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“方程组”类的题目会要求你同时解出两个或两个以上的方程。当其中有两个不同的变量时，比如x和y，或a和b，乍一看，你可能会觉得题目很难。幸好，知道方法后，你只需使用基本的代数技巧，再偶尔用一点分数知识，就能解决问题。如果你是一个视觉型的学习者，或者你的老师提出要求，那么你还可以学习为方程式画图。画图对于“了解情况”或检查自己的解题过程非常有用，但是它可能比其他方法慢一点，而且不适用于所有方程组。
步骤
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把变量分别移到方程的两边。 使用这种“代入”法时，首先你需要使用其中一个方程，“解出x”或任何其他变量。例如，假设题目中的方程为 4x + 2y = 8 和 5x + 3y = 9 。先只看第一个方程。将方程变形，两边都减去2y，得到： 4x = 8 - 2y 。
- 这种方法之后通常会用到分数。如果你不喜欢分数，可以尝试下文介绍的消元法。
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方程两边同时做除法，“解出x”。 当方程的一边出现x项或你使用的其他变量时，两边同时做除法，以得到变量本身。例如：
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - ½y
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将它代入另一个方程中。 一定要代入 一个 方程，而不是你已经用过的方程。代入已经解出的变量后，该方程就只剩下一个变量。例如：
- 已知 x = 2 - ½y 。
- 还没有做任何改变的第二个方程是 5x + 3y = 9 。
- 在第二个方程中，用”2 - ½y”代替x： 5(2 - ½y) + 3y = 9 。
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解剩下的变量。 现在，你得到一个只有单个变量的方程。使用普通的代数方法，解出这个变量。 如果变量抵消，就跳到最后一步。 在其他情况下，你会得到一个变量的解：
- 5(2 - ½y) + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 ，如果你不理解这一步的计算过程，可以去学习分数加法。这种方法经常会用到这部分知识，但并非总是如此。
- 10 + ½y = 9
- ½y = -1
- y = -2
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使用答案去解另一个变量。 不要犯解题只解一半的错误。你需要把得到的答案代入一个原始方程中，以解出另一个变量：
- 已知 y = -2
- 其中一个原始方程为 4x + 2y = 8 。这一步可以使用两个方程中的任意一个。
- 用-2代替y： 4x + 2(-2) = 8 。
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
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知道两个变量都抵消时应该怎么做。 将 x=3y+2 或类似的答案代入另一个方程时，你想得到一个只有单个变量的方程。但是有时，你会得到一个 没有 变量的方程。仔细检查自己的解题过程，确保你把变形后的方程一代入到方程二中，而不是又代回到方程一。如果你确信自己没有犯任何错误，那么你的结果应该属于以下情况中的一种： [1] X 研究来源
- 如果你得到的方程没有变量或等式不成立，例如3 = 5，则问题 无解 。如果画出两个方程的图形，你会发现它们彼此平行，永不相交。
- 如果你得到一个等式 成立 的无变量方程，比如3 = 3，则问题有 无穷多解 。方程组里的两个方程是完全相等的。如果画出它们的图形，你会发现它们是同一条直线。
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找到可以抵消的变量。 有时，将两个方程相加，会恰好有一个变量可以’’抵消’’。例如，将方程 3x + 2y = 11 和 5x - 2y = 13 相加时，“+2y”和“-2y”会互相抵消，消去方程中的所有’’y’’项。观察题目中的方程，看看是否有一个变量可以像这样抵消掉。如果没有，你可以参照下一步的建议。
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对一个方程做乘法，使得一个变量可以抵消。 如果变量已经抵消，则跳过此步骤。如果两个方程中没有可以自然抵消的变量，你可以变形其中一个方程，使变量能够抵消。为了便于理解，我们来举例说明：
- 你有一个方程组： 3x - y = 3 和 -x + 2y = 4 。
- 首先，变形第一个方程，让变量 y 能够抵消。你也可以选择 x ，最后得到的答案是一样的。
- 第一个方程中的 - y 必须和第二个方程中的 + 2y 抵消。你可以用2乘以 - y ，来达到这一目的。
- 用第一个方程的两边同时乘以2， 2(3x - y)=2(3) ，得到 6x - 2y = 6 。这样一来， - 2y 会与第二个方程中的 +2y 抵消。
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把两个方程相加。 两个方程相加时，用左边和左边相加，右边和右边相加。如果你使用正确的方式变形方程，其中一个变量应该会抵消。仍然以上一步中的方程组为例：
- 两个方程为 6x - 2y = 6 和 -x + 2y = 4 。
- 左侧相加得到： 6x - 2y - x + 2y = ?
