Skip to Content

Вход/Регистрация

Как привести матрицу к ступенчатому виду по строкам

Загрузить PDF

Соавтор(ы): Mario Banuelos, PhD

Загрузить PDF

Матрица ступенчатого вида по строкам используется, например, для геометрического представления векторов, для решения систем линейных уравнений и для вычисления определителя матрицы.

Шаги

Загрузить PDF

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/58\/Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-1-Version-2.jpg\/v4-460px-Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-1-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/58\/Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-1-Version-2.jpg\/v4-728px-Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-1-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Уясните, что представляет собой матрица ступенчатого вида по строкам. Эта такая матрица, в которой под ведущим элементом (первым ненулевым элементом) каждой строки располагаются исключительно нули. Если проанализировать соотношение между ведущими элементами и их расположением в матрице, можно многое понять о самой матрице. Вот пример матрицы ступенчатого вида по строкам.
- ${\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&3\\0&0&5\end{pmatrix}}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/79\/Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-2-Version-2.jpg\/v4-460px-Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-2-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/79\/Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-2-Version-2.jpg\/v4-728px-Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-2-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Выясните, как выполнять элементарные операции со строками. Такими операциями являются:
- Перестановка строк.
- Скалярное умножение. Любая строка может быть заменена ненулевым скалярным кратным этой строки.
- Сложение строк. Строка может быть заменена суммой, полученной от сложения этой строки и кратным другой строки.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/21\/Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-3-Version-2.jpg\/v4-460px-Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-3-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/21\/Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-3-Version-2.jpg\/v4-728px-Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-3-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Запишите матрицу, которую нужно привести к ступенчатому виду по строкам.
- ${\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&3\\3&4&5\end{pmatrix}}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/44\/Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-4-Version-2.jpg\/v4-460px-Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-4-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/44\/Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-4-Version-2.jpg\/v4-728px-Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-4-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Определите первый ведущий элемент матрицы. Ведущие элементы необходимы для того, чтобы понять, как сократить строки. Когда матрица будет приведена к ступенчатому виду по строкам, все элементы, расположенные под ведущими элементами, будут равны 0.
- В нашей матрице первый ведущий элемент — это число в первом столбце и первой строке (то есть число в верхнем левом «углу» матрицы). Ведущий элемент не должен равняться 0. Если в данной вам матрице первый ведущий элемент равен 0, меняйте строки, пока он не станет ненулевым.
- Помните, что в одном столбце и в одной строке может быть только один ведущий элемент. Если в качестве такого элемента вы выбрали число в первом столбце и в первой строке, ни один другой элемент в этом столбце и в этой строке не может быть ведущим.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/4a\/Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-5.jpg\/v4-460px-Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/4a\/Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-5.jpg\/v4-728px-Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Выполните операции со строками матрицы, чтобы под первым ведущим элементом получить 0.
- В нашем примере замените вторую строку на разность этой строки и первой строки. Затем замените третью строку на разность этой строки и произведение 3 и первой строки. То есть выполните следующие операции: $R_{{2}}\to R_{{2}}-R_{{1}}$ и $R_{{3}}\to R_{{3}}-3R_{{1}}.$
- ${\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\0&1&-1\end{pmatrix}}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/00\/Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-6.jpg\/v4-460px-Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-6.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/00\/Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-6.jpg\/v4-728px-Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-6.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

Он располагается справа от первого ведущего элемента на следующих строках, то есть вторым ведущим элементом может быть число во втором столбце и второй строке или число во втором столбце и третьей строке. В нашем примере в качестве второго ведущего элемента выберем число во втором столбце и второй строке.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/69\/Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-7.jpg\/v4-460px-Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-7.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/69\/Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-7.jpg\/v4-728px-Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-7.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

7
Выполните операции со строками матрицы, чтобы под вторым ведущим элементом получить 0.
- $R_{{3}}\to R_{{3}}-R_{{2}}$
- ${\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\0&0&-2\end{pmatrix}}$
- Получилась матрица ступенчатого вида по строкам.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/82\/Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-8.jpg\/v4-460px-Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-8.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/82\/Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-8.jpg\/v4-728px-Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form-Step-8.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

Продолжите находить ведущие элементы и делать так, чтобы под ними были 0.

Реклама

Советы

К ступенчатому виду по строкам можно привести матрицу любого размера (квадратную и прямоугольную).

Реклама

Дополнительные статьи

Реклама

Об этой статье

Соавтор(ы): :

Mario Banuelos, PhD

Преподаватель математики

Соавтор(ы): Mario Banuelos, PhD . Марио Бануэлос — преподаватель математики в Университете штата Калифорния во Фресно. Имеет более восьми лет преподавательского опыта, специализируется на математической биологии, оптимизации, статистических моделях эволюции генома и науке о данных. Получил степень бакалавра по математике в Университете штата Калифорния во Фресно и PhD по прикладной математике в Калифорнийском университете в Мерседе. Преподавал как на уровне вуза, так и старшей школы. Количество просмотров этой статьи: 11 506.

Категории: Математика

На других языках

Английский

Испанский

Итальянский

Печать

Эту страницу просматривали 11 506 раз.

Была ли эта статья полезной?

Реклама

-

-

829

.mwimg a.image{display:none}#header_logo{display:none}#cse-search-box{display:none}#cse-search-box-noscript{display:block !important}#cse-search-box-noscript .cse_q{color:#FFF;background-color:#B3CE9C}.wh_search .cse_q{width:88%}#mw-mf-main-menu-button{display:none;visibility:hidden}.header .search{display:none}#search_footer .cse_sa{background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/white_mag.png);background-size:22px}.related_box{display:block;background:#EEE;border:5px solid #FFF;vertical-align:bottom;width:127px;background-size:180px;float:left;height:120px;position:relative}.related_box p{line-height:15px !important;font-size:13px;background-color:rgba(67,95,44,.4);color:#FFF;font-weight:bold;padding:8px;margin:0 !important;position:absolute;bottom:0}#noscript_header_logo{display:table-cell;vertical-align:middle;background-position:50% 77%;background-repeat:no-repeat;background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/wikihow_logo_230.png);background-size:105px;width:auto;height:51px;padding:0 14px}.articleinfo{display:none}#iorg_free_data{z-index:50;width:100%;position:fixed}#ara_recommendations{display:none}

Design a Mobile Website

View Site in Mobile | Classic

Share by: