Skip to Content

Вход/Регистрация

Как решать кубические уравнения

Загрузить PDF

Соавтор(ы): Команда wikiHow

Источники

Загрузить PDF

В кубическом уравнении наивысшим показателем степени является 3, у такого уравнения 3 корня (решения) и оно имеет вид $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ . Некоторые кубические уравнения не так просто решить, но если применить правильный метод (при хорошей теоретической подготовке), можно найти корни даже самого сложного кубического уравнения — для этого воспользуйтесь формулой для решения квадратного уравнения, найдите целые корни или вычислите дискриминант.

Метод 1

Метод 1 из 3:

Как решить кубическое уравнение без свободного члена

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c7\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-1-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-1-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c7\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-1-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-1-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Выясните, есть ли в кубическом уравнении свободный член $d$ . Кубическое уравнение имеет вид $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ . Чтобы уравнение считалось кубическим, достаточно, чтобы в нем присутствовал только член $x^{3}$ (то есть других членов может вообще не быть). ^{[1]
X
Источник информации}
- Если в уравнении есть свободный член $d$ , воспользуйтесь другим методом.
- Если в уравнении $a=0$ , оно не является кубическим. ^{[2]
  X
  Источник информации}
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/0e\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-2-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-2-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/0e\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-2-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-2-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Вынесите за скобки $x$ . Так как в уравнении нет свободного члена, каждый член уравнения включает переменную $x$ . Это означает, что один $x$ можно вынести за скобки, чтобы упростить уравнение. Таким образом, уравнение запишется так: $x(ax^{2}+bx+c)$ . ^{[3]
X
Источник информации}
- Например, дано кубическое уравнение $3x^{3}-2x^{2}+14x=0$
- Вынесите $x$ за скобки и получите $x(3x^{2}-2x+14)=0$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c4\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-3-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-3-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c4\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-3-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-3-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Разложите на множители (на произведение двух биномов) квадратное уравнение (если возможно). Многие квадратные уравнения вида $ax^{2}+bx+c=0$ можно разложить на множители . Такое уравнение получится, если вынести $x$ за скобки. В нашем примере: ^{[4]
X
Источник информации}
- Вынесите за скобки $x$ : $x(x^{2}+5x-14)=0$
- Разложите на множители квадратное уравнение: $x(x+7)(x-2)=0$
- Каждый бином приравняйте к $0$ . Корнями данного уравнения являются $x=0,x=-7,x=2$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/14\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-4-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-4-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/14\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-4-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-4-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Решите квадратное уравнение с помощью специальной формулы. Сделайте это, если квадратное уравнение нельзя разложить на множители. Чтобы найти два корня уравнения, значения коэффициентов $a$ , $b$ , $c$ подставьте в формулу ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ . ^{[5]
X
Источник информации}
- В нашем примере подставьте значения коэффициентов $a$ , $b$ , $c$ ( $3$ , $-2$ , $14$ ) в формулу:
  
  ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
  
  ${\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}$
  
  ${\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}$
  
  ${\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}$
  
  ${\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}$
- Первый корень:
  
  ${\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}$
  
  ${\frac {2+12,8i}{6}}$
- Второй корень:
  
  ${\frac {2-12,8i}{6}}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/10\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-5-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-5-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/10\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-5-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-5-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Используйте ноль и корни квадратного уравнения в качестве решений кубического уравнения. У квадратных уравнений два корня, а у кубических — три. Два решения вы уже нашли — это корни квадратного уравнения. Если же вы вынесли «х» за скобки, третьим решением будет $0$ . ^{[6]
X
Источник информации}
- Если вынести «х» за скобки, получится $x(ax^{2}+bx+c)=0$ , то есть два множителя: $x$ и квадратное уравнение в скобках. Если любой из этих множителей равен $0$ , все уравнение также равно $0$ .
- Таким образом, два корня квадратного уравнения, являются решениями кубического уравнения. Третьим решением является $x=0$ .
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 3:

