Unduh PDF
Unduh PDF
Dalam kalkulus, saat Anda memiliki persamaan untuk y yang dituliskan dalam bentuk x (misalnya y = x 2 -3x), mudah untuk menggunakan teknik-teknik penurunan dasar (disebut oleh para ahli matematika sebagai teknik-teknik turunan fungsi implisit ) untuk mencari turunannya. Akan tetapi, untuk persamaan-persaman yang sulit untuk disusun dengan suku y saja pada salah satu sisi tanda sama dengan (misalnya x 2 + y 2 - 5x + 8y + 2xy 2 = 19), diperlukan pendekatan yang berbeda. Dengan sebuah teknik yang disebut turunan fungsi implisit, mudah untuk mencari turunan persamaan-persamaan multi variabel selama Anda sudah mengetahui dasar-dasar turunan fungsi eksplisit!
Langkah
-
Turunkan suku-suku x seperti biasa. Saat mencoba menurunkan persamaan multi variabel seperti x 2 + y 2 - 5x + 8y + 2xy 2 = 19, mungkin sulit untuk mengetahui dari mana harus memulai. Untungnya, langkah pertama dari turunan fungsi implisit adalah langkah termudahnya. Turunkan saja suku-suku x dan konstanta pada kedua sisi persamaan sesuai aturan turunan biasa (eksplisit) untuk memulainya. Abaikan suku-suku y untuk sementara.
- Ayo coba kita turunkan contoh persamaan sederhana di atas. x 2
+ y 2
- 5x + 8y + 2xy 2
= 19 memiliki dua suku x
: x 2
dan -5x. Jika kita ingin menurunkan persamaan, kita harus mengerjakan ini terlebih dahulu, seperti ini:
-
- x 2 + y 2 - 5x + 8y + 2xy 2 = 19
- (Bawalah turun pangkat 2 dalam x 2 sebagai koefisien, hapus x dalam -5x, dan ubah 19 menjadi 0)
- 2x + y 2 - 5 + 8y + 2xy 2 = 0
-
- Ayo coba kita turunkan contoh persamaan sederhana di atas. x 2
+ y 2
- 5x + 8y + 2xy 2
= 19 memiliki dua suku x
: x 2
dan -5x. Jika kita ingin menurunkan persamaan, kita harus mengerjakan ini terlebih dahulu, seperti ini:
-
Turunkan suku-suku y dan tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing sukunya. Untuk langkah Anda selanjutnya, turunkan saja suku-suku y dengan cara yang sama seperti Anda menurunkan suku-suku x. Akan tetapi, kali ini, tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing suku seperti Anda menambahkan koefisien. Misalnya, jika Anda menurunkan y 2 , maka turunannya menjadi 2y(dy/dx). Abaikan suku-suku yang memiliki x dan y untuk sementara.
- Dalam contoh kita, persamaan kita sekarang menjadi seperti ini: 2x + y 2
- 5 + 8y + 2xy 2
= 0. Kita akan melakukan langkah penurunan y selanjutnya seperti berikut:
-
- 2x + y 2 - 5 + 8y + 2xy 2 = 0
- (Bawalah turun pangkat 2 dalam y 2 sebagai koefisien, hapus y dalam 8y, dan letakkan dy/dx di sebelah masing-masing suku).
