Загрузить PDF
Загрузить PDF
Множество Мандельброта состоит из точек, построенных на комплексной плоскости, формирующих фрактал: поразительную форму или форму, в которой каждая часть на самом деле является уменьшенной копией целого. Невероятно ослепительные образы, скрытые во множестве Мандельброта, можно было смотреть в 1500-х годах благодаря пониманию Рафаэля Бомбелли о мнимых числах - но этого не было, пока Бенуа Мандельброт и другие не начали исследовать фракталы с помощью компьютера, так был открыт секрет вселенной.
Теперь, когда мы знаем, что это существует, мы можем подойти к нему более примитивным образом: вручную. Вот метод просмотра грубого воспроизведения конфигурации, только с целью понимания того, как это делается; Вы тогда получите более глубокое удовлетворение по поводу визуализации, что вы можете сделать с помощью многих доступных компьютерных программ, или что вы можете просматривать на CD или DVD.
Шаги
Загрузить PDF
-
Понять основную формулу, часто выраженную в z = z 2 + c . Это просто означает, что для каждой точки во вселенной Мандельброта мы хотим видеть, мы продолжаем вычисления z ,пока одно из двух условий не происходит; тогда мы окрашиваем его, чтобы показать, сколько расчётов мы сделали. Не волнуйтесь! Это станет ясно после следующих шагов.
-
Возьми 3 разноцветных стержня от карандаша или сломанные мелки или наконечники от маркеров и черный заостренный карандаш или ручку, чтобы сделать наброски. Причина, по которой мы хотим три цвета, - мы будем делать первое приближение не более чем с 3 повторений (проходов, или, другими словами, применяя формулу до 3 раз в точке):
-
Черным маркером, нарисуйте большие крестики-нолики на доске, 3х3 метра, на листе бумаги.
-
Этикетка (также черная) средний квадрат (0, 0) '. Это постоянное значение точки - константа ( 'с') точно в центре площади. Теперь, скажем, каждый квадрат 2 единицы в ширину, так что добавим и / или вычтем 2 в / из значений каждого квадрата х и у , где х первый номер и у – второй. Когда это сделано, это будет выглядеть так, как показано здесь. Всякий раз, когда вы будете придерживаться ячейки, значения у (второй номер) должны быть одинаковыми; всякий раз, когда вы будете следовать по ячейкам вниз, значения х (первый номер) должны быть одинаковыми.
-
Рассчитайте первый проход, или повторения , формулы. Вы, как компьютер (на самом деле, первоначальное значение слова было "человек, который вычисляет") можете сделать самостоятельно. Давайте начнем с этих предположений:
- Начальное значение z каждого квадрата (0, 0). Когда абсолютное значение Z для данной точки больше или равно 2, то точка (и соответствующий квадрат), как говорят, избегает множества Мандельброта. Когда это произойдет, вы будете окрашивать квадрат в зависимости от количества повторений формулы, которую вы заявили на тот момент.
- Выберите цвета, которые вы будете использовать для проходов 1, 2 и 3. Предположим, это будут красный, зеленый и синий, соответственно, для целей настоящей статьи.
- Вычислите значение z для верхнего левого угла доски крестики-нолики, предполагая, что начальное значение z как 0 + 0i или (0, 0) (смотрите в разделе Советы для лучшего понимания этих образов). Мы используем формулу z = z 2 + c , как описано в первом шаге. Вы быстро увидите, что, в данном случае, z 2 +c просто 'с' , так как ноль в квадрате – это просто ноль. А чем 'C' является для этой площади? (-2, 2).
- Определите абсолютное значение этой точки; абсолютное значение комплексного числа (а, b) - это квадратный корень из a 2
+ b 2
. Теперь, так как мы будем сравнивать это с известным значением: '2'
, мы можем избежать вычисления квадратного корня, сравнивая a 2
+ b 2
to 2 2
, который, мы знаем, равен '4'
.По этому расчету, a = -2 and b = 2.
- ([-2] 2 + 2 2 ) =
- (4 + 4) =
- 8, что больше 4.
- Это получилось из множества Мандельброта после первого расчета, так как его абсолютное значение больше, чем 2. Раскрасьте его карандашом, выбранным для прохода.
- Сделайте то же самое для каждого квадрата на доске, кроме центральной площади, которая не будет лишена множества Мандельброта в 3-м проходе (и не будет никогда лишена). Итак, вы использовали только два цвета: цвет первого прохода для всех внешних квадратов, и третьего прохода цвет для средней площади.
-
Давайте попробуем квадраты в 3 раза больше , 9 на 9, но все еще сохраняя максимум 3 повторения.
