Como Encontrar a Área de um Quadrado Usando o Comprimento de Sua Diagonal

Coescrito por David Jia

A fórmula mais comum para calcular a área de um quadrado é bastante simples: comprimento da lateral elevado ao quadrado, ou simplesmente s ² . Porém, muitas vezes você somente sabe o comprimento da diagonal do quadrado, passando entre os vértices opostos. Caso tenha estudado triângulos retângulos, é possível encontrar uma nova fórmula da área que use a diagonal como sua própria variável.

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Encontrar a área a partir da diagonal

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Um quadrado possui quatro lados equivalentes. Vamos dizer que cada um deles possui um comprimento igual a "s".
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A área de um quadrado equivale ao seu comprimento vezes sua largura. Como cada lado equivale a s , a fórmula é Área = s x s = s ² . Ela vai ser útil mais tarde.
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Deixe a que a medida da diagonal esteja em unidades d . Essa diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulo.
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Aplique o Teorema de Pitágoras em um dos triângulos . O Teorema de Pitágoras é a fórmula que calcula a hipotenusa (lado maior) de um triângulo retângulo: (lado um) ² + (lado dois) ² = (hipotenusa) ² , ou $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Agora que o quadrado está dividido ao meio, é possível usar essa fórmula em um dos triângulos retângulos:
- Os dois lados menores do triângulo são as laterais do quadrado: cada um deles tem um comprimento igual a s .
- A hipotenusa é a diagonal do quadrado, d .
- $s^{2}+s^{2}=d^{2}$
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Organize a equação para que s ² fique de um lado dela. Lembre-se que já sabemos que a área do quadrado equivale a s ² . Caso consiga deixar s ² sozinho em um lado da equação, você terá uma nova equação para calcular a área:
- $s^{2}+s^{2}=d^{2}$
- Simplifique: $2s^{2}=d^{2}$
- Divida ambos os lados por dois: $s^{2}={\frac {d^{2}}{2}}$
- Área = $s^{2}={\frac {d^{2}}{2}}$
- Área = ${\frac {d^{2}}{2}}$
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Use essa fórmula em um quadrado como exemplo. Esses passos provam que a fórmula Área = ${\frac {d^{2}}{2}}$ funciona em todos os quadrados. Basta substituir o comprimento da diagonal por d e fazer a conta.
- Por exemplo, digamos que um quadrado tenha uma diagonal que mede 10 cm.
- Área = ${\frac {10^{2}}{2}}$
  = ${\frac {100}{2}}$
  = 50 centímetros quadrados.
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Calcule a diagonal a partir do comprimento de uma lateral. O Teorema de Pitágoras em um quadrado com lateral igual a s e diagonal igual a d vai criar a fórmula $2s^{2}=d^{2}$ . Calcule o valor de d caso saiba os comprimentos das laterais e queira calcular o comprimento da diagonal.
- $2s^{2}=d^{2}$
  ${\sqrt {2s^{2}}}={\sqrt {d^{2}}}$
  $s{\sqrt {2}}=d$ .
- Por exemplo, se um quadrado tem laterais de 7 cm, sua diagonal d = 7√2 cm, ou cerca de 9,9 cm.
- Caso não tenha uma calculadora, é possível usar 1,4 como estimativa para √2.
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Calcule o comprimento da lateral a partir da diagonal. #Se você tiver o valor da diagonal e souber que a diagonal de um quadrado equivale a $s{\sqrt {2}}$ , é possível dividir ambos os lados por ${\sqrt {2}}$ para obter $s={\frac {d}{{\sqrt {2}}}}$ .
- Por exemplo, um quadrado com uma diagonal de 10 cm possui laterais com comprimento de ${\frac {10}{{\sqrt {2}}}}=7,071$ cm.
- Caso precise calcular o comprimento da lateral e a área a partir da diagonal, é possível usar essa fórmula antes, e depois elevar a resposta ao quadrado para obter a área: Área $=s^{2}=7,071^{2}=50$ centímetros quadrados. Esse procedimento é um pouco menos preciso, visto que ${\sqrt {2}}$ é um número irracional que pode levar a erros de arredondamento.
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Interprete a fórmula da área. As contas para a fórmula Área = ${\frac {d^{2}}{2}}$ conferem, mas existem uma forma de testar isso diretamente? Bem, $d^{2}$ é a área de um segundo quadrado com uma diagonal como lateral. Como a fórmula completa é ${\frac {d^{2}}{2}}$ , podemos raciocinar que esse segundo quadrado tem exatamente o dobro da área do quadrado original É possível testar isso você mesmo:
- Desenhe um quadrado em um pedaço de papel. Faça-o com todas as laterais iguais.
- Meça a diagonal. Desenha um segundo quadrado usando essa medida como comprimento.
- Faça uma cópia do primeiro quadrado para que você tenha dois dele. Recorte os três quadrados.
- Corte os dois quadrados menores em qualquer forma, de modo que seja possível reorganizar os pedaços em um quadrado maior. Eles deverão preencher o espaço perfeitamente, provando que a área do quadrado maior é exatamente o dobro do quadrado menor.
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Dicas

Caso não tenha uma calculadora e precise de uma estimativa mais precisa para a raiz quadrada de 2, existem formas de fazê-lo à mão . O Método de Newton-Raphson é uma delas. ^{[1]
X
Fonte de pesquisa}
Trata-se de uma equação usada em muitos campos, incluindo cristalografia, química e artes. Por exemplo, você pode usá-la para calcular a área de uma paisagem ao fazer algum planejamento, ou ao pensar na perspectiva na hora de tirar uma foto ou fazer uma pintura, medindo a distância caminhada e imaginando uma grade com essa distância como sendo a diagonal.
Se preferir uma abordagem mais gráfica, ou quiser aprender como usar tabelas e gráficos em arte, explore os artigos das explore mais artigos da categoria ou pesquise na internet.

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