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Sabia que é fácil encontrar a derivada de uma função desenhando uma reta tangente e calculando a inclinação? Se você tiver a função em mãos, pode descobrir a equação usando a definição formal de derivada. Leia este guia para entender o passo a passo a partir de uma representação gráfica com uma inclinação em um ponto específico!
O que você precisa saber
- Para encontrar a inclinação da tangente em determinado ponto, desenhe uma reta tangente em cima dele. Depois, escolha dois pontos nela.
- Use a fórmula inclinação = (y2 - y1) / (x2 - x1) para determinar a inclinação da tangente.
- Para encontrar a derivada, use a equação f’(x) = [f(x + dx) – f(x)] / dx , trocando f(x + dx) e f(x) pela sua função específica.
- Simplifique e resolva a equação para chegar a dx→0 . Troque dx por 0 para chegar à equação final da derivada.
Passos
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Desenhe uma reta tangente. Use uma régua para desenhar uma reta tangente no ponto do gráfico para o qual você quer calcular a derivada. Lembre-se de que a derivada indica como a inclinação de uma curva muda para acompanhar a mudança em x (o valor horizontal). Desenhar a reta tangente é bom para você fazer essa estimativa em qualquer ponto.
- A reta tangente é uma linha reta que toca a curva em um único ponto.
- A inclinação da tangente é a inclinação da reta.
- Desenhe a curva e a reta tangente em um gráfico com linhas de grade. Assim, fica mais fácil calcular a inclinação da tangente.
- Como este método é desenhado, o cálculo não vai ser exato (e sim estimado).
-
Encontre a inclinação da reta tangente. Escolha dois pontos que sejam atravessados pela reta tangente, de preferência números inteiros. Se for preciso, use a grade como auxílio. A equação que determina a inclinação com dois pontos é:
- Inclinação = (y2 - y1) / (x2 - x1).
- Usando os pontos (x1, y1) e (x2, y2).
- Por exemplo: se você tivesse os pontos (1, 3) e (3, 7),
- Inclinação = (7 - 3) / (3 - 1).
- Inclinação = 4 / 2.
- Inclinação = 2.
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Estude a definição formal de derivada. A derivada pode ser definida como a seguinte equação: [1] X Fonte de pesquisa
- (df / dx)(x) = [f(x + dx) – f(x)] / dx.
- A qual pode ser escrita na forma de f’(x) = [f(x + dx) – f(x)] / dx.
- Em que:
- f(x) é a função f de x (também escrita na forma de “y”), ou seja, como o valor y muda à medida que o valor x também muda.
- f’(x) é a derivada de f(x), conforme indicado pela apóstrofe (’).
- dx é uma pequena mudança em x que se aproxima de 0.
- f(x + dx) é o valor y no valor horizontal x + dx.
-
Identifique a função do gráfico. Ela é f(x), a função da curva do gráfico. Por exemplo: f(x) = x^2.
- Não é difícil encontrar bons materiais de estudo de matemática na internet.
- Inclusive, aproveite também e leia outros guias do wikiHow sobre matemática e funções!
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Anote a definição formal usando a função que você tem em mãos. Troque os termos f(x + dx) e f(x) pela função do problema. Por exemplo: se o enunciado traz f(x) = x^2, você anotaria a definição formal assim:
- f’(x) = [(x + dx)^2 – (x)^2] / dx.
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Simplifique a equação. Você pode fazer a simplificação algébrica das funções básicas. Veja só com o exemplo f’(x) = [(x + dx)^2 – (x)^2] / dx:
- Nossa equação inicial:
- f’(x) = [(x + dx)^2 – (x)^2] / dx.
- Anotando o termo polinomial expandido:
- f’(x) = [x^2 + 2xdx + dx^2 – x^2] / dx.
- Os termos x^2 and – x^2 são iguais a zero, resultando em:
- f’(x) = [2xdx + dx^2] / dx.
- Os dois termos no numerador têm um dx, que se anula com o dx no denominador e leva à equação simplificada:
- f’(x) = 2x + dx.
- Nossa equação inicial:
-
Resolva a equação de dx→0. Troque todos os dx por 0. No nosso exemplo, isso daria a seguinte equação:
- f’(x) = 2x + 0.
- Que seria simplificada para:
- f’(x) = 2x.
- Sendo assim, a derivada de f(x) = x^2 é f’(x) = 2x.
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Encontre a derivada da curva. Siga o método anterior para obter a equação derivada da função f(x).
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Insira o valor x do ponto. Troque x na função derivada f’(x). Usando nosso exemplo anterior:
- Encontre a inclinação da reta tangente em x = 5 para a função f(x) = x^2.
- f’(x) = 2x.
- f’(5) = 2(5).
- f’(5) = 10.
- A inclinação da reta tangente em x = 5 é 10.
Publicidade - Encontre a inclinação da reta tangente em x = 5 para a função f(x) = x^2.
Dicas
- O wikiHow tem vários outros artigos sobre matemática e funções que podem ajudar você a entender melhor o assunto — como Integrar e Calcular a Derivada Básica de uma Função , para citar dois exemplos.
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Referências
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