- 右侧相加得到： 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4 。
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解最后的变量。 简化相加得到的方程，然后用基础的代数方法解最后的变量。 如果简化后方程没有变量，你可以直接跳到本节的最后一步。 在其他情况下，你应该可以得到其中一个变量的简单解。例如：
- 你得到 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4 。
- 将 x 变量和 y 变量分类排序： 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4 。
- 简化得到： 5x = 10
- 解x： (5x)/5 = 10/5 ，所以 x = 2 。
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解另一个变量。 你已经求出一个变量，但题目还没有解完。将答案代入其中一个原始方程，解出另一个变量。例如：
- 已知 x = 2 ，而其中一个原始方程为 3x - y = 3 。
- 用2代替x： 3(2) - y = 3
- 解方程中的y： 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y ，所以 6 = 3 + y
- 3 = y
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知道两个变量都抵消时应该怎么做。 有时，两个方程相加会得到一个毫无意义，或至少对你解题毫无帮助的方程。从头开始，仔细检查自己的解题过程，但是，如果你确信自己没有犯错，可以按照以下情况中的一种，写下答案： [2] X 研究来源
- 如果相加后的方程没有变量，而且等式不成立，比如2 = 7，则方程组 无解 。如果画出两个方程的图形，你会发现它们彼此平行，永不相交。
- 如果相加后的方程没有变量，而且等式成立，则方程组有 无穷多解 。两个方程实际上是一样的。如果画出它们的图形，你会发现它们是同一条直线。
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只在有要求时使用这种方法。 除非使用计算机或图形计算器，否则用这种方法解方程组，很多时候只能得到近似的答案。 [3] X 研究来源 老师或数学教科书可能会要求你使用这种方法，让你熟悉如何将方程画成直线。你也可以用这种方法来检查其他方法解出的答案。
- 该方法的基本思路是画出两个方程的图形，并找到它们的交点。这个点的x值和y值就是方程组的x值和y值。
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解出两个方程的y。 让两个方程保持独立，使用代数方法，把它们变成”y = __x + __”的形式。 [4] X 研究来源 例如：
- 第一个方程是 2x + y = 5 。把它变成 y = -2x + 5 。
- 第二个方程是 -3x + 6y = 0 。把它变成 6y = 3x + 0 ，然后简化成 y = ½x + 0 。
- 如果两个方程相同 ，则两条直线会完全“重合”。你可以写方程组有 无穷多解 。
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画坐标轴。 在一张坐标纸上画一条垂直的“y轴”和一条水平的“x轴”。从它们的交点开始，沿y轴向上标出1、2、3、4等数字，再沿x轴向右做同样的事情。沿y轴向下、x轴向左标出-1、-2等数字。
- 如果没有坐标纸，你可以使用直尺来保证各数字之间的间距正好相等。
- 如果使用的是较大的数字或小数，你可能需要以不同的方式来调整图形比例。例如，将原本标1、2、3的点标成10、20、30或0.1、0.2、 0.3。
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画出每条线的y轴截距。 将方程变形成 y = __x + __ 的形式后，你可以开始画出它的图形，首先画出直线与y轴相交的点。这个点在y轴上的值一定等于该方程最后面的那个数字。
- 在先前的例题中，第一条直线( y = -2x + 5 )与y轴在 5 这个点相交。另一个方程( y = ½x + 0 )的直线则在 0 这个点相交。它们对应的是图形中的(0,5)和(0,0)这两个点。
- 如果可以，你应该使用不同颜色的笔来画两条直线。
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使用斜率继续画出直线。 在 y = __x + __ 形式的方程中，x前面的数字就是直线的 斜率 。x的值每增加1时，y值的增量等于斜率。利用这一规律，在图形中画出x=1时，两条直线上的点。你也可以把x = 1代入两个方程中，求出y的值。
- 在本例题中，直线 y = -2x + 5 的斜率为 -2 。当x = 1时，直线会从x = 0的位置 向下 移动2个单位。画出(0,5)和(1,3)之间的线段。
- 直线 y = ½x + 0 的斜率是 ½ 。当x = 1时，直线会从x = 0的位置 向上 移动½个单位。画出(0,0)和(1,½)之间的线段。
- 如果两条直线有相同的斜率 ，那么它们会永不相交，所以方程组无解。你可以写下 无解 二字。
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延长两条直线，直至它们相交。 停下来观察图形。如果两条直线已经相交，则跳到下一步。否则，你应该根据直线的情况作出决定：
- 如果两条直线互相靠拢，那么你应该继续在这个方向上画更多的点。
- 如果两条直线彼此相距越来越远，那么你应该从x = -1开始，朝另一边画更多的点。
- 如果两条直线相距较远，试着往前画出更远的点，比如x = 10那一点。
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在交点找到答案。 两条直线相交后，交点的x值和y值就是题目的答案。在比较幸运的情况下，答案会是整数。例如，本例题中，两条直线在点 (2,1) 相交，所以答案是 x = 2和y = 1 。在某些方程组中，直线相交的值在两个整数之间，这时，除非图形非常精确，否则你很难判断它的具体位置。这种情况下，你可以直接写下答案，比如“x在1到2之间”，或使用代入法或消元法来求出准确的答案。广告
小提示
- 你可以把答案代回到原始方程中，检查自己解题过程是否正确。如果代入后，方程等式成立，比如3 = 3，则答案正确。
- 使用消元法时，为了消除变量，有时你需要用负数乘以其中一个方程。
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警告
参考
- ↑ http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/SystemsTwoVrble.aspx
- ↑ http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/SystemsTwoVrble.aspx
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/systlin2.htm
- ↑ http://www.virtualnerd.com/algebra-2/linear-systems/graphing/solve-by-graphing/equations-solution-by-graphing
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/algebra/multiplying-factoring-expression/factoring-quadratics-in-two-vari/v/factoring-quadratics-with-two-variables
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