดกันแล้ว ข้ามขั้นตอนนี้ไปขั้นตอนต่อไปได้เลย ถ้าเส้นกราฟยังไม่ตัดกัน ให้ตัดสินใจดำเนินการดังต่อไปนี้โดยดูจากลักษณะของเส้นกราฟ
- ถ้าเส้นกราฟมุ่งเข้าหากัน ให้วาดจุดไปเรื่อยๆ ในทิศทางนั้น
- ถ้าเส้นกราฟแยกจากกัน ให้ย้อนกลับไปวาดจุดในอีกทิศทางหนึ่ง เริ่มที่จุด x = -1
- ถ้าเส้นกราฟไม่มีจุดไหนใกล้กันเลย ลองข้ามไปวาดจุดในระยะที่ไกลมากกว่านี้อย่างเช่น จุดที่ x = 10
-
หาคำตอบที่จุดตัด. พอเส้นกราฟสองเส้นตัดกัน ค่า x และ y ที่จุดนั้นคือคำตอบของสมการ ถ้าโชคดี คำตอบจะเป็นจำนวนเต็ม ในตัวอย่างของเราเส้นกราฟสองเส้นตัดกันที่ (2,1) ฉะนั้นคำตอบของสมการคือ x = 2 และ y = 1 ในระบบสมการบางระบบเส้นกราฟจะตัดกันที่ค่าระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวนและหากกราฟของเราไม่แม่นยำอย่างยิ่ง ก็จะบอกได้ยากว่าเส้นกราฟตัดกันที่จุดไหน ถ้าไม่สามารถให้คำตอบที่แม่นยำได้ เราสามารถเขียนคำตอบได้ว่า "x อยู่ระหว่าง 1 และ 2" หรือใช้วิธีแทนที่หรือกำจัดตัวแปรเพื่อหาคำตอบที่แม่นยำโฆษณา
เคล็ดลับ
- เราสามารถตรวจคำตอบด้วยการใส่คำตอบกลับเข้าไปในสมการดั้งเดิม ถ้าสมการเป็นจริง (ตัวอย่างเช่น 3 = 3) คำตอบของสมการถูกต้อง
- หากใช้วิธีกำจัดตัวแปร บางครั้งเราจะต้องคูณสมการด้วยจำนวนเต็มลบเพื่อทำให้ตัวแปรหายไป
โฆษณา
คำเตือน
- วิธีการในบทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้ได้หากตัวแปรมีตัวเลขชี้กำลังอย่างเช่น x 2 ถ้าอยากรู้รายละเอียดเรื่องสมการลักษณะนี้เพิ่มเติม ค้นหาวิธีการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่มีสองตัวแปร [5] X แหล่งข้อมูลอ้างอิง
โฆษณา
ข้อมูลอ้างอิง
- ↑ http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/SystemsTwoVrble.aspx
- ↑ http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/SystemsTwoVrble.aspx
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/systlin2.htm
- ↑ http://www.virtualnerd.com/algebra-2/linear-systems/graphing/solve-by-graphing/equations-solution-by-graphing
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/algebra/multiplying-factoring-expression/factoring-quadratics-in-two-vari/v/factoring-quadratics-with-two-variables
เกี่ยวกับวิกิฮาวนี้
มีการเข้าถึงหน้านี้ 56,192 ครั้ง
โฆษณา
