Загрузить PDF
Загрузить PDF
Рациональная функция имеет вид у = N(х)/D(х), где N и D - многочлены. Для построения точного графика такой функции понадобятся неплохие знания алгебры, включая дифференциальные вычисления. Рассмотрим следующий пример: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Шаги
Загрузить PDF
-
Найдите точку пересечения графика с осью Y. Для этого в функцию подставьте х = 0 и получите у = 5/2. Таким образом, точка пересечения графика с осью Y имеет координаты (0, 5/2). Отложите эту точку на координатной плоскости.
-
Найдите горизонтальные асимптоты. Разделите числитель на знаменатель (в столбик), чтобы определить поведение «у» при значениях «х», стремящихся в бесконечность. В нашем примере результатом деления будет y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). При больших положительных или отрицательных значениях «х» 17/(8 x + 4) стремится к нулю, а график приближается к прямой, заданной функцией y = (1/2) x - (7/4). Используя пунктирную линию, постройте график этой функции.
- Если степень числителя меньше степени знаменателя, то вы не сможете поделить числитель на знаменатель и асимптота опишется функцией у = 0.
- Если степень числителя равна степени знаменателя, то асимптота является горизонтальной прямой, равной отношению коэффициентов при «х» в высшей степени.
- Если степень числителя на 1 больше степени знаменателя, то асимптота представляет собой наклонную прямую, угловой коэффициент которой равен отношению коэффициентов при «х» в высшей степени.
- Если степень числителя больше степени знаменателя на 2, 3 и т.д., то при больших значениях | х | значения у стремятся в бесконечность (положительную или отрицательную) в виде квадратного, кубического или другой степени многочлена. В этом случае, скорее всего, не нужно строить точный график функции, полученной при делении числителя на знаменатель.
-
Найдите нули функции. Рациональная функция имеет нули, когда ее числитель равен нулю, то есть N( х ) = 0. В нашем примере 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Дискриминант этого квадратного уравнения: b 2 - 4 ac = 6 2 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Так как дискриминант отрицательный, то N( х ), а следовательно и F ( х ) не имеет действительных корней. График рациональной функции не пересекает ось Х. Если у функции есть нули (корни), то отложите их на координатной плоскости.
-
Найдите вертикальные асимптоты. Для этого приравняйте знаменатель к нулю. В нашем примере 4 x + 2 = 0 и х = -1/2. Постройте график вертикальной асимптоты, используя пунктирную линию. Если при некотором значении х N( х ) = 0 и D( х ) = 0, то вертикальная асимптота либо существует, либо не существует (это редкий случай, но лучше помнить о нем).
-
Посмотрите на остаток от деления числителя на знаменатель. Он положительный, отрицательный или равен нулю? В нашем примере остаток равен 17, то есть он положительный. Знаменатель 4 x + 2 положительный справа от вертикальной асимптоты и отрицательный слева от нее. Это означает, что график рациональной функции при больших положительных значениях х приближается к асимптоте сверху, а при больших отрицательных значениях х – снизу. Так как 17/(8 x + 4) никогда не равна нулю, то график этой функции никогда не пересечет прямую, заданную функцией у = (1/2) х - (7/4).
-
Найдите локальные экстремумы. Локальный экстремум существует при N'( x )D( x )- N( x )D'( x ) = 0. В нашем примере N'( x ) = 4 x - 6 и D'( x ) = 4. N'( x )D( x ) - N( x )D'( x ) = (4 x - 6)(4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = x 2 + x - 4 = 0. Решив это уравнение, вы найдете, что x = 3/2 и x = -5/2. (Это не совсем точные значения, но они подойдут для нашего случая, когда сверхточность не нужна.)
-
Найдите значение у для каждого локального экстремума. Для этого подставьте значения х в исходную рациональную функцию. В нашем примере f(3/2) = 1/16 и f(-5/2) = -65/16. Отложите точки (3/2, 1/16) и (-5/2, -65/16) на координатной плоскости. Так как вычисления основаны на приблизительных значениях (из предыдущего шага), найденные минимум и максимум тоже не совсем точные (но, вероятно, очень близки к точным значениям). (Точка (3/2, 1/16) очень близка к локальному минимуму. Начиная с шага 3, мы знаем, что у всегда положительная при х > -1/2, и мы нашли небольшое значение (1/16); таким образом, в этом случае значение ошибки крайне маленькое.)
-
Соедините отложенные точки и плавно продлите график к асимптотам (не забудьте о правильном направлении приближения графика к асимптотам). Не забывайте, что график не должен пересекать ось Х (см. шаг 3). График также не пересекается с горизонтальной и вертикальной асимптотами (см. шаг 5). Не меняйте направление графика кроме как в точках экстремумов, найденных в предыдущем шаге.Реклама
Советы
- Если вы выполнили вышеописанные действия строго по порядку, то нет необходимости вычислять вторые производные (или аналогичные сложные величины) для проверки вашего решения.
- Если вам не нужно вычислять значения величин, вы можете заменить нахождение локальных экстремумов на вычисление некоторых дополнительных пар координат ( х , у ) между каждой парой асимптот. Более того, если вам все равно, как работает описанный метод, то не удивляйтесь, почему вы не можете найти производную и решить уравнение N'( x )D( x ) - N( x )D'( x ) = 0.
- В некоторых случаях вам придется работать с многочленами высших порядков. Если вы не можете найти точное решение при помощи разложения на множители, формул и т.п., то оцените возможные решения, используя численные методы, такие как метод Ньютона.
- В редких случаях числитель и знаменатель имеют общий переменный множитель. Согласно описанным шагам это приведет к нулю и к вертикальной асимптоте на том же месте. Однако это невозможно, а объяснением служит один из следующих вариантов:
- Нуль в N( х ) имеет более высокую кратность, чем нуль в D( х ). График F( х ) стремится к нулю в этой точке, но не определен в ней. Укажите это, нарисовав окружность вокруг точки.
- Нуль в N( х ) и нуль в D( х ) имеют одинаковую кратность. График приближается к некоторой ненулевой точке при этом значении х , но не определен в ней. Укажите это, нарисовав окружность вокруг точки.
- Нуль в N( х ) имеет более низкую кратность, чем нуль в D( х ). Здесь существует вертикальная асимптота.
Реклама
Реклама