Как найти целые корни с помощью множителей

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/dd\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-6-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-6-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/dd\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-6-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-6-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Удостоверьтесь, что в кубическом уравнении есть свободный член $d$ . Если в уравнении вида $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ есть свободный член $d$ (который не равен нулю), вынести «х» за скобки не получится. В данном случае воспользуйтесь методом, изложенным в этом разделе. ^{[7]
X
Источник информации}
- Например, дано кубическое уравнение $2x^{3}+9x^{2}+13x=-6$ . Чтобы на правой стороне уравнения получить ноль, прибавьте $6$ к обеим сторонам уравнения.
- Получится уравнение $2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0$ . Так как $d=6$ , методом, который изложен в первом разделе, воспользоваться не получится.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/64\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-7-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-7-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/64\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-7-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-7-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Выпишите множители коэффициента $a$ и свободного члена $d$ . То есть найдите множители числа при $x^{3}$ и числа перед знаком равенства. Напомним, что множителями числа являются числа, при перемножении которых получается это число. ^{[8]
X
Источник информации}
- К примеру, чтобы получить число 6 , нужно перемножить $6\times 1$ и $2\times 3$ . Таким образом, числа 1 , 2 , 3 , 6 являются множителями числа 6 .
- В нашем уравнении $a=2$ и $d=6$ . Множителями 2 являются 1 и 2 . Множителями 6 являются числа 1 , 2 , 3 и 6 .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f2\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-8-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-8-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f2\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-8-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-8-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Разделите каждый множитель $a$ на каждый множитель $d$ . В итоге получится множество дробей и несколько целых чисел; корнями кубического уравнения будет одно из целых чисел или отрицательное значение одного из целых чисел. ^{[9]
X
Источник информации}
- В нашем примере разделите множители $a$ ( 1 и 2 ) на множители $d$ ( 1 , 2 , 3 и 6 ). Вы получите: $1$ , ${\frac {1}{2}}$ , ${\frac {1}{3}}$ , ${\frac {1}{6}}$ , $2$ и ${\frac {2}{3}}$ . Теперь в этот список добавьте отрицательные значения полученных дробей и чисел: $1$ , $-1$ , ${\frac {1}{2}}$ , $-{\frac {1}{2}}$ , ${\frac {1}{3}}$ , $-{\frac {1}{3}}$ , ${\frac {1}{6}}$ , $-{\frac {1}{6}}$ , $2$ , $-2$ , ${\frac {2}{3}}$ и $-{\frac {2}{3}}$ . Целыми корнями кубического уравнения являются какие-то числа из этого списка.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/9e\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-9-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-9-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/9e\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-9-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-9-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Подставьте целые числа в кубическое уравнение. Если при этом равенство соблюдается, подставленное число является корнем уравнения. Например, подставьте в уравнение $1$ : ^{[10]
X
Источник информации}
- $2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6$ = $2+9+13+6$ ≠ 0, то есть равенство не соблюдается. В данном случае подставьте следующее число.
- Подставьте $-1$ : $(-2)+9+(-13)+6$ = 0. Таким образом, $-1$ является целым корнем уравнения.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b9\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-10-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-10-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b9\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-10-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-10-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Воспользуйтесь методом деления многочленов по схеме Горнера , чтобы быстрее найти корни уравнения. Сделайте это, если не хотите вручную подставлять числа в уравнение. В схеме Горнера целые числа делятся на значения коэффициентов уравнения $a$ , $b$ , $c$ и $d$ . Если числа делятся нацело (то есть остаток равен $0$ ), целое число является корнем уравнения. ^{[11]
X
Источник информации}
- Схема Горнера заслуживает отдельной статьи, но далее приведен пример вычисления одного из корней нашего кубического уравнения с помощью этой схемы:
  
  -1 | 2 9 13 6
  
  __| -2-7-6
  
  __| 2 7 6 0
- Таким образом, остаток равен $0$ , а $-1$ является одним из корней уравнения.
Реклама

Метод 3

Метод 3 из 3:

Как решить уравнение с помощью дискриминанта

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/fd\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-11-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-11-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/fd\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-11-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-11-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Выпишите значения коэффициентов уравнения $a$ , $b$ , $c$ и $d$ . Рекомендуем заранее выписать значения указанных коэффициентов, чтобы в дальнейшем не запутаться. ^{[12]
X
Источник информации}
- Например, дано уравнение $x^{3}-3x^{2}+3x-1$ . Запишите $a=1$ , $b=-3$ , $c=3$ и $d=-1$ . Напомним, что если перед $x$ нет числа, соответствующий коэффициент все-таки существует и равен $1$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f0\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-12-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-12-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f0\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-12-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-12-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Вычислите нулевой дискриминант по специальной формуле. Чтобы решить кубическое уравнение с помощью дискриминанта, нужно произвести ряд непростых вычислений, но если правильно выполнять все действия, этот метод станет незаменимым для решения наиболее сложных кубических уравнений. Сначала вычислите $\Delta _{0}$ (нулевой дискриминант) — это первая необходимая нам величина; для этого подставьте соответствующие значения в формулу $\Delta _{0}=b^{2}-3ac$ . ^{[13]
X
Источник информации}
- Дискриминант — это число, которое характеризует корни полинома (например, дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле $b^{2}-4ac$ ).
- В нашем уравнении:
  