-
Начните с 3-го ряда вниз, потому что здесь это становится интересным сразу.
- Первый элемент, (-2, 1) больше, чем 2 (потому что (-2) 2 + 1 2 становится 5), так что давайте рисовать один красным, как оно ускользает множество Мандельброта на первом проходе.
- Второй элемент, (-1.5, 1) не больше 2. Опираясь на формулу абсолютного большинства, x 2
+y 2
, где x = -1.5 и y = 1:
- (-1.5) 2 = 2.25
- 1 2 = 1
- 2.25 + 1 = 3.25, меньше 4, поэтому квадратный корень меньше 2.
- Таким образом, мы перейдем к нашему второму проходу, расчет z 2
+c используя ярлык (x 2
-y 2
, 2xy) для z 2
( смотрите в разделе Советы для чего этот ярлык производится), еще с х = -1,5 и у = 1:
- (-1.5) 2 - 1 2 становится 2.25 - 1, которое становится 1.25 ;
- 2xy, где x -1.5 и y 1, становится 2(-1.5), которое равняется -3.0 ;
- Это дает нам z 2 от (1.25, -3)
- Теперь добавим c в эту ячейку (добавить x к x, y к y) получаем (-0.25, -2)
- Давайте проверим, больше ли 2 теперь абсолютное значение. Считаем x 2
+ y 2
:
- (-.25) 2 = .0625
- -2 2 = 4
- .0625 + 4 = 4.0625, квадратный корень которого больше 2, это выходит после второго прохода: наш первый зеленый!
- Так как вы теперь ознакомлены с расчетами, вы будете иногда быть в состоянии сказать, как одно может избежать множества Мандельброта, просто взглянув на цифры. В этом примере компонент Y имеет величину 2, в котором, когда в квадрате и прибавленное к квадрату значение другого числа, будет больше, чем 4. любое число, большее 4, будет иметь корень квадратный больше 2. Смотрите советы ниже для более подробного объяснения.
- Третий элемент со значением(-1, 1) не избегает первого прохода: где и 1, и -1 в квадрате – это 1, x 2
+y 2
это 2. Так мы считаем z 2
+c, используя ярлык (x 2
-y 2
, 2xy), где z 2
:
- (-1) 2 -1 2 становится 1-1, что равно 0;
- 2xy затем2(-1) = -2;
- z 2 = (0, -2)
- добавляя с, мы получаем (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)
- Это все тот же абсолютное значение, как и раньше (квадратный корень из двух, около 1.41); продолжая третье повторение:
- ([-1] 2 )-([-1] 2 ) становится 1-1, что равно 0 (снова)...
- но теперь 2xy это 2(-1)(-1), что равно 2, равное z 2 value of (0, 2)
- добавляем c получаем (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3), далее получается a 2 + b 2 это 10, намного больше 4.
- Таким образом, на этот раз также избегает. Раскрасьте 6 ячейки в свой третий цвет, синий, и переходите к следующему, так как мы завершили три повторения с этой точки.
- Тот факт, что мы используем только три цвета, становится очевидным как проблема здесь, поскольку то, что ускользает только после 3 повторений, окрашено так же, как (0, 0),который «никогда» не убегает; очевидно, вы до сих пор ничего не увидите ближе к "ошибке" Мандельброта на этом уровне детализации.
-
Продолжайте вычисления в каждой ячейке , пока оно не убежало, или вы достигли максимального количества повторений (количество цветов вы используете: 3 в этом примере), в этот момент вы покрасите его. Вот как матрица 9 на 9 выглядит после 3 повторений на каждом квадрате ... Похоже, перед чем-то!
-
Повторите ту же матрицу снова с большим количеством цветов (повторений), чтобы выявить следующие несколько слоев, или лучше, составить гораздо большую матрицу для долгосрочного проекта! Вы получаете более точные снимки по:
- Увеличение количества клеток; это составляет 81 клетку на каждой стороне. Обратите внимание на сходство с матрицы 9 по 9 выше, но с гораздо более гладкими краями на окружности и овале.
- Увеличение количества цветов (повторений); это имеет 256 оттенков красного, зеленого и синего в общей сложности 768 цветов по сравнению с 3. Отметим, что сейчас можно увидеть очертания хорошо известного Мандельброта "озера" (или "ошибки", в зависимости от того, как вы смотрите на него). Недостатком является количество времени, которое требуется; если вы можете рассчитать каждое повторение в 10 секунд, это около 2 часов для каждой ячейки, или около того, озера Мандельброта. Хотя это относительно небольшая часть матрицы 81 на 81, это будет по-прежнему возможно, займет год, чтобы завершить его, даже если вы работали в течение нескольких часов каждый день. Это где кремниевый тип компьютера пригождается.