- 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy 2 = 0
-
- Dalam contoh kita, persamaan kita sekarang menjadi seperti ini: 2x + y 2
- 5 + 8y + 2xy 2
= 0. Kita akan melakukan langkah penurunan y selanjutnya seperti berikut:
-
Gunakan aturan hasil kali atau aturan hasil bagi untuk suku-suku yang memiliki x dan y. Mengerjakan suku-suku yang memiliki x dan y agak sedikit rumit, tetapi jika Anda mengetahui aturan hasil kali dan hasil bagi untuk turunan, Anda akan mudah mengerjakannya. Jika suku-suku x dan y dikalikan, gunakan aturan hasil kali ( (f × g)' = f' × g + g × f' ), mensubtitusikan suku x untuk f dan suku y untuk g. [1] X Teliti sumber Sebaliknya, jika suku-suku x dan y saling membagi satu sama lain, gunakan aturan hasil bagi ( (f/g)' = (g × f' - g' × f)/g 2 ), mensubstitusikan suku pembilang untuk f dan suku penyebut untuk g. [2] X Teliti sumber
- Dalam contoh kita, 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy 2
= 0, kita hanya memiliki satu suku yang memiliki x
dan y
— 2xy 2
. Karena x
dan y
dikalikan satu sama lain, kita akan menggunakan aturan hasil kali untuk menurunkan seperti berikut:
-
- 2xy 2 = (2x)(y 2 )— set 2x = f and y 2 = g in (f × g)' = f' × g + g × f'
- (f × g)' = (2x)' × (y 2 ) + (2x) × (y 2 )'
- (f × g)' = (2) × (y 2 ) + (2x) × (2y(dy/dx))
- (f × g)' = 2y 2 + 4xy(dy/dx)
-
- Menambahkan ini ke persamaan utama kita, kita mendapatkan 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y 2 + 4xy(dy/dx) = 0
- Dalam contoh kita, 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy 2
= 0, kita hanya memiliki satu suku yang memiliki x
dan y
— 2xy 2
. Karena x
dan y
dikalikan satu sama lain, kita akan menggunakan aturan hasil kali untuk menurunkan seperti berikut:
-
Sendirikan (dy/dx). Anda hampir selesai! Sekarang, yang harus Anda lakukan adalah menyelesaikan persamaan (dy/dx). Hal ini tampaknya sulit, tetapi biasanya tidak — ingatlah bahwa dua suku a dan b apa pun yang dikalikan oleh (dy/dx) dapat ditulis sebagai (a + b)(dy/dx) karena sifat distributif perkalian. [3] X Teliti sumber Taktik ini dapat memudahkan proses menyendirikan (dy/dx) — pindahkan saja semua suku lainnya di sisi lain dari tanda kurung, kemudian bagilah dengan suku-suku dalam tanda kurung di sebelah (dy/dx).
- Dalam contoh kita, kita menyederhanakan 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y 2
+ 4xy(dy/dx) = 0 seperti berikut:
-
- 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y 2 + 4xy(dy/dx) = 0
- (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x - 5 + 2y 2 = 0
- (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2y 2 - 2x + 5
- (dy/dx) = (-2y 2 - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)
- (dy/dx) = (-2y 2 - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)
-
Iklan - Dalam contoh kita, kita menyederhanakan 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y 2
+ 4xy(dy/dx) = 0 seperti berikut:
-
Masukkan nilai (x, y) untuk mencari (dy/dx) untuk titik apa pun. Selamat! Anda sudah menurunkan persamaan Anda secara implisit — bukanlah pekerjaan yang mudah untuk percobaan pertama! Menggunakan persamaan ini untuk mencari gradien (dy/dx) untuk titik (x, y) apa pun semudah memasukkan nilai-nilai x dan y untuk titik Anda ke sisi kanan persamaan, kemudian mencari (dy/dx).
- Sebagai contoh, misalkan kita ingin mencari gradien pada titik (3, -4) untuk contoh persamaan kita di atas. Untuk melakukannya, kita akan mensubstitusikan 3 untuk x
dan -4 untuk y
, diselesaikan seperti berikut:
-
- (dy/dx) = (-2y 2 - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)
- (dy/dx) = (-2(-4) 2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)
- (dy/dx) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4))
- (dy/dx) = (-32) - 6 + 5)/(2(2(-12))
- (dy/dx) = (-33)/(2(2(-12))
- (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48 , atau 0,6875 .
-
- Sebagai contoh, misalkan kita ingin mencari gradien pada titik (3, -4) untuk contoh persamaan kita di atas. Untuk melakukannya, kita akan mensubstitusikan 3 untuk x
dan -4 untuk y
, diselesaikan seperti berikut:
-
Gunakan aturan rantai untuk fungsi-dalam-fungsi. Aturan rantai adalah bagian pengetahuan yang penting untuk dimiliki saat mengerjakan soal-soal kalkulus (termasuk soal-soal turunan fungsi implisit). Aturan rantai menyatakan bahwa untuk fungsi F(x) yang dapat ditulis sebagai (f o g)(x), turunan F(x) sama dengan f'(g(x))g'(x) . Untuk soal-soal turunan fungsi implisit yang sulit, hal ini berarti bahwa mungkin untuk menurunkan bagian persamaan individu yang berbeda, kemudian menggabungkan hasilnya.