  $b^{2}-3ac$
  
  $(-3)^{2}-3(1)(3)$
  
  $9-3(1)(3)$
  
  $9-9=0=\Delta _{0}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c2\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-13-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-13-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c2\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-13-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-13-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Вычислите первый дискриминант по формуле $\Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d$ . Первый дискриминант $\Delta _{1}$ — это вторая важная величина; чтобы ее вычислить, подставьте соответствующие значения в указанную формулу. ^{[14]
X
Источник информации}
- В нашем уравнении:
  
  $2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)$
  
  $2(-27)-9(-9)+27(-1)$
  
  $-54+81-27$
  
  $81-81=0=\Delta _{1}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/3b\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-14-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-14-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/3b\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-14-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-14-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Вычислите: $\Delta =(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div -27a^{2}$ . То есть найдите дискриминант кубического уравнения через полученные значения $\Delta _{0}$ и $\Delta _{1}$ . Если дискриминант кубического уравнения положительный, у уравнения три корня; если дискриминант равен нулю, у уравнения один или два корня; если же дискриминант отрицательный, у уравнения один корень. ^{[15]
X
Источник информации}
- У кубического уравнения всегда есть хотя бы один корень, так как график этого уравнения пересекается с осью X как минимум в одной точке.
- В нашем уравнении $\Delta _{0}$ и $\Delta _{1}$ равны $0$ , поэтому вы запросто вычислите $\Delta$ :
  
  $(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div (-27a^{2})$
  
  $((0)^{2}-4(0)^{3})\div (-27(1)^{2})$
  
  $0-0\div 27$
  
  $0=\Delta$ . Таким образом у нашего уравнения один или два корня.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/1d\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-15.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-15.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/1d\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-15.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-15.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Вычислите: $C=^{3}{\sqrt {\left({\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}\right)\div 2}}$ . $C$ — это последняя важная величина, которую нужно найти; с ее помощью вы вычислите корни уравнения. В указанную формулу подставьте значения $\Delta _{1}$ и $\Delta _{0}$ .
- В нашем уравнении:
  
  $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})+\Delta _{1}}}\div 2}}$
  
  $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0^{2}-4(0)^{3})+(0)}}\div 2}}$
  
  $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0-0)+0}}\div 2}}$
  
  $0=C$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/02\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-16.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-16.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/02\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-16.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-16.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

6
Найдите три корня уравнения. Сделайте это по формуле $-(b+u^{n}C+\Delta _{0}\div (u^{n}C))\div 3a$ , где $u=(-1+{\sqrt {-3}})\div 2$ , а n равен 1 , 2 или 3 . Подставьте в эту формулу соответствующие значения — в итоге вы получите три корня уравнения.
- Вычислите значение по формуле при n = 1 , 2 или 3 , а затем проверьте ответ. Если при проверке ответа вы получили 0, данное значение является корнем уравнения.
- В нашем примере подставьте 1 в $x^{3}-3x^{2}+3x-1$ и получите 0 , то есть 1 — это один из корней уравнения.
Реклама

Дополнительные статьи

Реклама

Источники

Еще источники

Об этой статье

Соавтор(ы): :

Команда wikiHow

Штатный автор wikiHow

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества. Количество просмотров этой статьи: 471 833.

Категории: Математика

На других языках

Английский

Португальский

Французский

Итальянский

Испанский

Индонезийский

Немецкий

Нидерландский

Арабский

Вьетнамский

Турецкий

Китайский

Печать

Эту страницу просматривали 471 833 раза.

Была ли эта статья полезной?

Реклама

-

-

694

.mwimg a.image{display:none}#header_logo{display:none}#cse-search-box{display:none}#cse-search-box-noscript{display:block !important}#cse-search-box-noscript .cse_q{color:#FFF;background-color:#B3CE9C}.wh_search .cse_q{width:88%}#mw-mf-main-menu-button{display:none;visibility:hidden}.header .search{display:none}#search_footer .cse_sa{background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/white_mag.png);background-size:22px}.related_box{display:block;background:#EEE;border:5px solid #FFF;vertical-align:bottom;width:127px;background-size:180px;float:left;height:120px;position:relative}.related_box p{line-height:15px !important;font-size:13px;background-color:rgba(67,95,44,.4);color:#FFF;font-weight:bold;padding:8px;margin:0 !important;position:absolute;bottom:0}#noscript_header_logo{display:table-cell;vertical-align:middle;background-position:50% 77%;background-repeat:no-repeat;background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/wikihow_logo_230.png);background-size:105px;width:auto;height:51px;padding:0 14px}.articleinfo{display:none}#iorg_free_data{z-index:50;width:100%;position:fixed}#ara_recommendations{display:none}

Design a Mobile Website

View Site in Mobile | Classic

Share by: