Как найти вершину

PDF download Загрузить PDF
PDF download Загрузить PDF

В математике существует ряд задач, в которых требуется найти вершину. Например, вершину многогранника, вершину или несколько вершин области системы неравенств, вершину параболы или квадратного уравнения. Эта статья расскажет вам, как найти вершину в разных задачах.

Метод 1
Метод 1 из 5:

Поиск числа вершин многогранника

PDF download Загрузить PDF
  1. Теорема утверждает, что в любом многограннике число его вершин плюс число его граней минус число его ребер всегда равно двум. [1]
    • Формула, описывающая теорему Эйлера: F + V - E = 2
      • F - число граней.
      • V - число вершин.
      • E - число ребер.
  2. Если вам дано число граней и число ребер многогранника, вы можете быстро найти число его вершин с помощью формулы Эйлера.
    • V = 2 - F + E
  3. В результате вы получите число вершин многогранника.
    • Пример: найдите число вершин многогранника, у которого 6 граней и 12 ребер.
      • V = 2 - F + E
      • V = 2 - 6 + 12
      • V = -4 + 12
      • V = 8
    Реклама
Метод 2
Метод 2 из 5:

Поиск вершины области системы линейных неравенств [2]

PDF download Загрузить PDF
  1. В определенных случаях на графике можно увидеть некоторые или все вершины области системы линейных неравенств. В противном случае вам придется найти вершину алгебраически.
    • При использовании графического калькулятора вы можете посмотреть весь график и найти координаты вершин.
  2. Для того, чтобы решить систему неравенств (то есть найти «х» и «у»), вам необходимо вместо знаков неравенства поставить знак «равно».
    • Пример: дана система неравенств:
      • у < х
      • у> - х + 4
    • Преобразуйте неравенства в уравнения:
      • у = х
      • у = - х + 4
  3. Теперь выразите любую переменную в одном уравнении и подставьте ее в другое уравнение. В нашем примере подставьте значение «у» из первого уравнения во второе уравнение.
    • Пример:
      • у = х
      • у = - х + 4
    • Подставляем у = х в у = - х + 4:
      • х = - х + 4
  4. Сейчас у вас есть уравнение только с одной переменной «х», которую легко найти.
    • Пример: х = - х + 4
      • х + х = 4
      • 2x = 4
      • 2x/2 = 4/2
      • х = 2
  5. Подставьте найденное значение «х» в любое из уравнений и найдите значение «у».
    • Пример: у = х
      • у = 2
  6. Вершина имеет координаты, равные найденным значениям «х» и «у».
    • Пример: вершина области данной системы неравенств есть точка О(2,2).
    Реклама
Метод 3
Метод 3 из 5:

Поиск вершины параболы через ось симметрии

PDF download Загрузить PDF
  1. Есть несколько способов разложения квадратного уравнения на множители. В результате разложения вы получаете два двучлена, которые при перемножении приведут к исходному уравнению.
    • Пример: дано квадратное уравнение
      • 3x2 - 6x - 45
      • Сначала вынесите за скобку общий множитель: 3(x2 - 2x - 15)
      • Перемножьте коэффициенты «а» и «с»: 1 * (-15) = -15.
      • Найдите два числа, результат умножения которых равен -15, а их сумма равна коэффициенту «b» (b = -2): 3 * (-5) = -15; 3 - 5 = -2.
      • Подставьте найденные значения в уравнение ax2 + kx + hx + c: 3(x2 + 3x - 5x - 15).
      • Разложите исходное уравнение: f(x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
  2. Найдите точку (точки), в которой график функции (в данном случае парабола) пересекает ось абсцисс. [3] График пересекает ось Х при f(x) = 0.
    • Пример: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
      • х +3 = 0
      • х - 5 = 0
      • х = -3; х = 5
      • Таким образом, корни уравнения (или точки пересечения с осью Х): А(-3, 0 ) и В(5, 0)
  3. Ось симметрии функции проходит через точку, лежащую посередине между двумя корнями. При этом вершина лежит на оси симметрии.
    • Пример: х = 1; это значение лежит посередине между -3 и +5.
  4. Подставьте значение «х» в исходное уравнение и найдите значение «у». Эти значения «х» и «у» - координаты вершины параболы.
    • Пример: у = 3x2 - 6x - 45 = 3(1)2 - 6(1) - 45 = -48
    • Пример: вершина данного квадратного уравнения есть точка О(1,-48)
    Реклама
Метод 4
Метод 4 из 5:

Поиск вершины параболы через дополнение до полного квадрата

PDF download Загрузить PDF
  1. Перепишите исходное уравнение в виде [4] : y = a(x - h)^2 + k, при этом вершина лежит в точке с координатами (h,k). Для этого нужно дополнить исходное квадратное уравнение до полного квадрата.
    • Пример: дана квадратичная функция у = - х^2 - 8x - 15.
  2. Вынесите за скобку коэффициент первого члена (при этом свободный член игнорируется).
    • Пример: -1(х^2 + 8x) - 15.
  3. Разложите свободный член (-15) на два числа так, чтобы одно из них дополнило выражение в скобках до полного квадрата. Одно из чисел должно быть равно квадрату половины коэффициента второго члена (из выражения в скобках).
    • Пример: 8/2 = 4; 4*4 = 16; поэтому
      • -1(х^2 + 8x + 16)
      • -15 = -16 + 1
      • у = -1 (х ^ 2 + 8x + 16) + 1
  4. Так как выражение в скобках есть полный квадрат, можно переписать это уравнение в следующем виде (если необходимо, проведите операции сложения или вычитания за скобками):
    • Пример: у = -1(х + 4)^2 + 1
  5. Напомним, что координаты вершины функции вида y = a(x - h)^2 + k равны (h,k).
    • k = 1
    • h = -4
    • Таким образом, вершина исходной функции есть точка О(-4,1).
    Реклама
Метод 5
Метод 5 из 5:

Поиск вершины параболы по простой формуле

PDF download Загрузить PDF
  1. x = -b/2a (для функции вида y = ax^2 + bx + c). Подставьте значения «a» и «b» в формулу и найдите координату «х».
    • Пример: дана квадратичная функция у = - х^2 - 8x - 15.
    • х = -b/2a = -(-8)/(2*(-1)) = 8/(-2) = -4
    • х = -4
  2. Таким образом вы найдете «у». Эти значения «х» и «у» - координаты вершины параболы.
    • Пример: у = - х^2 - 8x - 15 = -(-4 )^2 - 8(-4) - 15 = -(16) -(-32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
      • у = 1
    • Пример: вершина исходной функции есть точка О(-4,1).
    Реклама

Что вам понадобится

  • Калькулятор
  • Карандаш
  • Бумага


Дополнительные статьи

Как
проводить действия с дробями
Как
решать кубические уравнения
Как
переводить из двоичной системы в десятичную
Как
найти квадратный корень числа вручную
Как
вычислить общее сопротивление цепи
Как
найти среднее значение, моду и медиану
Как
вычесть дробь из целого числа
Как
умножить в столбик
Как
рассчитать относительную частоту
Как
найти множество значений функции
Как
посчитать квадратическое отклонение
Как
переводить из десятичной системы счисления в двоичную
Как
складывать и вычитать квадратные корни
Как
переводить числа из шестнадцатеричной системы в двоичную или десятичную
Реклама

Источники

  1. ↑ http://www.mathsisfun.com/geometry/eulers-formula.html
  2. ↑ http://faculty.nwacc.edu/colson/Interm_Alg_any/Finding%20Vertices%20for%20Systems%20of%20Linear%20Inequalities%20in%20Two%20Dimensions.pdf
  3. ↑ http://www.mathops.com/free/a1qd015.php
  4. ↑ http://mathforum.org/library/drmath/view/70241.html

Об этой статье

На других языках
Эту страницу просматривали 12 836 раз.

Была ли эта статья полезной?

Реклама