- Sebagai contoh sederhana, misalkan kita harus mencari turunan sin(3x 2
+ x) sebagai bagian dari soal turunan fungsi implisit yang lebih besar untuk persamaan sin(3x 2
+ x) + y 3
= 0. Jika kita membayangkan sin(3x 2
+ x) sebagai f(x)
dan 3x 2
+ x sebagai g(x)
, kita dapat mencari turunannya seperti berikut:
-
- f'(g(x))g'(x)
- (sin(3x 2 + x))' × (3x 2 + x)'
- cos(3x 2 + x) × (6x + 1)
- (6x + 1)cos(3x 2 + x)
-
- Sebagai contoh sederhana, misalkan kita harus mencari turunan sin(3x 2
+ x) sebagai bagian dari soal turunan fungsi implisit yang lebih besar untuk persamaan sin(3x 2
+ x) + y 3
= 0. Jika kita membayangkan sin(3x 2
+ x) sebagai f(x)
dan 3x 2
+ x sebagai g(x)
, kita dapat mencari turunannya seperti berikut:
-
Untuk persamaan dengan variabel-variabel x, y, dan z, carilah (dz/dx) dan (dz/dy). Meskipun tidak biasa dalam kalkulus dasar, beberapa penerapan lanjut mungkin membutuhkan turunan fungsi implisit dari lebih dari dua variabel. Untuk masing-masing variabel tambahan, Anda harus mencari turunan tambahannya terhadap x. Misalnya, jika Anda memiliki x, y, dan z, Anda harus mencari baik (dz/dy) dan (dz/dx). Kita bisa melakukan hal ini dengan menurunkan persamaan terhadap x sebanyak dua kali — pertama, kita akan memasukkan (dz/dx) setiap kali kita menurunkan suku yang mengandung z, dan kedua, kita akan memasukkan (dz/dy) setiap kali kita menurunkan z. Setelah ini, hanya masalah menyelesaikan (dz/dx) dan (dz/dy).
- Misalnya, katakan kita mencoba menurunkan x 3 z 2 - 5xy 5 z = x 2 + y 3 .
- Pertama, ayo turunkan terhadap x dan masukkan (dz/dx). Jangan lupa untuk menerapkan aturan hasil kali jika diperlukan!
-
- x 3 z 2 - 5xy 5 z = x 2 + y 3
- 3x 2 z 2 + 2x 3 z(dz/dx) - 5y 5 z - 5xy 5 (dz/dx) = 2x
- 3x 2 z 2 + (2x 3 z - 5xy 5 )(dz/dx) - 5y 5 z = 2x
- (2x 3 z - 5xy 5 )(dz/dx) = 2x - 3x 2 z 2 + 5y 5 z
- (dz/dx) = (2x - 3x 2 z 2 + 5y 5 z)/(2x 3 z - 5xy 5 )
-
- Sekarang, lakukan hal yang sama untuk (dz/dy)
-
- x 3 z 2 - 5xy 5 z = x 2 + y 3
- 2x 3 z(dz/dy) - 25xy 4 z - 5xy 5 (dz/dy) = 3y 2
- (2x 3 z - 5xy 5 )(dz/dy) = 3y 2 + 25xy 4 z
- (dz/dy) = (3y 2 + 25xy 4 z)/(2x 3 z - 5xy 5 )
-
Iklan
Peringatan
- Selalu cari bagian mana pun yang membutuhkan aturan Hasil Bagi atau Hasil Kali; bagian ini sangat mudah terlupakan.
Iklan
Referensi
Tentang wikiHow ini
Halaman ini telah diakses sebanyak 349.111 kali.
Iklan