Реклама
Советы
- Почему z 2
= (x 2
-y 2
, 2xy)?
- Чтобы умножить два комплексных номера как (a, b) с (c, d), используйте следующую формулу, приведенную здесь: Mathworld article : (a,b)(c,d) = (ac - bd, bc + ad)
- Постоянно умноженное на квадратный корень из отрицательное число 1, часто называют 'I' . Комплексное число (0, 0), например, 0 + 0i, и (-1, -1) (1) + (-1 * I) .имея ввиду, что комплексное число имеет "реальную" и"мнимую" часть, причем последняя - действительное число.
-
- Все еще с нами? Помните, что термины а и с - реальные , и термины b и d мнимые . Поэтому, когда мнимые члены перемножаются, квадратный корень из отрицательного 1, умноженного на себя, дает отрицательное 1, отрицая результат и делает его реальным ; в то время как число 'ad' 'и 'bc' остаются мнимыми, так как квадратный корень из отрицательного 1 по-прежнему выражение этих продуктов. Поэтому, у нас есть ac - реальное , и bc + ad мнимое .
- Теперь, так как мы возводим в квадрат числа вместо умножения двух различных номеров, это может быть немного упрощено; так как А = С, и В = D, у нас есть продукт в виде(a 2 -b 2 , 2ab). И так как мы отображаем "комплексную плоскость" на "декартовой плоскости", с 'X' оси, представляющий "реальное" и 'Y' оси, представляющих "мнимое", это будет относиться как (x 2 -y 2 , 2xy) .
- Если вы рассчитываете ячейку снова и снова, и обратите внимание, что результат, который является точно таким же, как тот, который вы уже получили для этой ячейки, вы знаете, вы попали в бесконечный цикл; что клетке никогда не вырваться! Таким образом, вы можете получить ярлык, окончательный цвет ваших клеток, и переход к следующему. (0, 0), очевидно, одна из этих клеток.
- Хотите знать больше о присуждении абсолютного значения комплексного числа, не трудясь над расчетами?
- Абсолютное значение комплексного числа (а, b) - это квадратный корень из a 2 + b 2 , так же, как а и 'b' представлены под прямым углом друг к другу на декартовой сетке (х и у координат, соответственно). Поэтому, так как мы знаем, что множество Мандельброта ограничено значением 2, а квадрат 2 = 4, мы можем обойти квадратные корни, просто увидев, если x 2 +y 2 >= 4.
- Если катет имеет длину> = 2, то гипотенуза (диагональная сторона) также должна быть больше, чем 2. Если вы не видите, почему это так, посмотрите на прямоугольные треугольники на декартовой сетке, и это станет очевидным; или просто думаем об этом так: 2 2 =4, и добавив еще одно положительное число к этому (и возводя в квадрат отрицательное число, всегда получаем положительное) не может привести к результату меньше, чем 4 . Таким образом, если один компонент из х или у комплексного числа имеет величину 2 или более, абсолютное значение этого числа больше или равно 2, и избегает множества Мандельброта.
- Для расчета "виртуальной ширины" каждой клетки, разделим "виртуальный диаметр" на "количество клеток минус один". Мы используем виртуальный диаметр 4 в приведенных выше примерах, так как мы хотим показать все, что в радиусе 2 (множество Мандельброта ограничено значением 2). Для 3-стороннего приближения, которое '4 / (3 - 1)' , которое равно '4/2' , что соответствует '2' . Для 9-сторонней площади, это '4 / (9 - 1)' , которое равно '4/8' , что соответствует '0,5' . Используйте тот же размер виртуальных клеток и для высоты и ширины, даже если вы делаете одну сторону длиннее другой; в противном случае множество будет искажено.
Реклама
Предупреждения
- Математика может стать очень захватывающей, как и все остальное, но это, вероятно, не будет вредить вашей печени или вызывать рак легких.
Реклама
Источники
- The javascript source of these tables, click the cells to calculate z and color them. Note: this will only work in a DOM-compliant browser, not Internet Explorer. If it works in your browser, you can make it display the updated z value for each click by changing display=c in the URL to display=z , and you can "cheat" by clicking Auto-complete . For other options see comments in the source.
- This research was made possible, in part, by a land grant from the City of the Sun though the specifics of the research were not coordinated nor endorsed by COSF.
- The Mandelbrot set
- Rafael Bombelli , one of the first to explain imaginary numbers
- Benoit Mandelbrot
- Imaginary numbers
- Fractals
Реклама
