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É muito fácil descobrir a direção de um vetor em um plano bidimensional: você só precisa de um pouco de conhecimento em trigonometria! Os componentes x e y de um vetor formam um triângulo reto. Sabendo disso, dá para usar a função tangente para determinar o ângulo entre o eixo x e o vetor em si. Leia este guia para determinar a direção — tudo a partir de exemplos! De quebra, também explicamos como calcular a magnitude de um vetor.
O que você precisa saber
- Neste método, a cauda do vetor vai estar na origem de um plano cartesiano xy, enquanto a ponta vai estar em uma das coordenadas (x, y).
- Use tan(𝛉) = y/x para determinar a direção do ângulo 𝛉 do vetor. Aplique arctan aos dois lados para descobrir 𝛉.
- Se o vetor estiver no segundo, terceiro ou quarto quadrante, você vai ter que fazer um ajuste. Adicione 180 graus à resposta para o segundo e terceiro quadrantes. Para o quarto, adicione 360.
- Use ||a|| = sqrt(x^2 + y^2) para calcular a magnitude de um vetor a.
Passos
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Você precisa se familiarizar com alguns termos do plano cartesiano. O plano cartesiano bidimensional especifica pontos atribuindo distâncias em relação à origem.
- Um plano bidimensional é uma superfície plana que consiste em duas direções, x e y. Ele se estende infinitamente no rumo de cada uma.
- O eixo x é uma linha horizontal que mede a distância em espaço na direção de x. Valores positivos ficam voltados à direita da origem (eixo x positivo), enquanto valores negativos ficam voltados à esquerda (eixo x negativo).
- O eixo y é uma linha vertical que mede a distância em espaço na direção de y. Ela fica perpendicular ao eixo x. Valores positivos ficam voltados para cima da origem (eixo y positivo), enquanto valores negativos ficam voltados para baixo (eixo y negativo).
- A origem é o ponto de intersecção entre os eixos x e y. Ela tem as coordenadas (0, 0).
- Coordenadas são as localizações precisas de cada ponto. Elas são representadas como (x, y), em que x é a distância que precisa ser percorrida na horizontal e y é a distância a ser percorrida na vertical para se chegar ao ponto da origem.
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Você também precisa identificar os quatro quadrantes. Os quadrantes são os quatro espaços no plano cartesiano, sendo definidos pelos eixos x e y.
- O espaço acima do eixo x e à direita do eixo y é o primeiro quadrante , no lado superior direito do plano. Tudo que fica nele tem valor positivo.
- A partir de então, os quadrantes são ordenados em sentido anti-horário.
- Isso indica que o segundo quadrante fica acima do eixo x e à direita do eixo y.
- O terceiro quadrante fica abaixo do eixo x e à esquerda do eixo y.
- O quarto quadrante fica abaixo do eixo x e à direita do eixo y.
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Vetores são definidos por dois parâmetros, magnitude e direção. A magnitude é representada pelo comprimento do vetor. A direção, por sua vez, indica o rumo para o qual o vetor aponta em determinado plano cartesiano. [2] X Fonte de pesquisa
- No geral, vetores são ilustrados como setas no plano cartesiano. A cauda fica na origem.
- Por exemplo: um vetor bidimensional poderia ter 3 de comprimento e ficar apontado a 0,45 graus em sentido anti-horário em relação ao eixo x positivo.
- Observação: este guia discute vetores em um espaço bidimensional, mas os princípios listados aqui também se aplicam a espaços tridimensionais.
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Há duas formas comuns de representar componentes do vetor. Dá para usar coordenadas ou a notação de vetor unitário.
- A notação de coordenadas indica onde a ponta da seta do vetor fica. Ela costuma ser representada por um número fracionado dentro de colchetes. A coordenada x fica em cima, enquanto a y fica embaixo.
- Se você não tem os componentes do vetor em mãos, pode resolvê-lo para chegar aos valores.
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A notação de vetor unitário representa o vetor na forma de equação. Ela também é chamada de notação de engenharia. Veja só:
- u = xî + yĵ.
- u é o vetor (poderia ser qualquer letra; geralmente, há uma seta apontada para a direita sobre ela), x é a coordenada de x, e y é a coordenada de y.
- Por exemplo: u = 3î + 4ĵ seria um vetor com a ponta voltada para a coordenada (3, 4).
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Encontre o ângulo 𝛉 que você quer descobrir. A direção de um vetor pode ser definida como o ângulo entre o eixo x positivo e o vetor em si. [3] X Fonte de pesquisa
- Para encontrar o ângulo, comece no eixo x positivo (0 graus) e avance em sentido anti-horário até chegar ao vetor.
- O vetor pode apontar para qualquer direção em um plano, de 0 a 360 graus.
- Esse ângulo recebe o nome de 𝛉 (teta).
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Identifique o triângulo criado pelo vetor. O vetor é definido pelos seus componentes x e y. Você pode usar esses dois números para formar um triângulo reto.
- Um dos lados do triângulo vai estar alinhado com o eixo x. O comprimento x desse lado é o componente x do vetor. Ele recebe o nome de lado adjacente.
- O segundo lado é perpendicular ao eixo x. O comprimento y desse lado é o componente y do vetor. Ele recebe o nome de lado oposto.
- O terceiro lado do triângulo é a hipotenusa e o próprio vetor.
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Use a definição da função trigonométrica da tangente. A tangente (tan) é definida assim: [4] X Fonte de pesquisa
- tan(𝛉) = lado oposto/lado adjacente.
- Onde…
- “Lado oposto” é o comprimento do lado mais distante do ângulo 𝛉.
- E “lado adjacente” é o comprimento do lado mais próximo do ângulo 𝛉 (que não é a hipotenusa).
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Insira os componentes do vetor na equação da tangente. A equação da tangente usa o triângulo criado pelos componentes x e y do vetor. Ela fica assim:
- tan(𝛉) = y/x.
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Calcule 𝛉. Para descobrir o valor de 𝛉, você precisa aplicar o inverso da tangente (representado como tan^-1 ou arctan) nos dois lados da equação. Usamos arctan neste guia, mas também é normal ver tan^-1 em calculadoras. O resultado é:
- 𝛉 = arctan(y/x).
- Para usar a calculadora, divide y por x e pressione a tecla de arctan. Você pode ter que pressionar shift ou a segunda tecla do dispositivo para acessar a função arctan.
- Observação: confirme que a calculadora está no modo de graus (conhecido como “Deg”). Se ela estiver no modo de radianos (“Rad”), a resposta vai aparecer em radianos em vez de graus.
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Aplique um ajuste de ângulo para chegar à medida correta. No geral, as calculadoras só exibem ângulos no primeiro e no quarto quadrantes (90 graus negativos a 90 graus positivos). Isso acontece porque elas não avaliam onde os valores negativos ficam na hora de determinar 𝛉. Para obter 𝛉 de cada quadrante, você precisa identificar em qual deles o vetor se encontra e, em seguida, aplicar um ajuste:
- O primeiro quadrante não precisa de ajustes.
- Para vetores no segundo quadrante , a função arctan vai gerar um ângulo negativo apontando para baixo e para a direita (no quarto quadrante). Esse ângulo fica diretamente oposto ao vetor, ou seja, você tem que adicionar 180 graus a ele para obter 𝛉.
- Para vetores no terceiro quadrante , a função arctan vai gerar um ângulo positivo apontando para cima e para a direita (no primeiro quadrante). Esse ângulo fica diretamente oposto ao vetor, ou seja, você tem que adicionar 180 graus a ele para obter 𝛉. [5] X Fonte de pesquisa
- Para vetores no quarto quadrante , a função arctan vai gerar um ângulo negativo apontando para baixo e para a direita (no quarto quadrante). Esse ângulo fica na direção certa, mas o ângulo é negativo (medido em sentido horário a partir do eixo x positivo) em vez de positivo (medido em sentido anti-horário a partir do eixo x positivo). Você tem que adicionar 360 graus para obter 𝛉.
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Dicas
- Para mais guias ligados a vetores, dê uma olhada em Como Somar ou Subtrair Vetores e Como Normalizar um Vetor .
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Referências
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:vectors/x9e81a4f98389efdf:vec-mag/v/finding-vector-magnitude-from-components?modal=1
- ↑ https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs
- ↑ https://www.youtube.com/watch?v=A3OuFLHum6w
- ↑ https://mathworld.wolfram.com/SOHCAHTOA.html#:~:text=%22SOHCAHTOA%22%20is%20a%20helpful%20mnemonic,(1)
- ↑ https://www.youtube.com/watch?v=Ex0Ha42WQ24
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